Эконометрическое моделирование

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение……………………………………………………………………...2

Исходные  данные……………………………………………………………3

Шаг 1. Выбор  факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели………………………………………………………4

Шаг 2. Эмпирическое уравнение множественной регрессии…………….5

Шаг 3. Оценивание параметров………………………………………….....8

Шаг 4. Пакет анализа Excel (программа «Регрессия»)…………………13

Шаг 5. Статистическая значимость коэффициентов…………………….18

Шаг 6. Точечный и интервальный прогнозы результирующего  показателя…………………………………………………………………..19

Заключение…………………………………………………………………21

Список  используемой литературы………………………………………...22

ВВЕДЕНИЕ

      Закономерности  в экономике выражаются в виде зависимостей экономических показателей  и математических моделей их поведения. Такие зависимости и модели могут  быть получены только путем обработки  реальных статистических данных, с  учетом внутренних связей и случайных  факторов.

      Эконометрика  – наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости в экономики методами математической статистики.

      Цель  эконометрики –  эмпирический вывод экономических законов.

      Задачи  эконометрики –  построение экономических моделей и оценивание их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи.

      Построение  эконометрической модели – центральная  проблема любого эконометрического  исследования, поскольку ее «качество» определяет достоверность и обоснованность результатов анализа тенденций  развития, прогнозов рассматриваемых  социально – экономических процессов. А также вытекающих из них выводов, в том числе и по вопросам разработки необходимых управленческих мероприятий.

      Методы  экономико-математического моделирования  разрабатывают модели взаимосвязей между рассматриваемыми процессами, адекватно отражающими экономические  концепции в рамках выбранной  системы показателей.

      Цель  курсовой работы: построить и оценить  эмпирическое уравнение множественной  регрессии для принятия обоснованных экономических решений.

      Весь  процесс иллюстрируется примерами  с использованием пакета анализа  данных Excel.

Исходные  данные.

По десяти банковским учреждениям полученные данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X₁), по депозитам (X₂) и размера внутрибанковских расходов (X₃).

Исходные  данные (усл. ед.).

Требуется:

- осуществить  выбор факторных признаков для  построения двухфакторной регрессионной  модели;

- рассчитать  параметры модели;

- определить  линейный коэффициент множественной  корреляции, коэффициенты детерминации, средние коэффициенты эластичности, дать их интерпретацию;

- осуществить  оценку надежности уравнения  регрессии;

- оценить  с помощью Т-критерия Стьюдента  статистическую значимость коэффициентов  уравнения множественной регрессии;

- построить  точечный или интервальный прогнозы  результирующего показателя;

- отразить  результаты расчетов на графике,  выполнение задач отразить в  аналитической записке.

ШАГ 1. Выбор факторных  признаков для  построения двухфакторной  регрессионной модели

      Проведем  корреляционный анализ, используя пакет  анализа данных «Корреляция» в Excel.

     Анализ  матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. накопления, имеет тесную связь  с индексом среднегодовой ставки по депозитам (ryx₂= 0,792), по кредитам (ryx₁= 0,704) и с размером внутри банковских расходов (ryx₃= 0,675). Однако факторы x₁ x₂ тесно связаны между собой (rx₁x₂= 0,606), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из трех переменных оставим в модели x₁ – ставки по кредитам и x₂ – ставки по депозитам. В этом примере n=10, m=3, после исключения незначимых факторов n=10, m=2.

      Составим  исправленную таблицу данных

   ШАГ 2. Эмпирическое уравнение  множественной регрессии

1. Отобразим на диаграмме данные задачи в среднем по десяти банковским учреждениям .

Рисунок 1.

2. Модель множественной регрессии имеет вид

  y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε,

где β₀, β₁…- параметры модели, а ε – случайный член. На основе n наблюдений оценивается выборочное уравнение регрессии:

     ŷ=b₀+b₁x₁+b₂x₂,

где b₀, b₁… - оценки параметров β₀, β₁…

     Параметр  b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Оценку коэффициента регрессии получаем с помощью МНК. При его применении строим систему нормальных уравнений:

b₀*n+b₁*x₁+b₂*x₂=*y

b₀*x₁+b₁*x₁²+b2*x₁*x₂=*y*x₁

b₀*x₂+b₁*x₁*x₂+b₂*x₂²=*y*x₂ 

     Рассчитываем  промежуточные значения для построения системы нормальных уравнений.

 Строим систему уравнений:

      10+584+478=756

      584+37328+29380=47524

      478+29380+24060=38212

     Решение этой системы уравнений осуществляем методом определителя.

