Эконометрические расчеты

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение  высшего профессионального образования

«Тульский государственный  университет»

 

Кафедра «ФиМ»

 

 

 

Контрольно-курсовая работа

по дисциплине «Эконометрика»

11 Вариант

 

 

 

 

Выполнил: студент группы 730801 Денисова Ю. С.

^{(Фамилия  И.О.)}

Проверил: доцент   Гучек Н.Е.

                              ^{(должность)                  (Фамилия И.О.)}

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      Тула 2013

 

По полученному  полю корреляции, достаточно сложно судить о наличии определенной связи  между х и у. Можно выдвинуть  гипотезу, как о наличии линейной связи, так и обратной, степенной, показательной, полулогарифмической  или гиперболической. 

Для характеристики зависимости потребительских расходов на душу населения (у) от денежных доходов  на душу населения (х) рассчитаем параметры  линейной, степенной, показательной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии. Затем выберем лучшую модель и  по ней сделаем прогноз.

 

Рассмотрим линейную регрессию. Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов и решим систему уравнений относительно а и b:

 

.

 

По исходным данным проведем все необходимые расчеты и оформим их в Таблице 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По данным Таблицы 1 составляем систему уравнений  для n=20:

 

 

отсюда 

 

Уравнение линейной регрессии будет иметь  следующий вид:

 

 

 

 

Оценим тесноту связи результативным фактором и факторным признаком с помощью коэффициента корреляции и коэффициента детерминации, которые рассчитываются по следующим формулам:

 

 

 

 

Найдем  среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

 

, где  .

 

 

Оценим  статистическую надежность результатов  регрессионного моделирования с  помощью F-критерия Фишера:

 

.

 

Найдем  средний коэффициент эластичности по формулe:

 

 

 

Степенная регрессия 

Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения .

 

 

Пусть , тогда

 

Рассчитываем  и b по формулам:

 

  

 

Все необходимые  расчеты представлены в Таблице 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценим тесноту связи результативным фактором индекса корреляции и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

 

 

 

 

Оценим  статистическую надежность результатов  регрессионного моделирования с  помощью F-критерия Фишера:

.

 

 

Найдем  средний коэффициент эластичности по формулe:

 

 

 

Показательная регрессия

Для того, чтобы построить показательную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения   .

 

 

Пусть , , , тогда .

 

Рассчитаем  и по формулам:

 

,

 

.

 

Все необходимые расчеты представим в Таблице 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

,

 

 

Уравнение регрессии будет иметь вид:

 

 

Оценим тесноту связи результативным фактором индекса корреляции и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

 

 

 

Оценим  статистическую надежность результатов  регрессионного моделирования с  помощью F-критерия Фишера:

.

 

 

Найдем  средний коэффициент эластичности по формулe:

 

 

 

Полулогарифмическая функция 

Линеаризуем уравнение путем замены , тогда получим .

 

Найдем  параметры  и , используя МНК.

Для этого  решим систему уравнений относительно и :

 

 

Все необходимые  расчеты представим в Таблице 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, получили систему уравнений:

 

 

отсюда 

 

Итак, получим  уравнение:

 

 

 

Оценим тесноту связи результативным фактором индекса корреляции и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

 

 

 

 

Оценим  статистическую надежность результатов  регрессионного моделирования с  помощью F-критерия Фишера:

 

.

 

 

Найдем  средний коэффициент эластичности по формулe:

 

 

Обратная  функция 

Линеаризуется с помощью замены , тогда .

 

,   

 

 Все необходимые расчеты представим в Таблице 5.

                                                                                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, получим  уравнение:.

 

 

 

Оценим тесноту связи результативным фактором индекса корреляции и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

 

 

 

 

Оценим  статистическую надежность результатов  регрессионного моделирования с  помощью F-критерия Фишера:

.

 

 

Найдем  средний коэффициент эластичности по формулe:

 

 

 

Уравнение гиперболы 

Линеаризуется при замене , тогда

 

  ,      

 

Все необходимые расчеты представим в Таблице 6:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, получим  уравнение:

 

 

 

Оценим тесноту связи результативным фактором индекса корреляции и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

 

 

 

 

 

Оценим  статистическую надежность результатов  регрессионного моделирования с  помощью F-критерия Фишера:

.

 

 

Найдем  средний коэффициент эластичности по формулe:

 

 

 

 

Для линейной модели построим таблицу дисперсионного анализа.

