Ирина Эланс
Экономико-математическая модель для расчета оптимального состава МТП
Федеральное государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский Государственный Аграрный Университет»
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине «Моделирования социально-экономических процессов»
На тему: «Экономико-математическая модель для расчета оптимального состава МТП»
Выполнил студент группы 082136
Санкт-Петербург-Пушкин
2013 г
Оглавление
Введение
Исследование объектов и систем объектов окружающего мира зачастую начинается с построения модели об их устройстве. Моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Так, если руководитель предприятия желает скорректировать будущую систему до того, как он ее оплатит, и она будет реализована физически, ему необходимо для этого моделирование проектируемой системы.
Под моделированием понимается процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого объекта и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики исследуемого натурного объекта или процесса.
Наличие комплексной модели предприятия является основой для выполнения следующих работ: проведение анализа, оценки и внесение предложений по совершенствованию деятельности предприятия; разработка автоматизированной системы управления предприятием. От правильного определения потребности в сельскохозяйственной технике зависят агротехнические сроки выполнения полевых работ, их качество, урожайность сельскохозяйственных культур, их себестоимость.
Цель курсовой работы – изучить экономико-математическую модель для расчета оптимального состава МТП и рассмотреть методы решения задач линейного программирования.
Задача курсовой работы – решение задач различными методами.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. В первом главе рассматриваются теоретические вопросы: постановка задачи, структура экономико-математической модели, исходная информация; во второй главе – решение задач.
1 Теоретическая часть
1.1 Постановка задачи
Под оптимальным составом машинно-тракторного парка понимается такое сочетание тракторов и сельскохозяйственных машин, которое бы обеспечило выполнение годового комплекса работ в оптимальные агротехнические сроки при минимальном расходе горючего.
При определении состава и структуры машинно-тракторного парка необходимо руководствоваться следующими принципами:
- Машинно-тракторный парк должен комплектоваться с учетом перспектив развития бригады (хозяйства) и передовой технологии возделывания сельскохозяйственных культур;
- Парк должен обеспечивать выполнение работ с высоким качеством и в наилучшие агротехнические сроки, обоснованные по экономическим показателям;
- При расчете состава МТП необходимо учитывать природно-климатические и производственные условия хозяйства, его специализацию, структуру посевных площадей, размеры полей, типы почв, их удельное сопротивление;
- Основным показателем эффективности работы МТП должно служить повышение производительности труда механизаторов и снижение денежных затрат на единицу продукции.
Каждое предприятие может рассматривать следующие задачи:
- При условии, что в предприятии полностью отсутствуют тракторы и с/х машины определить оптимальный состав МТП. Такая задача называется задачей комплектования МТП, и она решается на перспективу;
- При условии, что в хозяйстве уже имеется некоторое количество с/х машин и тракторов определить оптимальный состав МТП. Такая задача называется докомплектования, и она решается на среднесрочную перспективу;
- При заданных объемах работ и наличии средств на их выполнении определить план наилучшего использования в хозяйстве техники.
Первые два условия решаются с использованием симплекс-метода, а третье условие – с использованием метода потенциалов. В качестве критериев оптимальности могут использоваться вес показателей характеризующие эффективность функционирования. Наиболее часто используются следующие показатели:
- Минимально энерго-машин на выполнение работы. Этот показатель используется при решении задач на перспективу, так как он не связан с существующей системой цен на технику;
- Минимально приведенных затрат – это затраты включающих в себя затраты на хранение и приобретение техники;
- Минимально эксплуатационных затрат – затраты на горюче-смазочные материалы, оплату труда, текущей ремонт, тех осмотр.
1.2 Структура экономико-математической модели
Обозначение переменных:
xj – искомое количество тракторов и с/х машин j-го вида;
xijk – количество машина-тракторных агрегатов j-го вида, при выполнении i-й механизированной работы в k-й агротехнический период;
bik – объем механизированных работ i-го вида, которые следует выполнить в k-й период времени;
aijk – производительность j-го машина-тракторного агрегата, при выполнение i-й механизированной работы в период времени k;
cijk – эксплуатационные затраты в расчете на j-й машина-тракторный агрегат, при выполнении i-й механизированной работы в период времени k;
N1 – множество марок тракторов и с/х машин ( Î);
N2 – множество машина-тракторных агрегатов ( Î);
M – множество видов механизированных работ ( Î);
R – множество периодов выполнения механизированных работ ( Î).
