Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Экономические методы и модели

1. Понятие об экономико-математических методах и моделях

1.1. Основные математические модели в экономике и управлении

Экономико-математическая модель – это математическое описание экономического явления или процесса с целью его исследования и управления.

Оптимизационная модель позволяет из нескольких альтернативных вариантов выбрать наилучший вариант по любому признаку.

Сетевая модель основана на использовании сетевого графика, который позволяет планировать выполнение трудоемких работ с большим числом исполнителей.

Балансовая модель согласовывает потребности потребителей товаров и услуг с ограничением условий и возможности их производства и предоставления.

Модель, которая учитывает эконометрические риски, позволяет на основании системы количественных показателей проводить анализ и управление рисками в экономике и управлении.

Эконометрическая модель предназначена для анализа и прогнозирования рассматриваемых экономических явлений и процессов в условиях неопределенности информации с помощью методов математической статистики.

1.2. Терминология в экономико-математическом моделировании

Цель – это фундаментальное понятие, потому что экономическая деятельность всегда целенаправленна. Под целью понимают желаемый результат, который должен быть достигнутым.

Мероприятие – это совокупность действий, объединенных общей целью. В исследовании операций (ответвлении кибернетики) в место термина «мероприятие» используется понятие «операция».

Альтернативы – возможны варианты мероприятий, на основании которых принимается решение. Таких вариантов может быть несколько. Альтернативы могут быть дискретными или непрерывными. Количество дискретных альтернатив конечно: например, заменить определенный вид оборудования или нет (в данном случае альтернативы две). Альтернативы могут выбираться на непрерывном множестве: например, заменить оборудование данного вида (через день, два, неделю, месяц, год и т.д.); тогда количество альтернатив бесконечно, и под решением понимают выбор одной альтернативы из множества возможных.

Система (в переводе с греческого – целое, сопоставленное из частей) – это множественное число взаимосвязанных элементов, которые составляют определенные единства.

Элемент системы – часть системы, которая, исходя из цели и функций данной системы, является не делимой.

Сложная система – это множество разных структур и элементов этих структур.

Подсистема – это часть системы, которая выделенная с определенной целью; может рассматриваться как самостоятельная система.

Системный подход – главный научный принцип исследования систем в кибернетике, согласно которому необходимо учитывать взаимосвязи между элементами системы, между системой и внешней средой, между состоянием системы в данное время и в будущем. Основное понятие в кибернетике.

Модель – система, способная заменить оригинал (т.е. реальную систему) так, что ее изучение дает информацию об оригинале. Модель может полностью или частично воспроизводить структуру, которая моделируется, систему и ее функции.

Моделирование – процесс построения, реализации и исследования модели, который способен заменить реальную систему и дать информацию о ней.

Математическая модель – система математических и логических соотношений, которые описывают структуру и функции реальной системы. Математическая модель отличается по своей природе от оригинала. Исследования свойств оригинала с помощью математической модели удобнее, является дешевым, занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием, которое используется в технике (т.е. имеет туже природу, что и оригинал). Более того, целый ряд экономических систем невозможно изобразить с помощью физических моделей.

Экономико-математическая модель включает в себя систему уравнений и неравенств математического описания экономических процессов и явлений, которые состоят из набора переменных и параметров. Переменные величины характеризуют, например, объем выработанной продукции, капитальных вложений, перевозок и т.п. Переменные разделяются на две группы: объясняющие (независимые), которые являются заранее заданными и независимыми; объясняемые (зависимые), которые являются результативными показателями. Переменные величины могут быть двух групп: внешние переменные (экзогенные), когда они определяются вне данной модели и считаются для модели заданными; внутренние переменные (эндогенные), которые определяются в результате исследования данной модели.

Параметры – это численные признаки показателей, такие, как нормы расходов сырья, материалов, времени на производство и т.п. Во всех случаях необходимо, что бы модель имела достаточно детальное описание объекта, которое позволяло бы осуществлять, измерение экономических величин и определять их взаимосвязь, что бы были выделены факторы, влияющие на исследуемые показатели.