 
 
Используя компьютерную программу  получили оценочное уравнение регрессии

            ŷ=-6,64+0,59x₁+0,99x₂

      Вычисляем это уравнение и строим график

      График 1. Регрессионная модель 

ШАГ 3. Оценивание параметров 

1. Рассчитаем  S² – остаточную дисперсию

* путем вычислений примет вид:

      S²= 318,98

Величина  S называется стандартной ошибкой регрессии:

      S= .

      S=17,86

2. Анализ вариации зависимой переменной. Коэффициент детерминации

Пусть в уравнении регрессии содержится m объясняющих переменных. Допустим, что можно разложить дисперсию зависимой переменной на объясненную и необъясненную составляющие:

      var(Y)=var(ŷ) +var(e) .

Используя определение выборочной дисперсии  это уравнение представляем в  виде:

      *(y_i-y_ср)²=*(ŷ_i- y_ср)²+ *

Обозначим:

      TSS= (y_i-y_ср)² – общий разброс зависимой переменной;

      ESS= (ŷ_i- y_ср)² – разброс, объясненной переменной;

      USS= * - разброс необъясненной регрессией.

Тогда

      TSS=ESS+USS .

Коэффициент детерминации - есть доля объясненной переменной части разброса зависимой переменной, т.е.

      R²=

Отсюда  R²=0,646.

Величина  R² является мерой объясняющего качества уравнения регрессии по сравнению с горизонтальной линией ŷ_i=y_ср.

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 65% вариации зависимой  переменной учтено в модели и обусловлено  влиянием включенных факторов.

Поскольку коэффициент R² измеряет долю дисперсии, совместно объясненной зависимыми переменными, то, казалось бы можно определить отдельный вклад каждой независимой переменной и таким образом получить меру ее относительной важности. Однако такое разложение невозможно, если независимые переменные коррелированны, поскольку в этом случае их объясняющие способности будут перекрываться.

С увеличением  объясненной части разброса ESS коэффициент R² стремится к 1. Кроме того, с добавлением еще одной переменной R² обычно увеличивается.

Для компенсации  такого увеличения R² вводим скорректированный коэффициент детерминации с поправкой на число степеней свободы:

      R²=1-

           R²=0,544

Если  увеличение доли объясненной регрессии  при добавлении новой переменной мало, то скорректированный коэффициент  детерминации может уменьшиться, следовательно, добавлять переменную нецелесообразно.

3. F – тест на качество оценивания.

Для определения  статистической значимости коэффициента детерминации R² проверяем гипотезу H₀:F=0 для F – статистики:

      F=

      F=6,38

Величина  F имеет распределение Фишера с υ₁=2, υ₂=n-3.

Проверку  значимости R² можно выполнить двумя способами.

1. Критическое значение F_кр при заданных α=0,05; υ₁=2; υ₂=7 определяем по таблице F – распределения Фишера или в Excel с помощью функции

      F_кр=4,73

Из сравнения  наблюдаемого значения F с критическим получаем:

      F> F_кр , значит H₀ отвергается, т.е. R²=0,498 значим при 5%-ном уровне, уравнение регрессии следует признать адекватным.

2. Наблюдаемому (расчетному) значению критерия F соответствует определенная значимость F, которую вычисляем в Excel с помощью функции

      Значимость  F=0,003

Поскольку значимость F<0,05, то R² значим при 5%-ном уровне.

Чаще  всего F – тест используется для оценки того, значимо ли объяснение, даваемое уравнением в целом. 

4. Коэффициент эластичности

Различия  в единицах измерения факторов устраняют  с помощью частных коэффициентов  эластичности. Рассчитываем по формуле:

      Э_i= b_i

      Э₁=0,46;   Э₂=0,63 

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько % в среднем изменяется зависимая переменная с изменением на 1% каждого фактора при фиксированном  значении других факторов.

5. Средняя ошибка аппроксимации

Оценку  качества построенной модели дает не только коэффициент детерминации, но и средняя ошибка аппроксимации.

Ср. ошибка аппроксимации  – среднее отклонение расчетных значений зависимой переменной от фактических.

      А=9,1%

Допустимый  предел значений не более 8 – 10 %. 

6. Расчет  β – коэффициентов

β_i = b_i*S_Xi/S_y

β₁= 0,01

β₂=0,03.

Бета  – коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую  часть величины среднего квадратичного  отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратичное отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных  независимых переменных. Это означает, что при увеличении дохода на 0,469 усл ед накопления увеличатся на 11,7 усл ед.