Эконометрика  как наука:

Содержание, цели, задачи,

направления развития 
 
 
 

Москва

2007

Содержание

Введение

       Эконометрика - метод экономического анализа, который объединяет экономическую теорию со статистическими и математическими методами анализа. Это попытка улучшить экономические прогнозы и сделать возможным успешное планирование экономической политики. В эконометрике экономические теории выражаются в виде математических соотношений, а затем проверяются эмпирически статистическими методами. Данная система используется, чтобы создать модели с целью прогнозирования таких важных показателей, как валовой национальный продукт, уровень безработицы, темп инфляции и дефицит федерального бюджета. Эконометрика используется все более широко, несмотря на то, что полученные с помощью нее прогнозы не всегда оказывались достаточно точными.

       Проблемы  в эконометрики многочисленны и  разнообразны. Экономика - это сложный, динамический, многомерный и эволюционирующий объект, поэтому изучать ее трудно. Как общество, так и общественная система изменяются со временем, законы меняются, происходят технологические инновации, поэтому найти в этой системе инварианты непросто. Временные ряды коротки, сильно агрегированы, разнородны, нестационарны, зависят от времени и друг от друга, поэтому мы имеем мало эмпирической информации для изучения. Экономические величины измеряются неточно, подвержены значительным позднейшим исправлениям, а важные переменные часто не измеряются или ненаблюдаемы, поэтому все выводы неточны и ненадежны. Экономические теории со временем меняются, соперничающие объяснения сосуществуют друг с другом, и поэтому надежная теоретическая основа для моделей отсутствует. И среди самих эконометристов, по-видимому, нет согласия по поводу того, как следует заниматься их предметом.

    В последние годы большое внимание в эконометрической литературе уделяется анализу структурных свойств экономических временных рядов. Это вызвано тем, что далеко не всегда значения временного ряда формируются под воздействием некоторых факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений или случайными флуктуациями. В последнее время появилось достаточно большое количество работ, в которых рассматриваются различные эконометрические аспекты развития Российской экономики.

    Для временных рядов главный интерес  представляет описание или моделирование их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию можно получить и непосредственно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономических законов (скажем, закона паритета покупательной способности) и проверяя различные гипотезы (например, гипотезу эффективности финансовых рынков). Построенная модель может использоваться для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.

    Для правильного решения различных  содержательных задач экономического анализа необходимо рассматривать различные аспекты каждого исследуемого временного ряда, а для этого, прежде всего, нужно определить его глобальную структуру, т.е. решить вопрос об отнесении каждого из рассматриваемых рядов к классу рядов, стационарных относительно тренда – TS (trend stationary), или к классу рядов, остационариваемых только путем дифференцирования ряда – DS (difference stationary) рядов.

    Проблема  отнесения  макроэкономических рядов  динамики, имеющих выраженный тренд, к одному из двух указанных классов активно обсуждалась в последние два десятилетия в мировой эконометрической и экономической литературе, поскольку траектории TS и DS ряды отличаются друг от друга кардинальным образом. TS ряды имеют линию тренда в качестве некоторой “центральной линии”, которой следует траектория ряда, находясь, то выше, то ниже этой линии, с достаточно частой сменой положений выше-ниже. DS ряды помимо детерминированного тренда (если таковой имеется) имеют еще и стохастический тренд, из-за присутствия которого траектория DS ряда весьма долго пребывает по одну сторону от линии детерминированного тренда (выше или ниже соответствующей прямой), удаляясь от нее на значительные расстояния, так что по-существу в этом случае линия детерминированного тренда перестает играть роль “центральной” линии, вокруг которой колеблется траектория процесса. В TS-рядах влияние предыдущих шоковых воздействий затухает с течением времени, а в DS-рядах такое затухание отсутствует и каждый отдельный шок влияет с одинаковой силой на все последующие значения ряда. Поэтому наличие стохастического тренда требует определенных политических усилий для возвращения макроэкономической переменной к ее долговременной перспективе, тогда как при отсутствии стохастического тренда серьезных усилий для достижения такой цели не требуется – в этом случае макроэкономическая переменная “скользит” вдоль линии тренда как направляющей, пересекая ее достаточно часто и не уклоняясь от этой линии сколько-нибудь далеко.

