Эконометрическое моделирование линейного уравнения парной регрессии

 

 

 

 

Расчетно-графическая  работа

по дисциплине Эконометрика

 

Эконометрическое  моделирование

линейного уравнения  парной регрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

  1. Таблица исходных данных. Поле корреляции 3

2. Расчет параметров a и b линейного уравнения парной регрессии при помощи МНК. 6

3. Оценка качества и экономическое обоснование модели линейного уравнения парной регрессии. 9

4. Расчет прогнозных значений исследуемой переменной 12

 

 

Введение

 

Целью данной работы является выявление  зависимости среднедушевых расходов от средней заработной платы в регионе.

Задачи  данной работы:

  • создание исходной таблицы данных, построение поля корреляции;
  • расчет параметров a и b линейного уравнения парной регрессии при помощи МНК;
  • оценка качества и экономическое обоснование модели линейного уравнения парной регрессии;
  • расчет прогнозных значений исследуемой переменной.

 

  1. Таблица исходных данных. Поле корреляции.

Существует связь между среднедушевыми денежными расходами и среднедушевыми денежными расходами.

Статистические  данные приведены в таблице 1

Таблица 1 – Исходные данные

Регион

Среднедушевые денежные расходы, р. у

Среднедушевые денежные доходы, р. x.

Брянская обл.

2818,4

2465,4

Владимирская обл.

2795

2467,5

Ивановская обл.

2730

2415

Калужская обл.

2762,5

2440,2

Костромская обл.

2739,1

2422,4

Орловская обл.

2735,2

2419,2

Рязанская обл.

2752,1

2422,4

Смоленская обл.

2748,2

2429,7

Тверская обл.

2783,3

2458,1


 

Модели  парной корреляции и регрессии отражают взаимосвязь двух факторов (переменных). Одна из переменных является независимым  фактором, аргументом, вторая – зависимая  переменная, функция.

За факторный  признак принимаем среднедушевой  денежный доход X, а за результативный признак принимаем средний душевой денежный расход Y.

 Поле  корреляции – это совокупность  точек с координатами (хi, yi), отображенных на координатной плоскости. Для того, чтобы отобразить поле корреляции на диаграмме необходимо построить точечную диаграмму. Для этого:

Для зависимости среднедушевого денежного  расхода от среднедушевого денежного  дохода получена диаграмма (рисунок 1).

 

Рисунок 1- Зависимость среднедушевых расходов от среднедушевых доходов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Расчет параметров a и b линейного уравнения парной регрессии при помощи МНК.

 

Имеется зависимость  средней заработной платы от среднедушевых  денежных расходов некоторых регионов России.

Для применения МНК необходимо построить систему  вида: 

                                                                                   (1)


Для этого  необходимо определить значения сумм, используемые в системе, далее записать систему с найденными значениями сумм относительно неизвестных параметров a и b.

В MS Excel построим и заполним расчетную таблицу вида.

Таблица 2

i

xi

yi

xi2

yi xi

Брянская обл.

2818,4

2465,4

    

…

…

…

    

Тверская обл.

2783,3

2458,1

    

Сумма

        

 

Значения  в столбцах xi2 и yi xi , а также строку Сумма (значения сумм по каждому из столбцов) необходимо рассчитать, вставляя формулы в соответствующие ячейки.

Для нахождения параметров а и b выделим две пустые ячейки и рассчитаем значения, воспользовавшись формулами:

  (2);      
                     (3).

Для того чтобы использовать формулы нужно  прежде рассчитать значения средних, поэтому  под строкой «Сумма» запишем строку «Среднее», и рассчитаем значения средних величин по каждому из столбцов.

Расчет параметров a и b линейного уравнения парной регрессии при помощи функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК.

При применении функции НАКЛОН значение параметра b=1,3887.

При применении функции ОТРЕЗОК значение параметра  а= -622,891.

Запишем уравнение:у=1,3887х-622,891

Для определения значений добавим в таблицу такой столбец. Для каждого хi рассчитаем в столбце значения, используя построенное уравнение регрессии, подставляя в него вместо х значения хi.