Эконометрическая модель – разновидность экономико-математической модели, параметры которой оцениваются с помощью методов математической статистики. Одним из основных подходов в измерении связи между исследуемыми показателями в эконометрической модели является корреляционно-регрессионный анализ. Он представляет собой комплекс методов, с помощью которых определяется вид уравнения для описания из исследуемых показателей и производится расчет их параметров (регрессионный анализ), а так же устанавливается теснота и значимость связи между переменными в уравнении или уравнениях (корреляционный анализ).

Экономико-математические методы – обобщенное название комплекса экономико-математических подходов, объединенных для изучения экономики и управления и предназначенных для построения, реализации и исследования экономических моделей.

Процесс моделирования пока еще не алгоритмизирован по причинам огромной сложности логического построения и математического описания этой работы. Однако в практике моделирования выработаны определенные принципы, которыми необходимо пользоваться.

1.3. Эволюция развития экономико-математических методов и моделей

Считается, что математические методы в экономике начали использоваться еще в 18 веке. Опубликовав работу «Экономические таблицы», французский экономист Ф. Кене впервые сделал попытку формализовать процесс общественного воспроизводства. В дальнейшем К. Марксом было осуществлено научное обоснование этого процесса за счет создания схем воспроизводства, которые имели большое влияние на развитие экономической науки.

В конце 19 века были разработаны и начали использоваться статистические методы, которые составили предпосылки к возникновению новой науки – эконометрии, представляющей собой одно из ответвлений экономико-математических методов по изучению количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического анализа и математической статистики. Возникают такие направления матемтатико-статистичного исследования, как статистические методы парной и множественной регрессии, теории корреляции, проверки гипотез, теории ошибок, выборочного исследования (английские ученые Ф. Гальтон, Р. Гамельтон, К. Пирсон, американский исследователь Р. Фишер и др.). Впервые представители школы К. Пирсона начали изучать корреляции в биологии и строить линейные регрессии.

Статистические подходы, которые были предложены Р. Гамельтоном и К. Пирсеном в биологии, были применены в экономике. В 1897 г. появилась работа где исследовались доходы населения в разных странах. В этой работе в первые была применена кривая Паретто, для расчета параметров которой были использованы статистические методы.

В начале 20 века трудами английского статистика Гукера с помощью методов корреляционно-регрессивного анализа, основанных школой К. Пирсона, начали изучаться взаимозависимости между экономическими показателями. В этот период появляются работы по развитию методов математической статистики и применению этих методов в экономическом анализе (исследования Мура; работы И. Кобба и П. Дугласа о производственной функции как одной из первых эконометрических моделей и др.). Именно эти труды стали основой современной эконометрии.

В 1910 году львовским ученым П. Чомпой в его книге «Очерки эконометрии и естественной бухгалтерии, которая основывается на политической экономии», а позже независимо от него норвежским ученым Р. Фришем (1926 год) предложен термин «эконометрия» как наука об измерениях в экономике.

Осмысление важности управления рисками как способами стабилизации производства началось в начале 20 века благодаря работам английского экономиста А. Маршелла, американских экономистов Д.М. Кейнса, Ф.Х. Найта и др., поставивших на научную основу изучение личного, предпринимательского, финансового рисков.

Если исследование отдельных экономических проблем в 19 веке, в частности процесса расширенного общественного воспроизводства, основывалось преимущественно на соотношениях алгебры, то в начале 20 века при общем анализе динамики экономической системы находят применение и такие разделы высшей математики, как дифференциальные уравнения. Но такой подход имел отношение, преимущественно, в исследовании общих глобальных характеристик экономической системы. Между тем практические потребности диктовали необходимость не только в глобальных, но и в более конкретных экономических показателях и характеристиках. Это привело к созданию в 20 годах 20 века в СССР системы межотраслевого баланса, которая является непосредственным продолжением схем воспроизводства. Был составлен 1ый в мире баланс народного хозяйства СССР на 1922-1924 годы, проведен ряд исследований по моделированию процесса расширенного воспроизводства и исследования статистической теории в изучении хозяйственной конъюнктуры и прогнозировании. Отечественные разработки межотраслевого баланса повлияли на работы американского экономиста русского происхождения В.В. Леонтьева (позже лауреата Нобелевской премии по экономике в 1973 году). Разработанная В.В. Леонтьевым модель межотраслевого баланса о производстве и распределении продукции в США вошла в литературу под названием метода анализа экономики «расходы – выпуск».