    Построение  адекватной модели макроэкономического  ряда, которую можно использовать для описания динамики ряда и прогнозирования его будущих значений, и адекватных моделей связей этого ряда с другими макроэкономическими рядами невозможно без выяснения природы этого ряда и природы рядов, с ним связываемых, т.е. без выяснения принадлежности ряда к одному из двух указанных классов (TS или DS).

    В работе нумерация параграфов и уравнений  начинается в буквы «П».

    Глава 1. Обзор процедур, используемых для различения TS и DS рядов

    П1.1. Критерий Дики-Фуллера

    Под критерием Дики-Фуллера в действительности понимается группа критериев, объединенных одной идеей,  предложенных и изученных в работах [Dickey (1976)], [Fuller (1976)], [Dickey, Fuller (1979)], [Dickey, Fuller (1981)]. В критериях Дики-Фуллера проверяемой (нулевой) является гипотеза о том, что исследуемый ряд x_t принадлежит классу DS (DS-гипотеза); альтернативная гипотеза – исследуемый ряд принадлежит классу TS (TS-гипотеза). Критерий Дики-Фуллера фактически предполагает, что наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии первого порядка (возможно, с поправкой на линейный тренд).  Критические значения зависят от того, какая статистическая модель оценивается и какая вероятностная модель в действительности порождает наблюдаемые значения. При этом рассматриваются следующие три пары моделей (SM – статистическая модель, statistical model; DGP – модель порождения данных, data generating process).

    1) Если  ряд имеет детерминированный линейный тренд (наряду с которым может иметь место и стохастический тренд), то в такой ситуации берется пара

    SM:                                                                         

    DGP:

    В обоих случаях e_t – независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием..

    Методом наименьших квадратов оцениваются  параметры данной SM и вычисляется значение t-статистики t_j для проверки гипотезы H₀ : j = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем t_crit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание со сносом). DS-гипотеза отвергается, если t_j < t_crit. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц, если ряд наблюдается на интервалах длины T = 25, 50, 100, 250, 500.

    2) Если ряд x_t не имеет детерминированного тренда (но может иметь стохастический тренд) и имеет ненулевое математическое ожидание, то берется пара

    SM:                                                                         

    DGP:

    Методом наименьших квадратов оцениваются  параметры данной SM и вычисляется значение t-статистики t_j для проверки гипотезы H₀ : j = 0. Полученное значение  сравнивается с критическим уровнем t_crit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание без сноса). DS-гипотеза отвергается, если t_j < t_crit. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц. Если ряд наблюдается на интервалах длины  T = 25, 50, 100, 250, 500.

    3) Наконец, если ряд x_t не имеет детерминированного тренда (но может иметь стохастический тренд) и имеет нулевое математическое ожидание, то берется пара

    SM:                                                                           

    DGP:    

    Методом наименьших квадратов оцениваются  параметры данной SM и вычисляется значение t-статистики t_j для проверки гипотезы H₀ : j = 0. Полученное значение  сравнивается с критическим уровнем t_crit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание без сноса). DS-гипотеза отвергается, если t_j < t_crit.

    Неправильный  выбор оцениваемой статистической модели может существенно отразиться на мощности критерия Дики-Фуллера. Например, если наблюдаемый ряд порождается моделью случайного блуждания со сносом, а статистические выводы делаются по результатам оценивания статистической модели без включения в ее правую часть трендовой составляющей, то тогда мощность критерия, основанная на статистике t_j, стремится к нулю с возрастанием количества наблюдений. С другой стороны, оцениваемая статистическая модель не должна быть и избыточной, поскольку это также ведет к уменьшению мощности критерия.

    П1.2. Расширенный  критерий Дики-Фуллера. Выбор количества запаздывающих разностей

    Описанный выше критерий Дики-Фуллера фактически предполагает, что наблюдаемый ряд  описывается моделью авторегрессии  первого порядка (возможно, с поправкой на линейный тренд). Если же наблюдаемый ряд описывается моделью более высокого (но конечного) порядка p и характеристический многочлен имеет не более одного единичного корня, то тогда можно воспользоваться расширенным (augmented) критерием Дики-Фуллера. В каждой из трех рассмотренных выше ситуаций достаточно дополнить правые части оцениваемых статистических моделей запаздывающими разностями Dx_t-j, t = 2,…, p - 1, так что, например, в первой ситуации теперь оценивается расширенная статистическая модель SM:  

    Полученные  при оценивании расширенных статистических моделей значения t-статистик t_j  для проверки гипотезы H₀ : j = 0 сравниваются с теми же критическими значениями t_crit, что и для рассмотренных выше (нерасширенных) моделей. DS-гипотеза отвергается, если     t_j < t_crit.

