Эконометрика. 2

Содержание

Введение…………………………………………………………………..3

1. Парная линейная регрессия…………………………………………..4

2. Парная нелинейная регрессия………………………………………….8

3. Множественная регрессия……………………………………………15

Заключение………………………………………………………………18

Список использованной литературы…………………………………..20

Введение

ЭКОНОМЕТРИКА [econometrics] — научная дисциплина, предметом которой является изучение количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа. (Близкое, но не тождественное значение имеет термин “эконометрия”, под ним обычно понимается наука, которая тесно связана с математической экономией и отличается от последней в основном применением конкретного числового материала.) В эконометрике как бы синтезируются достижения теоретического анализа экономики с достижениями математики и статистики (прежде всего математической статистики).

Сам термин “Эконометрика” происходит от двух слов — экономия и метрика (т. е. измерение). Он введен в науку норвежским ученым Р. Фришем, лауреатом Нобелевской премии по экономике. Широко известный международный журнал этого направления тоже называется “Econometrica” (основан в 1933 г. Р. Фришем).

Есть много определений Эконометрики. Эконометрика – это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приёмов, методов и моделей, предназначенная для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики, математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим закономерностям, обусловленным экономической теорией взаимосвязи экономических явлений и процессов.

Эконометрика — одно из ответвлений комплекса научных дисциплин, объединяемых понятием “экономико-математические методы”. Ее главным инструментом является эконометрическая модель (как определенный тип экономико-математических моделей), задачей — проверка экономических теорий на фактическом (эмпирическом) материале при помощи методов математической статистики.

          Среди конечных прикладных задач Эконометрики выделяют две: прогноз экономических и социально-экономических показателей анализируемой экономической системы, имитацию различных возможных сценариев развития этой системы. По уровню иерархии анализируемой экономической системы выделяют макроуровень (т. е. страны в целом), мезоуровень (регионы, отрасли, корпорации) и микроуровень (домашние хозяйства, фирмы).  Эконометрика применяет такие методы, как регрессионный анализ, анализ временных рядов, системы одновременных уравнений, статистические методы классификации и снижения размерности, а также другие методы и инструментарий теории вероятностей и математической статистики.

Эконометрика как наука возникла в начале прошлого века, хотя истоки ее восходят к В. Петти (XVII в.) с его “политической арифметикой”, О. Курно и Э. Энгелю (XIX в.) и др. В XIX в. были разработаны и началось использование в Эконометрике таких статистических методов, как множественная регрессия, статистическая проверка гипотез, теория ошибок, выборочные методы (Р. Фишер, К. Пирсон, Э. Пирсон и др.). В первой половине ХХ в. появился интерес к моделированию структур спроса и потребительских расходов и их эмпирической оценке (Р. Аллен, А. Маршалл и др.). В этот же период формулируется задача идентификации (Е. Уоркинг), начинается изучение производственной функции (Ч. Кобб, П. Дуглас), статистическое моделирование делового цикла (Н. Кондратьев, Е. Слуцкий, Р. Фриш).

Основная цель эконометрики – дать исследователям инструмент для прогнозирования поведения экономического объекта в различных ситуациях и на базе прогнозирования решать практические задачи по оптимальному управлению объектом, выбору стратегии поведения на рынке и т.п. Основная задача эконометрики состоит в построении эконометрических моделей, описывающих взаимообусловленное развитие социально-экономических процессов, на основе информации, отражающей распределение их уровней во времени и в пространстве однородных объектов.

Вариант 6

1. Парная линейная регрессия

Задача

Исследуется зависимость производительности труда (Y, т/час) от уровня механизации работ (X, %), n=10 промышленных предприятий (см. табл. 1).

Таблица 1

Необходимо:

1)      построить поле корреляции (точечный график экспериментальных значений) и сделать предварительное эмпирическое предположение о характере связи между случайными величинами (СВ) Y и X;

2)      оценить тесноту линейной связи между СВ Y и X с помощью коэффициента корреляции rxy (согласуется ли оно с предварительным предположением?);

3)      получить методом наименьших квадратов уравнение парной линейной регрессии Y на X;

4)      получить прогнозные (теоретические) значения объясняемой переменной Y для заданных значений X; пользуясь ими, нанести линию полученной линейной регрессии на одну диаграмму с точечным графиком экспериментальных данных; визуально убедиться в качестве построенной модели.