Критерий оптимальности – минимум эксплуатационных затрат:
min f(x)=ÎÎÎ
Ограничения:
- Ограничение по выполнению меха
низированных работ в заданные агротехнические сроки:
Î
где для каждой механизированной работы iÎ, которые выполняются во все периоды времени kÎ;
- Ограничения по соотношению количества агрегатов с количеством машин, которые в них входят (т.е.: год разбивается на с/х периоды, обычно по пять дням, выбирается наибольшее количество требуемых машин в период времени):
Î
где по каждой марке трактора iÎ, по каждому периоду времени kÎ;
- Ограничение по неотрицацельности переменных:
1.3 Исходная информация
Для формирования модели необходимо знать:
- Продолжительность выделяемых п
ериодов выполнения работы; - Марки тракторов и с/х машин, которые могут использоваться для выполнения работ и возможные варианты их агрегирования;
- Объем механизированных работ, которые следует выполнить в каждом периоде;
- Возможное количество часов работы машинно-тракторных агрегатов с учетом коэффициентов погодности, сменности и технической готовности;
- Производительность машинно-тракторных агрегатов, при выполнении работ;
- Затраты и хранение на приобретение техники в расчете на один трактор или с/х машину;
- Эксплуатационные затраты в расчете на один машинно-тракторный агрегат.
Матрица данной задачи имеет блочную структуру. В качестве блоков в нем выступают периоды выполнения работ. В каждый блок входит первое ограничение модели. В качестве связующего блока используется второе ограничение и критерий оптимальности.
2 Практическая часть
Графический метод решения задачи
Задача 1.13.1
F(x) = x1+5x2→max
Этапы решения:
1. Построение множества допустимых решений
2. Исследование поведение целевой функции на области
3. Построение линии и
продвижение ее в направление
градиента или антиградиенты
до достижения точки
(1)
x1 |
2 |
|
x2 |
4 |
(2)
x1 |
2 |
|
x2 |
6 |
3 |
(3)
x1 |
-3 |
|
x2 |
4 |
(4)
x1 |
5 |
7 |
x2 |
-9 |
-5 |
x1+5x2=C C=0
x2=-0.2x1
x1 |
5 |
-5 |
x2 |
-1 |
1 |
x*(0; 5) – оптимальная точка
F(x*) = 25 – целевая функция
Решение задачи симплекс-методом
Задача 2.18.1
F(x) = x1-x2-2x3+x4+2x5-x6 → max
Этапы решения:
- Приведение задачи к канонической форме и ввод дополнительных переменных
- Построение исходной симплекс таблицы
- Проверка условий: все cj ≥ 0 (если выполняется, то задача решена, если нет – идем дальше)
- Выбор разрешающего столбца и проверка условия его: все air ≤ 0 (если выполняется, то целевая функция неограничена, если нет – идем дальше)
- Выбор разрешающей строки
- Пересчет элементов симплекс-таблицы (по правилу прямоугольника)
Таблица 1
-x1 |
-x2 |
-x3 |
-x4 |
-x5 |
-x6 |
b | |
x7 |
-1 |
1 |
1 |
-2 |
6 |
1 |
|
x8 |
2 |
1 |
2 |
-14 |
11 |
5 |
6 |
x9 |
3 |
1 |
2 |
-18 |
11 |
6 |
6 |
f(x) |
-1 |
1 |
2 |
-1 |
-2 |
1 |
Таблица 2
-x1 |
-x2 |
-x3 |
-x4 |
-x7 |
-x6 |
b | |
x5 |
-1/6 |
1/6 |
1/6 |
-2/6 |
1/6 |
1/6 |
3/6 |
x8 |
23/6 |
-5/6 |
1/6 |
-62/6 |
-11/6 |
19/6 |
3/6 |
x9 |
29/6 |
-5/6 |
1/6 |
-86/6 |
-11/6 |
25/6 |
|
f(x) |
-8/6 |
8/6 |
14/6 |
-10/6 |
2/6 |
2/6 |
1 |
Таблица 3
-x9 |
-x2 |
-x3 |
-x4 |
-x7 |
-x6 |
b | |
x5 |
1/29 |
24/174 |
30/174 |
-144/174 |
18/174 |
54/174 |
90/174 |
x8 |
-23/29 |
-30/174 |
6/174 |
180/174 |
-66/174 |
-24/174 |
|
x1 |
6/29 |
-5/29 |
1/29 |
-86/29 |
-11/29 |
25/29 |
3/29 |
f(x) |
8/29 |
192/174 |
414/174 |
-978/174 |
-30/174 |
432/174 |
198/174 |
Таблица 4
-x9 |
-x2 |
-x3 |
-x8 |
-x7 |
-x6 |
b | |
x5 |
-3/5 |
0 |
1/5 |
4/5 |
-1/5 |
1/5 |
3/5 |
x4 |
-23/30 |
-1/6 |
1/30 |
29/30 |
-11/30 |
-2/15 |
1/10 |
x1 |
-31/15 |
-2/3 |
2/15 |
43/15 |
-22/15 |
7/15 |
2/5 |
f(x) |
-121/30 |
1/6 |
77/30 |
163/30 |
-67/30 |
26/15 |
17/30 |
Данная симплекс-таблица является конечной. Таким образом:
x1=2/5
x2=0
x3=0
x4=1/10
x5=3/5
x6=0
F(x) = 2/5 + 1/10 + 2*3/5 = 17/10
Составление двойственной задачи
Задача 3.7.1
F(x) = x1+2x2 → max
Целевая функция исходной задачи на max, поэтому первому ограничению нужно поменять знак с «≥» на «≤», для чего умножим первое неравенство на (-1). Отсутствие ограничений на знак переменной x1 означает, что она может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения, т.е. x1Î(-∞;+∞). Отсюда вид исходной задачи будет следующий:
F(x) = x1+2x2 → max
Î
Первое и третье ограничение в виде неравенства, поэтому две двойственные переменные y1 и y2 будут неотрицательными: y1 ≥ 0, y3 ≥ 0.