В начале 30 годов 20 века эконометрия становится отдельной отраслью науки после основания эконометрического общества в США, которое определило себя как «Международное общество для развития эконометрической теории и ее связи со статистикой и математикой». В 30 годы Я. Тинбергеном, Л. Клейном, Р. Стоуном были разработаны модели экономики, какие описываются системой многих уравнений, так называемой системой одновременных уравнений в эконометрии. В средине 30 годов американским математиком Дж. фон Нейманом была сконструирована одна из первых макроэкономических математических моделей экономической динамики, которая вошла в литературу под названием моделей Неймана расширенной экономики (1937 год). Посвященная реализации оптимального планирования и управления, модель представляла собой одну из первых задач получения наилучших решений, т.е. задач математического программирования.

Математическое программирование – это направление прикладной математики по решению задач получения оптимума (максимума или минимума) некоторой функции, которая является целью рассматриваемой задачи (поэтому она называется целевой функцией), при наличии ограничений на переменные. Термин «программирование» здесь употребляется не в смысле программирования на ЭВМ, хотя решение задач математического программирования большой размерности невозможно без ЭВМ, а ввиду получения наилучшего (оптимального) плана или программы работы конкретного экономического объекта. Невзирая на неудачное название термина, он сохранился до нашего времени в силу широкого распространения в мире. Более простое, а потому и наиболее разработанное ответвление математического программирования – линейное программирование (сокращенно ЛП). Оно получило широкое распространение и использование в экономической практике и заключается в поиске максимума (минимума) линейной целевой функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или (и) уравнений. Предположение о линейности экономических зависимостей несколько ограничивает возможности ЛП, однако простота и наличие линейных моделей, с достаточной мерой точности описывающих экономические процессы, позволяет использовать эти модели в разных видах экономической деятельности.

Приоритет в области ЛП принадлежит российскому математику Л.В. Канторовичу – впоследствии академику, лауреату Нобелевской премии (1975 году) по экономике за исследования производственных моделей. Л.В. Канторович в 1939 год опубликовал научную работу «Математические методы организации и планирования производства», где впервые были сформулированы идеи метода решения задач ЛП – метод разрешающих множителей. Однако в отечественной практике еще долгое время методы ЛП почти не разрабатывались и в практику не внедрялись.

В США подходы к решению линейных оптимизационных задач начали использоваться в период Второй мировой войны в связи с необходимостью планирования деятельности и снабжения вооруженных сил. Там же в 1941 году разработана модель одной из центральных задач ЛП – транспортной задачи (по организации перевозок с минимальными затратами).

В последствии почти через 10 лет после публикации работы Л.В. Канторовича американский математик Дж. Данциг разработал универсальный метод решения задач ЛП – симплекс метод. Им же в первые введен термин «линейное программирование» (1951 год) вместо ранее используемого термина «программирование в линейной структуре».

В 1949 году Л.В. Канторовичем и М.К. Гавуреным предложен точный метод решения транспортной задачи – метод потенциалов.

В последующие годы вклад в развитие теории ЛП сделали ученые многих стран мира.

В середине 40 годов бурно развивается теория игр, основателем которой считают Дж. фон Неймана. Теория игр впервые была систематизирована изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 году в монографии «Теория игр и экономическое поведение», которая была посвящена обоснованию и строгому изложению нового направления в принятии решений в условиях риска при неопределенности и конфликтной ситуации. С этого времени начинает проявляться значительный интерес к теории игр с начала в военной отрасли, а за тем и в других направлениях практической деятельности. В экономике и управлении теории игр не приобрела достаточно широкого применения в связи с сложностью математических моделей экономических систем, хотя в последние десятилетия к теории игр проявляется интерес у научных работников по экономике и управлению.

Опыт использования линейных моделей свидетельствовал о том, что они далеко не всегда могут использоваться для описания явлений и процессов. Поэтому развиваются исследования не линейных методов и моделей оптимизации (не линейного программирования – геометрического, динамического; не линейных методов – наискорейшего спуска, множителей Ланграджа, оптимального управления и др.).

В 1948 году возникает новая наука – кибернетика (в переводе с греческого – искусство управления). Основателем кибернетики является американский ученый – математик из крупнейшего в США Массачусетского технологического института профессор Норберт Винер.

