Курсовая  работа

Тема. Эйлеровы интегралы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание

Введение

1.Интеграл Эйлера  первого рода (бета-функция Эйлера)

2. Интеграл Эйлера второго рода (гамма-функция Эйлера)

2.1 Определение Эйлерова интеграла второго рода

2.2 Свойства гамма-функции Эйлера

2.2.1 Непрерывность

2.2.2 Основное  функциональное уравнение

2.2.3 Поведение  гамма-функции и ее график

2.2.4 Связь  между функциями бета- и гамма-функциями

2.2.5 Формула  дополнения

2.2.6 Формула  Эйлера

3.Примеры  вычисления интегралов с использованием эйлеровых интегралов

Заключение

Список литературы

 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

               Во многих случаях первообразная  от заданной элементарной функции  не выражается никакими конечными комбинациями основных элементарных функций. О таких функциях говорят, что они не интегрируемы в конечном виде. В ряде случаев, для вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, являющие собой особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые бета- и гамма-функции Эйлера.

      Гамма-функция  относится к числу самых простых  и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

      Благодаря её введению значительно расширяются  возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула  не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование гамма-функции, хотя бы в промежуточных выкладках.

      Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

     Цель  данной работы – изучить бета- и гамма-функции, их свойства, связь между ними и научиться применять их для вычисления интегралов; показать эквивалентность двух разных определений гамма-функции. 
 
 
 
 

1. Интеграл  Эйлера первого рода

                            (БЕта-функция Эйлера) 

      Бета – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

                                    =                                 (1.1)

      Он  представляет функцию от двух переменных параметров и : функцию B. Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и  

      Интеграл (1.1) сходятся при  .Полагая получим: 

       = - =  

      т.e. и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

      

      по  формуле интегрирования по частям имеем:

      

      Откуда  получаем 

             =                            (1.2)

      При целом b = n последовательно применяя (1.2)  получим: 

                             (1.3)

      при целых  = m, = n, имеем

        

      но B(1,1) = 1,следовательно: 

                                                 (1.4)

      

      Положим в (1.1) . Так как график функции симметричен относительно прямой ,то

      

      и в результате подстановки  , получаем

      

      полагая в(1.1) ,откуда , получим                                                          

                                                           (1.5)

     Положим в формуле (1.5) b = 1 – а, считая, что 0< а < 1, мы найдем:

     B (a, 1 – а) = .

     Полученный  интеграл также связан с именем Эйлера. Вычислим его.

     Разобьем  интеграл на два интеграла: I = = I₁ + I₂, вычислим их порознь.

     Для 0 < х < 1 имеем разложение в ряд ,

этот  ряд сходится равномерно лишь если 0 < у 1– ' < 1. Но частичная сумма имеет интегрируемую в [0, 1] мажоранту 

     0 , 

     следовательно, интеграл от нее сходится равномерно (как при у = 0, так и при у = 1). Интегрируя почленно, получим:

                          I₁ = = . 

     Интеграл  I₂ подстановкой приводим к виду 

                                 

         Применяя полученное выше разложение, найдем: I₂ = .

     Таким образом: 

                 I = I₁ + I₂ = +                    (1.6) 

     Полученное  выражение есть разложение на простые  дроби функции  . Окончательно получаем: = .

     Таким образом, В (а, 1 – а) = (0 < а < 1).                 (1.7)

     Если, в частности, взять а = 1 – а = , то получим: 

                                      В ( ; ) = .                                       (1.8)

          Функция «Бета» очень просто выражается через другую функцию «Гамма», которую мы рассмотрим в следующем разделе. 
 
 
 
 
 
 

2. Интеграл  Эйлера второго рода

                            (гамма-функция Эйлера) 

1. Определение Эйлерова интеграла второго рода

 

     Это название было присвоено Лежандром  замечательному интегралу: 

                                    Г(а) = ,                         (2.1)

который сходится при любом а > 0, так  как особые точки ¥ и 0 (при а < 0). существует лишь при а > 0 (бесконечно малая порядка а – 1 по отношению к ). существует, каково бы ни было а, так как, взяв > 1, имеем:                 = 0 при .