5)      оценить качество подгонки полученного уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R2xy;

6)      оценить значимость модели на уровне α=0,05 с помощью F-критерия Фишера-Снедекора;

7)      оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации ;

8)      дать оценку силы связи между Y и X с помощью среднего коэффициента эластичности ;

9)      спрогнозировать производительность труда на предприятии при заданном уровне механизации 50%

10)  в каких пределах может варьироваться производительность труда у этого предприятия (с 90% надежностью) при заданном уровне механизации 50%

РЕШЕНИЕ:

1.

2.Полученный коэффициент корреляции r=0,947 близок по модулю к 1, что говорит о наличии очень тесной линейной связи между X и Y. Знак “плюс” означает, что имеет место прямая линейная корреляция,  т.е. с ростом X растет Y, что соответствует экономическому смыслу: с ростом уровня механизации, растет производительность труда.

3. b=0,501 и a=8,483

Положительный знак b соответствует увеличению регрессии, а его модуль характеризует угол наклона прямой линии.

Уравнение парной линейной регрессии имеет вид: y=8,483+0,501x+ε

4.

Т.к. экспериментальные и теоретические графики нанесены на одну диаграмму, хорошо видно, что экспериментальные точки лежат достаточно близко к теоретической прямой линии – графику уравнения парной линейной регрессии. Это согласуется с полученным выше значением коэффициента корреляции, близким по модулю к 1.

5. Полученное значение  коэффициента детерминации Rxy2=0,897 близко к единице, что говорит о хорошем качестве построенной модели.

6. F=69,351. Имеем F0,05;1;8 =5,32. Т.к. F>Fтабл., то модель значима на уровне α=0,05.

7. Допустимой максимальной средней относительной ошибкой обычно считается 8-10% (в нашем случае 5,70%). Данная модель достаточно точна.

8. Полученное значение =0,732-высокая эластичность означает, что при увеличении X на 1% от своего среднего значения Y увеличится на 0,732% от своего среднего значения. Сила влияния X (степени механизации производства) на  Y (производительность труда) достаточно велика. С ростом механизации производительность труда увеличивается в достаточной мере.

9. Yx=50=8,483+0,501*50=33,533

Т.е. для предприятия, с уровнем механизации 50%, производительность труда будет составлять 33,533 т/час.

10. 29,24237,870, т.е. на данном предприятии с механизацией 50% производительность труда не опустится ниже 29,242 т/час и не превысит 37,870 т/час (с 90-% надежностью).

3

Таблица 2

Результат решения «Парная линейная регрессия»

3

2. Парная нелинейная регрессия

Задача

Зависимость урожайности пшеницы (Y, ц/га) от количества внесенного удобрения (X, ц/га) представлена в таблице 1

Таблица 1

Необходимо:

1)      получить уравнение парной нелинейной квадратичной регрессии y=a+bx+cx²+ε;

2)      оценить тесноту нелинейной связи переменных с помощью индекса корреляции ;

3)      оценить качество подгонки квадратичного уравнения коэффициентом детерминации R2;

4)      оценить качество модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации ;

5)      аналогичные расчеты выполнить для:

       линейной модели y=a+bx+ε;

       гиперболической модели y=a+b/x+ε;

       степенной модели y=a·xb·ε;

       показательной модели y=a·bx·ε;

6)      результаты совместить на одном графике, сделать вывод какая из этих моделей предпочтительнее.

Решение:

1. y=10,850+2,391x-0,0119x2

2. =0,925, что свидетельствует о наличии очень тесной нелинейной квадратичной связи между X и Y.

3. R2=0,856, что близко к 1 и свидетельствует о достаточно высоком качестве подгонки полученного квадратичного уравнения регрессии.

4. Вычисленная средняя относительная ошибка =5,91% находится в пределах приемлемой точности , следовательно, квадратичная модель достаточно точна.

3

Таблица 2

Результат решения «Парная нелинейная квадратичная регрессия»

3

5.

Таблица 3

Результат решения «Парная линейная регрессия»

3

Таблица 4

Результат решения «Парная нелинейная гиперболическая регрессия»

3

Таблица 5

Результат решения «Парная нелинейная степенная регрессия»

Таблица 6

Результат решения «Парная нелинейная показательная регрессия»