Экономико-математическая модель для расчёта оптимального вложения денежных средств

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Любая финансовая, кредитная или  коммерческая операция предполагает совокупность условий, согласованных ее участниками. К таким условиям относятся: сумма  кредита, займа или инвестиций, цена товара, сроки, способы начисления процентов и погашения долга и т.д. Совместное влияние на финансовую операцию многих факторов делает конечный ее результат неочевидным. Для его оценивания необходим специальный количественный анализ.

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не меньшую  роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн. руб., полученных через год, не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д.

Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Очевидным следствием принципа «неравноценности»  является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к  разным моментам времени. Подобного  рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет значения - например, в бухучете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле.

В финансовых вычислениях фактор времени  обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его  учет осуществляется с помощью начисления процентов.

Цель работы: разработать экономико-математическую модель, позволяющую рассчитать наиболее оптимальный вариант вложения денежных средств.

Задачи работы:

1. Изучить теоретические основы финансовых расчетов.
2. Собрать данные для расчетов.
3. Разработать экономико-математическую модель оптимального варианта вложения денежных средств.
4. Разработать алгоритм модели.

1 Теоретические основы финансовой математики

1.1 Проценты  и процентные ставки

Под процентными деньгами или, кратко, процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, помещении денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.

В какой бы форме не выступали проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент.

При заключении финансового или  кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере  процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или натуральной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. в отдельные (обычно равноотстоящие) моменты времени (дискретные проценты), причем, в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применять непрерывные проценты.

Проценты либо выплачиваются кредитору  по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.

В количественном финансовом анализе  процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы  долга, но и в более широком  смысле - как измеритель степени доходности (эффективности) финансовой операции или коммерческо-хозяйственной деятельности.

В практике существуют различные способы  начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором - сложными процентными ставками.

Процентные ставки, указываемые  в контрактах, могут быть постоянными  или переменными («плавающими»). Плавающие  ставки часто применяются во внешнеэкономических  операциях. В этом случае значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней (маржи). Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR - London interbank offered rate) или московская межбанковская ставка МИБОР. Размер маржи определяется целым рядом условий (сроком операции и т.д.). Судя по мировой практике, он обычно находится в пределах 0,5-5%. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.

Рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчёту наращённой суммы, суммы процентов и размера дисконта – современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведён в будущем.

1.2 Формула наращения по простым процентам

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма  вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Пусть P первоначальная сумма денег, i - ставка простых процентов. Начисленные проценты за один период равны Pi, а за n периодов - Pni. Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины

P, P+Pi=P(1+i), P(1+i)+Pi=P(1+2i) и т.д . до P(1+ni).

Первый член этой прогрессии равен P, разность Pi, а последний член определяемый как

S = P ( 1 + n i )      ( 1 )

и является наращенной суммой. Формула (1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов. Множитель (1+ni) является множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

Процесс роста суммы долга по простым процентам легко представить  графически (см. Рис. 1). При начислении простых процентов по ставке i за базу берется первоначальная сумма долга. Наращенная сумма S растет линейно от времени.

Рисунок 1. - Наращение по простой процентной ставке

1.3 Практика начисления простых процентов

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях:

1) при заключении краткосрочных  контрактов (предоставлении краткосрочных  кредитов и т.п.), срок которых  не превышает года (n≤1);

2) когда проценты не присоединяются  к сумме долга, а периодически  выплачиваются.

Ставка процентов обычно устанавливается  в расчете за год, поэтому при  продолжительности ссуды менее  года необходимо выяснить какая часть  процента уплачивается кредитору. Для  этого величину n выражают в виде дроби

n =

где n - срок ссуды (измеренный в долях года),

K - число дней в году (временная база),

t - срок операции (ссуды) в днях.

Здесь возможно несколько вариантов  расчета процентов, различающихся  выбором временной базы K и способом измерения срока пользования ссудой.