    Заметим, что расширенный критерий Дики-Фуллера может применяться и тогда, когда ряд x_t описывается смешанной моделью авторегрессии-скользящего среднего. Если ряд наблюдений x₁,…, x_T порождается моделью ARIMA(p, 1, q) c q > 0, то его можно аппроксимировать моделью ARI(p^*, 1) = ARIMA(p^*, 1, 0) с p^*< T ^1/3  и применять процедуру Дики-Фуллера к этой модели.

    Однако  даже если ряд наблюдений x₁,…, x_T действительно порождается моделью авторегрессии AR(p) конечного порядка p, то значение  p обычно не известно и его приходится оценивать на основании имеющихся наблюдений, а такое предварительное оценивание влияет на характеристики критерия. Поэтому при анализе данных приходится сначала выбирать значение p=p_max достаточно большим, так, чтобы оно было не меньше истинного порядка p₀ авторегрессионной модели, описывающей ряд, или порядка р^* аппроксимирующей авторегрессионной модели, а затем пытаться понизить используемое значение р, апеллируя к наблюдениям.

    Такое понижение может осуществляться, например, путем последовательной редукции расширенной модели за счет исключения из нее незначимых (на 10% уровне) запаздывающих разностей (GS-стратегия перехода от общего к частному) или путем сравнения (оцененных) полной и редуцированных моделей с различными р ³ p_max по информационному критерию Шварца (SIC). Если p_max ³ p₀, то тогда в пределе (при Т ® ¥) SIC выбирает правильный порядок модели, а стратегия GS выбирает модель с р ³ р₀; при этом факт определения порядка модели на основании имеющихся данных не влияет на асимптотическое распределение статистики Дики-Фуллера.

    При практической реализации указанных  двух подходов, когда мы имеем лишь ограниченное количество наблюдений, эти две процедуры могут  приводить к совершенно различным выводам относительно необходимого количества запаздываний в правой части статистической модели, оцениваемой в рамках расширенного критерия Дики-Фуллера.

    Глава  2. Проблема анализа временных рядов

    П2.1. Стационарные временные ряды и  их основные характеристики

    Поиск модели, адекватно описывающей поведение  случайных остатков e_t анализируемого временного ряда x_t, производят, как правило, в рамках класса стационарных временных рядов.

    Определение П2.1. Ряд x_t называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей m наблюдений такое же, как и для m наблюдений , при любых t, и t₁,…, t_m.

    Другими словами, свойства строго стационарного  временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда x_t следует, что закон распределения вероятностей случайной величины x_t не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики, в том числе: среднее значение Ex_t = m и дисперсия Dx_t = s².

    Очевидно, значение m определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый временной ряд x_t, а постоянная величина s характеризует размах этих колебаний. Поскольку закон распределения вероятностей случайной величины x_t одинаков при всех t, то он сам и его основные числовые характеристики могут быть оценены по наблюдениям x₁,…, x_T. В частности:  - оценка среднего значения, - оценка дисперсии. (П2.1)

    Автоковариационная  функция g(t). Значения автоковариационной функции статистически оцениваются по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле где t = 1,… T - 1, а вычислено по формуле (П2.1).

    Очевидно, значение автоковариационной функции  при t = 0 есть не что иное, как дисперсия временного ряда, и, соответственно,

            (П2.2)

    Автокорреляционная  функция r(t). Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Поскольку в нашем случае коэффициент  измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величины r(t) в зависимости от значения t принято говорить об автокорреляционной функции r(t). График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой. Автокорреляционная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, по определению, могут колебаться от -1 до +1. Кроме того, из стационарности следует, что r(t) = r(-t), так что при анализе поведения автокорреляционных функций ограничиваются рассмотрением только положительных значений t.

    Выборочный  аналог автокорреляционной функции  определяется формулой

       (П2.3)

    Существуют  общие характерные особенности, отличающие поведение автокорреляционной функции стационарного временного ряда. Другими словами, можно описать в общих чертах схематичный вид коррелограммы стационарного временного ряда. Это обусловлено следующим общим соображением: очевидно, чем больше разнесены во времени члены временного ряда x_t и x_t+t, тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, тем меньше должно быть по абсолютной величине значение r(t). При этом в ряде случаев существует такое пороговое значение r₀, начиная с которого все значения  будут тождественно равны нулю.