     Следовательно, существует при а > 0. Интеграл

      (а) = определяет функцию Г («Гамма»).

     Функция «Гамма», после элементарных, является одной из важнейших функций для  анализа и его приложений. Глубокое изучение свойств функции «Гамма», исходя из ее интегрального определения (2.1), послужит одновременно и прекрасным примером применения теории интегралов, зависящих от параметра. Положим в формуле (2.1) х = , найдем:

 

      (а) = = =

     = = – = . 

     Как известно, = , причем выражение при возрастании n стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство: Г (а) = .

     Если  сделать подстановку z = yⁿ, получим: 

     Г (а) = = =

     = = . 

     Но, согласно формуле (1.3):

 

      = В (а) = . 

     Таким образом, мы пришли к знаменитой формуле  Эйлера-Гаусса: 

                     Г (а) = n^a.                (2.2) 

     В дальнейшем свойства функции Г мы будем извлекать из ее интегрального  представления (2.1). 

     2.2 Свойства гамма-функции Эйлера

     2.2.1 Непрерывность

     Функция Г (а) при всех значениях а > 0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (2.1) под знаком интеграла, получим:

                               = .                           (2.3)

     применение  правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла  и сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для а а₀ > 0 (мажоранта ), а второй сходится при х = для а А < (мажоранта х^А е^-х).

     Таким же путем можно убедиться и  в существовании второй производной

                                =                          (2.4)

и всех дальнейших.

     2.2.2 Основное функциональное  уравнение

     Из  формулы (2.1) интегрированием по частям получаем:

     a. Г (а) = а = =

     = + = + =

     = = Г (а + 1), то есть Г (а + 1) = а Г (а)             (2.5)

     Эта формула, повторно примененная, дает

                   Г (а+n) = (a+n-1) (a+n-2)… (a+1) a Г(а).             (2.6)

     Таким образом, вычисление Г для сколь  угодно большого значения аргумента  может быть приведено к вычислению Г для аргумента меньше 1.

     Если  в формуле (2.6) взять а = 1 и принять во внимание, что

                                    Г(1)= =1,                                    (2.7)

     то  окажется, что

                                         Г (n + 1) = n!.                                (2.8)

     Функция «Гамма» является естественным распространением – на область любых положительных  значений аргумента – факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.

     2.2.3 Поведение гамма-функции и ее график

     Теперь  мы можем составить общее представление  о поведении функции Г (а) при  возрастании а от 0 до .

     Из  формул (2.7) и (2.8) имеем: Г(1) = Г(2) = 1, так что по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень а₀ производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г''(а), как видно из ее выражения (2.4), всегда положительна. Следовательно, при 0 < а < а₀ производная Г'(а) < 0, и функция Г(а) убывает, а при а₀ < а < будет Г'(а) > 0, так что Г(а) возрастает; при а = а₀ налицо минимум, вычисление которого дает: а₀ = 1,4616…, min Г (а) = Г (а₀) = 0,8856.

     Установим еще предел для Г (а) при приближении  а к 0 или к  . Из формул (2.7) ясно, что Г (а) = при а . С другой стороны, ввиду (2.8) Г (а) > n!, лишь только а > n + 1, то есть Г(а) и при а .

      Построим график гамма-функции при a>0  

      Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

      Положим для , что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при   функция .

        Определив таким образом на , мы можем по  той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках

      Отметим еще раз, что интеграл

      

определяет  Г-функцию только при положительных  значениях  , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

       Учитывая эти результаты, можно построить график гамма-функции для всех значений а. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2.2.4 Связь между функциями  бета- и гамма-функциями

 

     Для того, чтобы установить связь между  функциями В и Г, мы сделаем подстановку x = ty (t>0) в формуле (2.1) и получим: 

     Г (а) = = =

     = = = .

     Умножим обе части этого равенства  на , получим:

                                     .                         (2.9)

     Заменяя здесь а на a + b и одновременно t на 1 + t, получим:

      = .