 

Таблица 7.

Источники вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F-отношение
				Фактическое	Табличное
Общая	19	374003,74	19684,41	-	-
Объясненная	1	215986,03	215986,03	25	4,41
Остаточная	18	158017,71	8778,76	-	-

 

Таблица 8.

Вид регрессии	,	R2, r2			F
Линейная	0,76	0,58	10,918	0,978	25	158017,71
Степенная	0,752	0,566	10,711	0,88	23,48	162714,6221
Показательная	0,89	0,79	14,649	0,91	37,7	77871,47151
Полулогарифмическая	0,7	0,49	30,544	0,673	17,3	188448,2318
Обратная	0,46	0,21	26,074	0,007	4,8	80331,64084
Гиперболическая	0,67	0,45	11,219	-0,41	14,73	204419,34554

 

Из итоговой таблицы видно, что коэффициент  корреляции max для линейной регрессии, коэффициент детерминации max, а коэффициент аппроксимации имеет достаточно низкое значение.

Из Таблицы 8 видно, что лучшим уравнением регрессии  является линейная функция, так как  коэффициент детерминации для этой функции является одним из наибольших представленных в таблице, сумма  квадратов отклонений фактических  значений результативного признака от расчетных является почти наименьшей и средний коэффициент аппроксимации  является наименьшим.

Т.к. наилучшей  является линейная модель, то нет необходимости  усложнять форму уравнения регрессии  и можно использовать линейную функцию.

С помощью  t-критерия Стьюдента оценим значимость параметров a и b нашей линейной функции и коэффициент корреляции r. Определим случайные ошибки m_b, m_a, m_r по формулам:

 

Найдем стандартные  ошибки коэффициентов регрессии.

 

 

 

 

 

                            

 

Фактическое значение t-критерия Стьюдента:

 

 

 

 

 

                                             

 

 

При и числе степеней свободы 20-2=18 табличное значение .

Таким образом, значит, параметры b, r являются статистически значимыми.

Рассчитаем  доверительные интервалы для  b, r. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

 

=

 

=

 

Доверительные интервалы:

 

 

 

 

 

 

 

Анализ  верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры  b, r, находясь в указанных интервалах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистическими незначимыми и существенно отличны от нуля.

Полученные  оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для получения прогноза. Если прогнозное значение фактора увеличится на 4% от его среднего уровня, тогда прогнозное значение результата составят:

 

 

 

Подставим значение x_р в уравнение линейной регрессии:

 

 

Рассчитаем  ошибку прогноза для уравнения   по формуле:

 

,        

 

 

         =96,1

 

Доверительный интервал:

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем  ошибку прогноза для уравнения

 

,

 

=21,2

 

Доверительный интервал:

 

 

 

 

 

8. Полученные  результаты, в целом удовлетворительные. Модель линейной парной регрессии описывает реальную зависимость рассматриваемыми показателями.

 

Выводы.

Целью данной контрольно-курсовой работы было определение  потребительских расходов на душу населения и денежных доходов на душу населения. Для этого были построены уравнения линейной, степенной, показательной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

В ходе проведенного исследования выяснилось, что можно  использовать линейную функцию в  качестве модели для описания потребительских расходов на душу населения и денежных доходов на душу населения. Данная линейная функция имеет вид  .

На основе последнего уравнения можно предположить, что с увеличением денежного дохода на душу населения на 1 тыс. рубл. потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 0,64 тыс. рубл.

При выполнении расчетов выяснилось, средний коэффициент  эластичности для линейной модели составляет 0,978, т.е. с увеличением размера денежного дохода на душу населения на 1 % потребительские расходы увеличиваются в среднем на 0,978 %.

Коэффициент детерминации для линейной модели составил 0,76. Это означает, что уравнением регрессии объясняется 76 % дисперсии результативного признака (потребительские расходы на душу населения), а на долю прочих факторов приходится 24 %, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ей можно пользоваться для прогноза значений результативного признака.

Так, полагая, что размер денежного дохода может составить                                                       тыс. руб., то прогнозное значение для потребительских расходов на душу населения окажется            тыс.руб.., при этом с вероятностью 0,95 можно утверждать, что доверительные интервалы прогноза индивидуального значения результативного признака составят,                          т.е. для уравнения с e                                    для второго уравнения без e                       .