    Частная автокорреляционная функция r_част(t). С помощью этой функции реализуется идея измерения автокорреляции, существующей между разделенными t тактами времени членами временного ряда x_t и x_t+t, при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость всех промежуточных членов этого временного ряда. Частная автокорреляция 1-го порядка может быть подсчитана с использованием соотношения:

        (П2.4)

    где m - среднее значение анализируемого стационарного процесса.

    Частные автокорреляции более высоких порядков могут быть подсчитаны аналогичным  образом по элементам общей корреляционной матрицы R = ||r_ij||, в которой r_ij = = r(x_i, x_j) = r(|i - j|), где i, j = 1,…, T и r(0) = 1. Так, например, частная автокорреляция 2-го порядка определяется по формуле:

      (П2.5)

    Эмпирические (выборочные) версии автокорреляционных функций получаются с помощью тех же соотношений (П2.4), (П2.5) при замене участвующих в них теоретических значений автокорреляций r(t) их статистическими оценками .

    Полученные  таким образом частные автокорреляции r_част(1),r_част (2),… можно нанести на график, в котором роль абсциссы выполняет величина сдвига t.

    Знание  автокорреляционных функций r(t) и r_част(t) оказывает существенную помощь в решении задачи подбора и идентификации модели анализируемого временного ряда.

    Спектральная  плотность p(w). Спектральную плотность стационарного временного ряда определяется через его автокорреляционную функцию соотношением

    где . Так как r(t) = r(-t), спектральная плотность может быть записана в виде

    Следовательно, функция p(w) является гармонической с периодом 2p. График спектральной плотности, называемый спектром, симметричен относительно w = p. Поэтому при анализе поведения p(w) ограничиваются значениями 0 £ w £ p. Спектральная плотность принимает только неотрицательные значения.

    Использование свойств этой функции в прикладном анализе временных рядов определяется как «спектральный анализ временных рядов». Применительно к статистическому анализу экономических рядов динамики этот подход не получил широкого распространения, т.к. эмпирический анализ спектральной плотности требует в качестве своей информационной базы либо достаточно длинных стационарных временных рядов, либо нескольких траекторий анализируемого временного ряда (и та и другая ситуация весьма редки в практике статистического анализа экономических рядов динамики).

    Для содержательного анализа важно, что величина спектральной плотности характеризует силу взаимосвязи, существующей между временным рядом x_t и гармоникой с периодом 2p/w. Это позволяет использовать спектр как средство улавливания периодичностей в анализируемом временном ряду: совокупность пиков спектра определяет набор гармонических компонентов в разложении (1.1.1). Если в ряде содержится скрытая гармоника частоты w, то в нем присутствуют также периодические члены с частотами w/2, w/3 и т.д.

    Можно несколько расширить класс моделей  стационарных временных рядов, используемых при анализе конкретных рядов экономической динамики.

    Определение 2.2. Ряд называется слабо стационарным (или стационарным в широком смысле), если его среднее значение, дисперсия и ковариации не зависят от t.

    П2.2. Неслучайная  составляющая временного ряда и методы его  сглаживания

   Принципиальные  отличия временного ряда от последовательности наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем:

• во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда не являются независимыми;
• во-вторых, члены временного ряда не обязательно являются одинаково распределенными, так что P{x_t < x} ¹ P{x_t¢ < x} при t ¹ t¢.

   Это означает, что свойства и правила статистического анализа случайной выборки нельзя распространять на временные ряды. С другой стороны, взаимозависимость членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого показателя по наблюденным значениям.

   Генезис наблюдений, образующих временной ряд (механизм порождения данных). Речь идет о структуре и классификации основных факторов, под воздействием которых формируются значения временного ряда. Как правило, выделяются 4 типа таких факторов.

• Долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака x_t. Обычно эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функции f_тр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или просто – трендом.
• Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Поскольку эта функция j(е) должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участвуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.
• Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической или демографической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п.) Результат действия циклических факторов будем обозначать с помощью неслучайной функции y(t).
• Случайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов x_t, а, следовательно, и необходимость интерпретации x₁,…, x_T как наблюдений, произведенных над случайными величинами x₁,…, x_Т. Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок ») e_t.