Кибернетика – это наука об общих закономерностях процессов управления в разных системах: биологических, экономических, технических и др. Одно из направлений кибернетики, объектом которой являются экономические системы, получила название экономической кибернетики. Позже получают развитие такие прикладные направления экономической кибернетики, как исследования операций (поиск путей рационального использования имеющихся ресурсов для реализации поставленных целей), теория массового обслуживания (рассматривает разные процессы в экономике как процессы обслуживания, т.е. удовлетворения запросов, заказов), модель управления запасами (используется для определения времени размещения заказов на ресурсы и их количество, а так же массы готовой продукции на складах) и др.

Экономико-математические методы и кибернетика начали использоваться в планировании и управлении отечественной экономики СССР в конце 50 годов в связи с развитием электронно-вычислительной техники. Однако такое использование ограничивалось по ряду причин решением отдельных частных задач. Это касается в первую очередь разработки балансовых моделей типа меж отраслевого баланса, и отельных моделей линейного программирования.

В 50-60 годах макро экономические исследования в эконометрии проводят Я. Тинберген, Р. Фриш. Центром развития эконометрии стала комиссия Коулса (США). Новый инструментарий эконометрия получила в результате последующей разработки моделей одновременных уравнений (Т. Хаавельмо, Т. Купманс, Г. Гейл и др.). Среди новых эконометрических систем, по которым расчеты начинают вестись с использованием ЭВМ, возникают такие макроэкономические модели как Брукингнская модель (США), Голландская модель, Уортонская модель (США) которые использовались для прогнозирования и разработки экономической политики, для анализа спроса и потребления.

В 60 годах начинается внедрение в практику планирование СССР новых методов, которые получили название «Сетевые методы планирования и управления» (СПУ). Они лежат в основе сетевых моделей.

Получают дальнейшее развитие некоторые разделы прикладной математики, которые связаны с решением оптимизационных задач: нелинейное математическое программирование; математическая тория оптимизационных процессов.

Весомый вклад в развитие экономико-математических методов и моделей вносят российские ученые Е.Е. Слуцкий, Л.В. Канторович, В.С. Немчинов, Е.С. Вентцель, Д.Б. Юдин и др. Так, академику В.С. Немчинову принадлежит значительная роль в реабилитации в СССР существующего взгляда на эконометрию как «буржуазную», «антимарксистскую» и «вредную лженауку» (1965 год).

В 60 годы главное внимание отечественных ученых в СССР сосредоточивается на последующей разработке оптимальных моделей разных типов и их практическому использованию в решении задач планирования и управления. Было построено большое количество экономико-математических моделей, которые дали значительный экономический эффект: оптимальные планы перевозок, использования топлива, загрузки оборудования; оптимальный раскрой материалов по изготовлению изделий и т.п. В это время осуществляется процесс усовершенствования моделей и использования соответствующего математического аппарата: переход от статических моделей к динамическим; от жестко детерминированных к стохастическим моделям, которые учитывают случайность и неопределенность; создание методов стохастичного моделирования; создание новых алгоритмов для ЭВМ, которые позволяли решать задачи большой размерности.

Интенсивно разрабатываются и внедряются в мировую практику эконометрические модели. Так, за разработку комплексных эконометрических моделей на макроуровне, в которых основное внимание уделялось спросу, финансовому состоянию и налогам, прибылям и ценам, норвежские ученые Р. Фриш и Я. Тинберген были отмечены Нобелевской премией по экономике.

В 70-90 годах экономико-математическое моделирование стало признанным средством анализа экономических проблем. В отечественной практике в 70 годах появляются автоматизированные системы управления (АСУ), предназначенные для оптимизации управления сложными производственными процессами и экономическими системами.

В конце 80 годов много передовых корпораций разных отраслей начали интересоваться вопросами учета рисков, которые стали ванной функцией менеджмента.

Конец 20 – начало 21 века знаменуется в мире высокими темпами развития теории и практики экономико-математического моделирования.

В настоящее время наблюдается внедрение в отечественную практику экономико-математических методов и моделей с использованием программных комплексов ПК. Растет роль экономико-математического моделирования как одного из средств совершенствования экономики с научно обоснованными путями последующего развития и прогнозами на будущее в рыночных условиях.