Аналогично  рассчитаем значения . Добавим столбец ; для каждого значения хi рассчитаем в столбце значения, используя формулу     (4).

 

В результате общая организация расчетов в  Excel будет иметь вид:

Таблица 3

  i

  у i

 х i

ŷx

ŷx2

y2

ε

Брянская обл.

2818,4

2465,4

2801,021

7845720

7943379

17,37878

Владимирская обл.

2795

2467,5

2803,938

7862066

7812025

-8,93767

Ивановская обл.

2730

2415

2731,026

7458505

7452900

-1,02642

Калужская обл.

2762,5

2440,2

2766,024

7650888

7631406

-3,52382

Костромская обл.

2739,1

2422,4

2741,303

7514745

7502669

-2,20344

Орловская обл.

2735,2

2419,2

2736,859

7490399

7481319

-1,65932

Рязанская обл.

2752,1

2422,4

2741,303

7514745

7574054

10,79656

Смоленская обл.

2748,2

2429,7

2751,442

7570431

7552603

-3,24157

Тверская обл.

2783,3

2458,1

2790,883

7789028

7746759

-7,58309

Среднее

2762,644

2437,767

2762,644

7632947

7633013

0,0000

a=

  

-622,891

b=

  

1,3887


 

 

Экономический смысл уравнения: у=1,3887х-622,891.

-622,891–  свободный член уравнения, характеризующий  среднедушевые денежные расходы  при нулевых среднедушевых денежных  доходах.

1,3887–  коэффициент уравнения регрессии,  показывающий во сколько раз  увеличатся среднедушевые денежные  расходы при увеличении среднедушевых  денежных доходов на 1 р. То  есть, при увеличении среднедушевых  денежных доходов на 1 рубль, среднедушевые  расходы увеличатся на 1 рубль  39 копеек.

 

  1. Оценка качества и экономическое обоснование модели линейного уравнения парной регрессии.

 

Результирующая  информация для модели линейного  уравнения регрессии и оценки его качества зависимости затрат на производство от выпуска продукции  после применения инструмента "Регрессия".

 

ВЫВОД ИТОГОВ

              
                 

Регрессионная статистика

              

Множественный R

0,958769

              

R-квадрат

0,919239

              

Нормированный R-квадрат

0,907701

              

Стандартная ошибка

9,161722

              

Наблюдения

9

              
                 

Дисперсионный анализ

            
 

df

SS

MS

F

Значимость F

      

Регрессия

1

6687,702

6687,702

79,67512

4,5E-05

      

Остаток

7

587,56

83,93715

          

Итого

8

7275,262

            
                 
 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Нижние 90,0%

Верхние 90,0%

Y-пересечение

-622,891

379,2976

-1,64222

0,144547

-1519,79

274,0052

-1341,5

95,71805

Переменная X 1

1,388786

0,155587

8,926092

4,5E-05

1,02088

1,756691

1,094014

1,683558


 

Значения показателей оценки качества подбора уравнения в целом  находятся в верхней части  таблицы ВЫВОД ИТОГОВ и представлены в информации о регрессионной  статистике и дисперсионном анализе. Коэффициент детерминации R2 представлен показателем "R-квадрат" (регрессионная статистика), линейный коэффициент корреляции R – "Множественный R" (регрессионная статистика), F-критерий Фишера – "F" (дисперсионный анализ).

Значения параметров находятся  в нижней части таблицы. Строка Y-пересечение  содержит информацию о значении параметра  а (столбец "Коэффициенты"), далее  по строке – значение стандартной  ошибки ma (столбец "Стандартная ошибка"), расчетное значение t-критерия Стьюдента (представлено показателем t-статистика), два доверительных интервала (первый построен по уровню надежности α=90%, второй – по тому, который был указан в диалоговом окне Регрессия; если было выбрано значение α, по умолчанию равное 90%, то второй доверительный интервал построен также по уровню надежности α=95%). Аналогично представлена информация о коэффициенте регрессии – параметре b, которая расположена ниже строки Y-пересечение (строка "Среднедушевые денежные доходы, р. в месяц, Х"). Смотрим по этой строке: значение параметра b – столбец "Коэффициенты", и далее по строке представлены значения показателей существенности этого параметра – стандартная ошибка, t-критерий Стьюдента и два доверительных интервала.  