Часто за базу измерения времени  берут год, условно состоящий  из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.

Определение числа дней пользования  ссудой также может быть точным или  приближенным. В первом случае вычисляют  фактическое число дней между  двумя датами, во втором - продолжительность  ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В обоих случаях счет дней начинается со следующего дня после открытия операции. Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить на компьютере, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году.

Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета  процентов, применяемые в практике:

1) точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365) - британский;

2) обыкновенные проценты с точным  числом дней ссуды (365/360) - французский; 

3) обыкновенные проценты с приближенным  числом дней ссуды (360/360) - германский.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

1.4 Простые переменные ставки

Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому  в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид

S = P(1+n₁i₁+n₂i₂+...) = P(1+Σn_ti_t),    ( 2 )

где

P - первоначальная сумма (ссуда),

i_t - ставка простых процентов в периоде с номером t,

n_t - продолжительность периода t - периода начисления по ставке i_t.

1.5 Дисконтирование и учет по простым ставкам

В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму P. Расчет P по S называется дисконтированием суммы S. Величину P, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Проценты в виде разности D = S - P называются дисконтом или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом. Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.

Таким образом, в практике используются два принципа расчета процентов:

1) путем наращения суммы ссуды и

2) устанавливая скидку с конечной  суммы долга. 

В большинстве случаев фактор времени  учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование.

Приведение - это определение любой  стоимостной величины на некоторый  момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то - наращение.

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и  банковский (коммерческий) учет.

1.6 Математическое дисконтирование

 Этот вид дисконтирования  представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной  ссуды. Если в прямой задаче 

S=P(1+ni),

то в обратной

P =S       ( 3 )

Дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен

D = S - P .      ( 4 )

1.7 Сравнение ставки наращения и учетной ставки

 Операции наращения и дисконтирования  по своей сути противоположны, но ставка наращения и учетная  ставка могут использоваться  для решения обеих задач. В  этом случае, в зависимости от  применяемой ставки, можно различать  прямую и обратную задачи.

Таблица 1 - Прямая и обратная задачи

1.8 Сложные проценты

Сложные проценты применяются в  долгосрочных финансово- кредитных  операциях, если проценты не выплачиваются  периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а  присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

1.9 Формула наращения по сложным процентам

Пусть первоначальная сумма долга  равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)² , через n лет - P(1+i)ⁿ

. Таким образом, получаем формулу  наращения для сложных процентов 

S = P(1+i)ⁿ ,     ( 5 )

где S - наращенная сумма,

i - годовая ставка сложных процентов,

 n - срок ссуды,

(1+i)ⁿ - множитель наращения.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным  процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i). Отметим, что при сроке n < 1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n >1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода (Рис.2).

Рисунок 2. - Графики функций (1+i)^t и (1+ti) в зависимости от t

1.10 Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени

В том случае, когда ставка сложных  процентов меняется во времени, формула  наращения имеет следующий вид 

    (6)

где i₁, i₂,..., i_k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.

Начисление годовых процентов  при дробном числе лет 

При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) По формуле сложных процентов

S = P (1+i)ⁿ      (7)

2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые

S =P (1+i)^a(1+bi)     (8)

где n = a+b, a - целое число лет, b - дробная часть года.

3) В ряде коммерческих банков  применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S = P (1+i)^a      (9)

1.11 Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка

 Пусть годовая ставка сложных  процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной.

Начисление процентов по номинальной  ставке производится по формуле:

S=P (1+j/m) ^N ,      ( 10 )

где N - число периодов начисления.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

По формуле сложных процентов

S=P (1+j/m) ^N/τ,     (11)

где N/τ - число (возможно дробное) периодов начисления процентов,

 τ - период начисления процентов,

По смешанной формуле

    (12)

где a - целое число периодов начисления (т.е. a = [N/τ] - целая часть от

деления всего срока ссуды N на период начисления τ),

b- оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/τ-a).