     Умножим теперь обе части этого равенства  на t^a-1 и проинтегрируем по t от 0 до :

     Г (a+b) = .

В интеграле слева мы узнаем функцию В (а, b),справа же переставим интегралы. В результате получим :

     Г (а+b) В (а, b) = = = = = Г (а). Г (b).

     Таким образом, получаем:

     Г (а+b) В (а, b) = Г (а). Г (b), откуда, наконец, 

                                      В (а, b) = .                       (2.10)

     Приведенный изящный вывод этого соотношения  Эйлера принадлежит Дирихле. Но для  его обоснования надо еще оправдать  перестановку интегралов. Ограничимся  поначалу предположением, что а > 1, b > 1. Тогда для функции t^a-1 y^a+b-1 e^-(1+t)y оказываются выполнимыми все условия следствий интегрирования интеграла по параметру.

     А именно: эта функция непрерывна и  притом положительна для , а интегралы

      = Г (а + b) .

      = Г (а) y^b-1 e^-y

в свою очередь представляют собой непрерывные  функции: первый – от t для t 0, второй – от у для у 0. Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (2.8) – для случая а > 1, b > 1.

     Если  же известно лишь, что а > 0 и b > 0, то – по доказанному – имеем 

                                В (а+1, b+1) = . 

     А отсюда, используя формулы (1.2), (1.3) приведения для функции В и (2.4) для функции Г, легко вновь получить формулу (2.9) уже без ненужных ограничений.

     2.2.5 Формула дополнения

     Если  в формуле (2.10) положить b = 1-а (считая 0 < а < 1), то, используя формулы (1.6) и (2.7), получим соотношение: 

                        ₌ Г(а) Г (1-а)

     

                                         

     Эта формула называется формулой дополнения. При  находим (так как Г(а)>0)

                             Г ( ). Г (1– ) =                       _(2.11)

     2.2.6 Формула Эйлера

     В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Эйлером) величину произведения (где n – любое натуральное число)

     Е = Г ( ) Г ( ) … Г ( ) Г ( ).

     Перепишем это произведение в обратном порядке

     Е = Г ( ) Г ( ) … Г ( ) Г ( ),

     перемножим  оба выражения:

                                  Е² =

и к  каждой паре множителей применим формулу  дополнения. Мы получим: 

                         Е² = = .

Теперь  для вычисления произведения синусов  рассмотрим тождество: 

                               =

     и устремим в нем  , получим:

                              n =

     или, приравнивая модули:

     n = = =

     = = =

     = = = 2 sin = 2 ^n-1 ,

     получили

                               = .

     Подставляя  это выражение для Е ², окончательно получаем:

                              Е = = .                          (2.12)

                                                       Г² ( ) = ,

                                             Г ( ) = . (2.11) 

     Если  в интеграле сделать подстановку z= x², то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:

      = = = 2 = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Примеры  вычисления интегралов с использованием эйлеровых интегралов

 

      Для вычисления необходимы формулы:

      

      Г( )

      Вычислить интегралы:

                                                                                                                       

      Заключение

 

             Гамма и бета-функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

      Для гамма-функции составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями.

      Определенные  интегралы различных типов могут  быть выражены через гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов.

      Благодаря этому эйлеровы интегралы широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

 

      

Список  литературы

 

1. Аксенов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999
2. Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. – М.: Просвещение, 1985. – 159 с.
3. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1966. – 735 с.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для студентов вузов. – М., Наука. 1965. – 360 с.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения, Ряды. Функции комплексного переменного. – Ростов-н/Д. Феникс. 1997. – 511 с.
6. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С, Мордкович А.Г., Математический анализ: интегральное исчисление. – М.: Наука, 1979. – 435 с.
7. Виленкин Н.Я. Специальные функции. – М.: Наука, 1976. – 412 с.
8. Орлов Ф. Асимптотика и специальные функции. – М.: Наука, 1973 – 215 с.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: т. 1, – М.: Интеграл-пресс, 2002. – 415 с.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 807 с.