1.4. Современное состояние экономико-математического моделирования и его основные этапы

В настоящее время сфера возможного использования экономико-математических методов и моделей в планировании и управлении значительна, и с каждым годом она расширяется, но область их фактического использования на практике связана с такими трудностями, как:

- сложность моделирования экономических процессов и явлений с учетом производственных отношений (поведения людей, их интересов, индивидуального принятия решения и др.);

- необходимость «встраивания» математических моделей в существующую систему планирования и управления;

- трудности проверки в решении новых социально-экономических задач и т.п.

К эффективным средствам преодоления этих трудностей можно отнести такие:

- имитационное моделирование, которое дает возможность руководителю, принимающему решения, с помощью ПК включиться в процесс построения экономико-математической модели с принятием оптимального решения на ее основе (главный принцип имитационного моделирования: «Что будет, если…»);

- системный анализ, который допускает комплексное проведение исследования экономических процессов с учетом всех существующих элементов и их взаимосвязей, изучения отдельных хозяйственных объектов как структурный частей более общих систем, выявления роли каждого из них в функционировании экономического процесса в целом;

- программно-целевой метод планирования, основанный на формировании целей и подцелей экономического развития, на которые нужно направить наибольшие силы и средства, и разработке программ их достижения.

Рассмотрим вопрос о классификации экономико-математических моделей, что имеет немаловажное методологическое значение.

Существует несколько классификаций экономико-математических моделей. Экономико-математические модели можно классифицировать по таким признакам:

назначение;
степень вероятности;
способ описания;
способ учета измены процесса по времени;
точности математического отображения рассматриваемых явлений.

По назначению модели целесообразно разбить на четыре класса: имитационные; балансовые; сетевые; оптимизационные.

По степени вероятности модели разделяются на два типа: вероятные (стохастические), параметры которых и внешние изменения носят случайные характер; детерминированные, в которых игнорируется случайный характер изменения параметров.

По способу описания модели делятся на три класса: аналитические, в которых показатели описываются математическими формулами или системой формул; эконометричекие (статистические), которые предназначены для анализа и прогнозирования рассматриваемых экономических явлений в условиях неопределенности исходных данных и реализуются методами математической статистики; смешанные, в которых наиболее простые блоки описываются аналитическими зависимостями, а в других блоках, где описание аналитическими формулами может привести к значительным искажениям, используется эконометрическое моделирование.

По способу учета изменения процесса по времени модели разделяются на три класса: статические, в которых предусматривается, что входные параметры не изменяются по времени; многошаговые, в которых время протекания процесса делится на «шаги» (интервалы) и в рамках одного шага процесс рассматривается статически; динамические, где учитывается непрерывное изменение времени.

По точности математического отображения рассматриваемых явлений модели делятся на две группы: линейные, зависимости в которых имеют переменные в первой степени и не включают их обратных величин и произведение переменных; нелинейные.

Процесс построения экономико-математических моделей общего типа состоит из следующих взаимосвязанных этапов.

Первый этап – постановка задачи, где формируется цель запланированного мероприятия, ставятся задачи исследования, проводится качественное описание объекта.

Второй этап – разработка описательной модели, где формулируется и обосновываются показатели и система основных предположений.

Третий этап – разработка математической модели изучаемого объекта с выбором методов исследования, программного обеспечения ПК или составление алгоритма и программы для ПК по новым задачам.

Четвертый этап – решение задачи на базе разработанной модели, состоящее в реализации пакета прикладных или разработанных программ для ПК.

Пятый этап – проверка и настройка модели, т.е. установление соответствия модели описываемому экономическому процессу.

Шестой этап – представление результатов решения в форме удобной для изучения, анализ материалов модели на основе обработки результатов.

2. Экономико-математические методы и модели

2.1. Общая задача линейного программирования

Общая задача линейного программирования заключается в нахождении экстремума линейной целевой функции при наличии ограничений на n переменных (неизвестных) в виде m линейных неравенств или (и) уравнений на переменные и условий неотрицательности переменных. ЛП нашло наибольшее распространение в экономике при принятии оптимальных решений. Объясняется это следующим:

- математические модели большого числа экономических задач линейны относительно определяемых переменных;

- задачи такого типа наиболее распространены и изучены:

- некоторые задачи, которые не являются линейными, после некоторых преобразований могут быть сведены к задачам ЛП;

- много задач ЛП, реализованных на ПК, находят широкое применение в экономической практике.