Второе ограничения является равенством, вследствие чего вторая двойственная переменная y2 будет произвольного знака: y2Î(-∞;+∞). Коэффициентами целевой функции двойственной задачи будет правая часть ограничения прямой задачи, т.е. .
Так как целевая функция прямой задачи на max, целевая функция двойственной задачи будет на min. Итак, целевая функция двойственной задачи будет иметь вид:
F(y) = y1+2y2+3y3 → min
Ограничения двойственной задачи могут иметь знак «≥» или «=». Переменная x1 соответствует первому ограничению двойственной задачи. Коэффициент при x1 в первом уравнение равен -3, во втором 5, и в третьем -7. Соответственно левая часть первого ограничения двойственной задачи будет: -3y1+5y2-7y3.
Коэффициент x1 в целевой функции исходной задачи равен 1, а сама переменная x1 принимает любое значение, поэтому знак в первом ограничении двойственной задачи будет «=».
-3y1+5y2-7y3 = 1
Коэффициент при x2 в целевой функции равен 2, а сама переменная x2 неотрицательна, поэтому знак во втором уравнении будет «≥».
4y1+6y2+8y3 ≥ 2
Отсюда двойственная задача будет следующей:
F(y) = y1+2y2+3y3 → min
Î
Составление ЗЛП и ее решение
Задача 4.20
Пусть: x1 – количество угля сорта A в 1т смеси
x2 - количество угля сорта B в 1т смеси
x3 – количество угля сорта C в 1т смеси
Первое ограничение по составу 1т смеси:
x1+x2+x3=1
Второе ограничение по содержанию фосфора в смеси:
0.06x1+0.04x2+0.02x3≤0.03
Третье ограничение по содержанию пепла в смеси:
2x1+4x2+3x3≤3.25
Критерий оптимальности задачи – минимизировать цену за 1т смеси:
30x1+30 x2+45x3 → min
Составим и решим симплекс-таблицу:
Таблица 5
- x1 |
- x2 |
- x3 |
b | |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
x4 |
0.06 |
0.04 |
0.02 |
0.03 |
x5 |
2 |
4 |
3 |
3.25 |
f(x) |
-30 |
-30 |
-45 |
Таблица 6
- x1 |
- x2 |
b | |
x3 |
1 |
1 |
1 |
x4 |
0.04 |
0.02 |
0.01 |
x5 |
-1 |
1 |
|
f(x) |
15 |
15 |
45 |
Таблица 7
- x1 |
- x5 |
b | |
x3 |
2 |
-1 |
0.75 |
x4 |
0.06 |
-0.02 |
|
x2 |
-1 |
1 |
0.25 |
f(x) |
30 |
-15 |
41.25 |
Таблица 8
- x4 |
- x5 |
b | |
x3 |
-33.3 |
-0.33 |
0.583 |
x1 |
1/0.06 |
-0.33 |
0.083 |
x2 |
-16.6 |
0.66 |
0.33 |
f(x) |
-500 |
-5 |
38.75 |
Таким образом, получаем:
– пропорция смеси угля
f(x)=38.75 - минимальная цена за 1т смеси.
Заключение
Таким образом, в данной курсовой работе мы рассмотрели основы построения модели оптимального состава машинно-тракторного парка, которая позволяет нам определить оптимальный состав требуемой техники и агрегатов в определенный период времени.
В практической части были решены задачи экономико-математического моделирования графическим и симплекс-методом. Кроме того, мы составили задачу линейного программирования и решили ее, а так же составили двойственную задачу.