Эконометрика

Эконометрика 
 
 
 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ЗАДАНИЕ 1. РАСКРЫТИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ………………………………3

ЗАДАНИЕ 2………………………………………………………………………………………4

ЗАДАНИЕ 3……………………………………………………………………………………..10

ЗАДАНИЕ 4……………………………………………………………………………………..17

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………………………...29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАДАНИЕ 1

РАСКРЫТИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ 
 

Нелинейная  регрессия.

Если  между экономическими явлениями  существуют нелинейные отношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и других. Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объёмом произведённой продукции и основными факторами производства – трудом, капиталом и т. п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами, или доходом) и другие.

Классы  нелинейных регрессий.

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных.

Примером  нелинейной регрессии по включаемым в неё объясняющим переменным могут служить следующие функции:

• полиномы разных степеней - ,

;

• равносторонняя гипербола - .

Регрессии нелинейные по оцениваемым  параметрам.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

• степенная - ,
• показательная - ,
• экпонениальная - .

ЗАДАНИЕ 2

     ТЕМА  «ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ» 

По территориям  региона приводятся данные за 199X г.

Таблица 1. Данные по территориям региона  за 199Х год.

     Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью - критерия Фишера и - критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

     Решение:

     Предположим, что связь между среднедушевым  прожиточным минимумумом в день одного трудоспособного и среднедневной  заработной платой линейная. Для подтверждения  предположения построим поле корреляции.

     График 1. Поле корреляции.

     По  графику видно, что точки выстраиваются  в некоторую прямую линию, из чего делаем вывод, что зависимость у от х является линейной.

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу.

Таблица 2. Таблица промежуточных расчётов.

Рассчитываем  параметры линейного уравнения  парной регрессии .

Для этого  воспользуемся следующей формулой:

0,90

64,27

     Таким образом, получаем уравнение , из которого следует, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума в день на 1 рубль, среднедневная заработная плата увеличивается на 0.90 рублей.

     Находим ошибку аппроксимации по следующей формуле:

      , и заполняем столбец  .

     Средняя ошибка аппроксимации  3,59 %, что говорит о хорошем качестве уравнения регрессии и свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным, так как не превышает 8 – 10 %.

     Находим показатель тесноты связи (линейный коэффициент корреляции) по формуле: 0,787

     В соответствии с таблицей Чеддока  уровень тесноты связи характеризуется как высокий, т.к. находится в пределах 0,7 – 0,9.

     Коэффициент детерминации равен  , и показывает, что уравнением регрессии объясняется 61,9 % дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится 38,1 %.

     Оценим  качество уравнения регрессии в  целом с помощью F-критерия Фишера. Найдём фактическое значение F-критерия:

      16,247

     Табличное значение (при  =1, =12 – 2 =10, =0,05) равно =4,96.

Так как  > , то признаётся статическая значимость уравнения в целом.

     Для оценки статистической значимости коэффициентов  регрессии и корреляции рассчитаем t – критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

      53,631;

      0,223;

      19,503;

      0,195;

     Находим фактические значения t – статистик:

      4,036; 3,295; 4,036.

     Табличное значение t – критерия Стьюдента при α = 0,05 и числе степеней свободы v = n – 2 = 10 равно = 2,2281. Так как > , > , > , то признаём статистическую значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи. Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b: и , , . Получаем, что , .

     Найдём  прогнозное значение результативного  фактора  при значении признака – фактора, составляющем 107% от среднего уровня 1,07*86,833 = 92,91, то есть, найдём величину среднедневной заработной платы, если среднедушевой прожиточный минимум одного трудоспособного в день составит 92,91 рублей.

      147,89 рублей.

     Вывод: если среднедушевой прожиточный минимум одного трудоспособного в день составит 92,91 рублей, то величина среднедневной заработной платы будет  147,89 рублей.

     Найдём  доверительный интервал прогноза.

     Ошибка  прогноза составляет:

7,33 рубля,

а доверительный интервал: ≤ ≤ , где

16,33 рубля.

131,56 рублей  ≤ ≤ 164,22 рублей.

Строим  на одном графике исходный график и теоретическую прямую:

График 2. График исходных данных и данных по уравнению парной регрессии.

ЗАДАНИЕ 3

ТЕМА  «МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ» 

    По 20 предприятиям региона изучается  зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих , (%).

Таблица 2. Данные по 20 предприятиям региона.

      Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Для удобства расчётов составим промежуточную таблицу:

Таблица 3. Таблица промежуточных расчётов.

      Найдём  средние квадратические отклонения признаков:

2,532;

1,934;

7,553. 

      Для нахождения параметров линейного уравнения  множественной регрессии  применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: .

Расчёт -коэффициентов выполним по формуле: , для этого рассчитаем линейные парные коэффициенты корреляции:

0,989;

0,969;

0,971;

0,842;

0,152.

Получаем  уравнение  .

Найдём  коэффициенты множественной регрессии по формуле:

1,102;

0,051.

Параметр  2,207.

Таким образом, получаем следующее уравнение множественной регрессии в естественной форме: .

     Для характеристики относительной силы влияния  и на рассчитаем средние коэффициенты эластичности по формуле: .

0,674%; 0,112%.

     Вывод: с вводом в действие новых основных фондов на 1% от среднего уровня выработка продукции на одного работника возрастает на 0,674% от её среднего уровня; при повышении среднего удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% выработка продукции на одного работника возрастает на 0,112% от её среднего уровня. Сила влияния ввода в действие новых основных фондов на уровень выработки продукции на одного работника больше, чем сила влияния повышения среднего удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих , что подтверждается сравнением модулей значений и : > .

     Частные коэффициенты корреляции характеризуют  тесноту связи между результатом  и соответствующим фактором при  устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Рассчитаем  линейные коэффициенты частной корреляции по  рекуррентным формулам:

;

;

0,356; 

     Вывод: чистое влияние фактора  на результат при постоянном действии фактора составляет (остаётся высоким), чистое влияние фактора на результат при постоянном действии фактора составляет (становится слабым), межфакторная связь уменьшилась ( ) , и характеризуется как умеренная.

     Найдём значение коэффициента множественной детерминации:

;

     Тогда линейный коэффициент множественной  корреляции будет равен корню  квадратному из коэффициента множественной детерминации .

     Вывод: зависимость от и характеризуется по таблице Чеддока как весьма высокая, в которой 97,9% вариации выработки продукции на одного работника определяются вариацией учтенных в модели факторов: вводом в действие новых основных фондов и повышения среднего удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют, соответственно, 2,1% от общей вариации .

     Вычислим  скорректированное значение множественного коэффициента детерминации: , где

     n – число наблюдений;

     k – число переменных, вошедших в модель.

.

Вывод: скорректированный множественный  коэффициент детерминации уменьшился на 0,25% и зависимость  от и практически не изменилась.

     С помощью общего F – критерия Фишера оценим статистическую значимость уравнения регрессии и коэффициента детерминации :

, где

n – число наблюдений;

m - число переменных, вошедших в модель.

.

  .

Сравнивая и , видим, что < . С вероятностью

1 –  α = 0,95 делаем заключение о статистической  значимости уравнения в целом и коэффициента детерминации , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов  и .

     С помощью частных F – критериев Фишера - и оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после ( ) и фактора после ( ).

.

; .

Сравнивая и , приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора после фактора , так как > .

.

      Низкое значение (меньше единицы) свидетельствует о статической незначимости прироста  за счёт включения в модель фактора после фактора . Это означает, что парная регрессионная модель зависимости выработки на одного работника от ввода в действие новых основных фондов является достаточно статистически значимой, надёжной, и что нет необходимости улучшать её, включая дополнительный фактор (средний удельный вес рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих).

      Таким образом, уравнение регрессии принимает  следующий вид:

ЗАДАНИЕ 4

ТЕМА  «ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ» 

     Имеются условные данные об объемах потребления  электроэнергии ( ) жителями региона за 16 кварталов.

Таблица 4. Данные об объёмах потребления  электроэнергии жителями региона. 

     Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
2. Построить мультипликативную модель временного ряда.
3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Построим  график исходных данных:

График 3. Условные данные об объёмах потребления электроэнергии жителями региона.

     При наличии во временном  ряде тенденции и циклических  колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно её можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

     Формула для расчёта коэффициента автокорреляции первого порядка при лаге 1 имеет следующий вид:

, где ;  .

     Аналогично  можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков.

Для удобства расчёта коэффициентов автокорреляции составим промежуточные таблицы.  

Таблица 6. Расчёт коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда об объёмах потребления электроэнергии жителями региона.