Таким образом, для зависимости среднедушевых денежных расходов от среднедушевых денежных доходов можем записать модель (уравнение):

=1,3887х-622,891

Показатели оценки качества построенной  модели:

1. Коэффициент детерминации R2 = 0,92. Следовательно 92 % дисперсии среднедушевых денежных расходов объяснены среднедушевыми денежными доходами. На долю прочих факторов приходится 8 % дисперсии расходов.

2. Коэффициент корреляции rху = 0,96. Значение очень близко к 1, связь между доходами и расходами очень тесная, близка к функциональной.

3. F-критерий Фишера F = 79,7. Показатель "Значимость F" (0,000424) меньше 0,1. Значит расчетное значение (79,7) больше табличного, связь между ден. расходами и доходами значима, а построенное уравнение статистически значимо.

 

Показатели существенности параметров:

1. Стандартная ошибка:

- для параметра а ma = 1031,78;

- для параметра b mb = 0,575.

2. t-критерий Стьюдента

- для  параметра а ta = -4,53;

- для параметра b tb = 6,25.

3. Доверительный интервал для  параметра b: bÎ [2,23;4,95] для вероятности 95%. И bÎ [2,50;4,69].-для 90%. b существенный параметр.

 

  1. Расчет прогнозных значений исследуемой переменной.

 

В интервале изменения  факторной переменной произвольно  указываются три новых значения, для них рассчитываются прогнозные значения результирующей переменной с  использованием построенной модели. Расчет осуществляется путем непосредственной подстановки новых значений фактора  в уравнение регрессии и получения, таким образом, прогнозных значений результата.

Я записала три новых значения фактора: 2450р., 2460р., 2420р..

При этом вводив следующую формулу для ячеек  в которых должны получиться значения (=(значение параметра а)+(значение параметра  b)*(значение параметра х), т.е. получилась формула уравнения регрессии: y=a+b*x.

Получилось:

Таблица 4

Среднедушевые денежные доходы, р. x

Среднедушевые денежные расходы, р. , y

2450

2780,159

2460

2794,049

2420

2738,489


 

 

 

Заключение

В своей работе я провела регрессионный анализ зависимости среднедушевых денежных доходов от средней заработной платы.

Получаем  уравнение регрессии следующего вида:

y = 1,3887x -622,891+ ε,

Свободный член уравнения (а), характеризующий  среднедушевые денежные расходы при нулевых среднедушевых денежных доходах равен -622,891.

Коэффициент уравнения регрессии (b), показывающий, на сколько увеличатся среднедушевые  денежные расходы при увеличении среднедушевых денежных доходов  на 1 р. равен 1,39. То есть, при увеличении среднедушевых денежных доходов  на 1 рубль, среднедушевые расходы увеличатся на 1 рубль 39 копеек.

Коэффициент детерминации R2 = 0,92. Следовательно 92 % дисперсии среднедушевых денежных расходов объяснены среднедушевыми денежными доходами. На долю прочих факторов приходится 8 % дисперсии расходов.

 Коэффициент  корреляции rху = 0,96. Значение очень близко к 1, связь между расходами и доходами очень тесная, близка к функциональной.

F-критерий  Фишера F = 79,7. Fтабл.=5,59. Так как, Fрасч.>Fтабл. делается вывод, что связь между расходами и доходами значима и построенное уравнение статистически значимо.

 

 

 

Список литературы

1. Макарова Н.В., Трофимец Н.Я.  Статистика в Excel: Учебное пособие – М.: Финансы и статистика, 2002 – 368 С.

2. Практикум по эконометрике/ Елисеева  И.И., Курышева СВ., Гордиенко Н.М. и др. – М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Эконометрика: Учебник./ Под ред. И.И.Елисеевой.  — М.: Финансы и статистика, 2002 – 344 С.