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m - разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+i_э) ⁿ = (1+j/m)^mn     , (13)

где i_э - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

    (14)

Обратная зависимость имеет  вид 

j=m[(1+i_э)^1/m -1].     (15)

1.12 Начисление процентов и инфляция

Следствием инфляции является падение  покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом J_n.

Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен J_p, т.е.

J_n=1/J_p.      (16)

Индекс цен показывает во сколько  раз выросли цены за указанный  промежуток времени.

Наращение по простым  процентам

Если наращенная за n лет сумма денег составляет S, а индекс цен равен J_p, то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна

C=S/J_p.      (17)

Пусть ожидаемый средний годовой  темп инфляции (характеризующий прирост  цен за год) равен h. Тогда годовой индекс цен составит (1+h). Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит

     (18)

где в общем случае

     (19)

и, в частности, при неизменном темпе  роста цен h,

J_p= (1+h)ⁿ      (20)

Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна

      (21)

Один из способов компенсации обесценения  денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так  называемой инфляционной премии. Скорректированная  таким образом ставка называется брутто-ставкой. Брутто-ставка, которую  мы будем обозначать символом r, находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента

     (22)

откуда

     (23)

Наращение по сложным  процентам 

Наращенная по сложным процентам  сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т.е. в неизменных рублях) составит

     (24)

где индекс цен определяется выражением (19) или (20), в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции. В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i=h, обеспечивающей равенство C=P.

Применяются два способа компенсации  потерь от снижения покупательной способности  денег при начислении сложных  процентов.

а) Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется брутто-ставкой. Будем обозначать ее символом r. Считая, что годовой темп инфляции равен h, можем написать равенство соответствующих множителей наращения

      (25)

где i - реальная ставка.

Отсюда получаем формулу Фишера

r = i+h+ih.       (26)

То есть инфляционная премия равна h+ih.

б) Индексация первоначальной суммы P. В этом случае сумма P

корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса.

Тогда

S=PJ_p(1+i)ⁿ      . (27)

Нетрудно заметить, что и в случае а) и в случае б) в итоге мы приходим к одной и той же формуле наращения (27). В ней первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два - корректировку ставки процента.

1.13 Измерение реальной ставки процента

На практике приходится решать и  обратную задачу - находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех  же соотношений между множителями  наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку i по заданной (или объявленной) брутто-ставке r.

При начислении простых процентов  годовая реальная ставка процентов  равна

     (28)

При начислении сложных процентов  реальная ставка процентов определяется следующим выражением

     (29)

2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ

2.1 Сбор  исходных данных

Рассмотрим некоторые практические приложения рассмотренной нами теории. Покажем, как полученные выше формулы применяются при решении реальных задач по расчету эффективности некоторых финансовых операций, сравним различные методы расчетов.

Сравним доходность по депозитам четырех  Новокузнецких банков с учетом влияния  инфляции. Выбор банков, представленных в Новокузнецке очень широк, поэтому хотелось бы подобрать наиболее надежные банки. Для этого можно воспользоваться следующим списком, где собраны банки России и указаны суммы депозитов физических лиц, размещенные в данных банках (первые 10 банков из списка).

Таблица 2

 Для примера возьмем вклад размером 500000 рублей сроком на 1 год и следующие виды депозитов:

Вклад «Победитель» Сбербанка России

Вклад «ВТБ 24 – Свобода выбора»  банка ВТБ 24

Вклад «Индивидуальный план» Газпромбанк

Вклад «Пополняемый» Райффайзенбанк

Таблица 3 - Вклад «Победитель» Сбербанка России

Условия вклада:

Таблица 4 - Вклад «Свобода выбора» банка ВТБ 24

Условия вклада:

Таблица 5 - Вклад «Индивидуальный план» Газпромбанк

Условия вклада:

Таблица 6 - Вклад «Пополняемый» Райффайзенбанк

Условия вклада: