Экономико-математические методы и модели

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАМСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ  АКАДЕМИЯ»

(ИНЭКА)

 

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

 

По дисциплине: «Экономико-математическое моделирование»

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                        Выполнила:

                                                             

                                                                   

                                                                       Проверил:

 

 

 

 

 

г. Набережные Челны    2012г.

Содержание:

 

 

 Введение……………………………………………………………..….2

1. Моделирование как метод научного  познания……………………..4

2. Экономико-математические методы  и модели……………………..7

3. Задача распределения средств  между предприятиями…………....11

4. Задача замены оборудования……………………………………….14

Заключение……………………………………………………..………19 Список литературы………………………………………………..........22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 

Моделирование основывается на принципе аналогии между реальным изучаемым объектом и его моделью.

Модель проще моделируемого реального объекта, т.к. она отражает только существенные закономерные связи и отношения.

Математическая  модель описывает указанные связи и отношения посредством математических зависимостей.

Экономико-математическое моделирование использует математические модели для исследования экономики предприятий, отраслей, хозяйств.

Задача курса состоит в том, чтобы научить использовать известные математические средства для построения и исследования математических моделей экономических объектов.

В курсе рассматриваются пять разделов, соответствующих наиболее широко применяемых  в экономике математических теорий, методов и моделей.

1.Матричное моделирование.

2. Сетевое планирование и управление.

3. Регрессионный анализ.

4. Теория массового обслуживания.

5. Теория игр и статических  решений.

Перечислим некоторые наиболее часто встречающиеся экономические ситуации, в которых экономисту не обойтись без применения экономико-математического моделирования.

Огромные  массивы экономической информации, представленные в матричном виде, легко обрабатываются с помощью методов матричного моделирования.

Планирование, управление и оптимизация любой экономической деятельности связаны с рассмотрением разветвленной системы последовательных целенаправленных работ. Для моделирования данной системы используются методы сетевого планирования и управления.

Выявление зависимостей экономических показателей от различных управляемых факторов связано с обработкой огромных объемов статистической информации. В этом случае целесообразно использовать методы регрессионного анализа.

Экономическую деятельность можно представить как обслуживание случайным образом возникающих потребностей, как удовлетворение случайно изменяющегося спроса. Тогда следует использовать методы теории массового обслуживания.

Необходимость принятия решения в условиях неопределенности и риска, в т.ч. вызванных конкуренцией, приводит к использованию методов теории игр и статистических решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Моделирование как метод научного  познания

 

Научное исследование представляет собой  процесс выработки новых знаний, один из видов познавательной деятельности. Для проведения научных исследований используются различные методы, одним из которых является моделирование, т.е. исследование какого-либо явления, процесса или системы объектов путем построения и изучения его моделей. Моделирование означает также использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

"Моделирование  - одна из основных категорий  теории познания; на идее моделирования, по существу, базируется любой метод научного познания - как теоретический, так и экспериментальный". Моделирование стало применяться в научных исследованиях еще в глубокой древности и постепенно охватывало все новые и новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство, архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Следует отметить, что методологии моделирования долгое время развивались применительно к конкретным наукам, независимо одна от другой. В этих условиях не было единой системы познаний, терминологии. Затем стала выявляться роль моделирования как универсального метода научного познания, как важной гносеологической категории. Однако необходимо четко уяснить, что моделирование - это метод опосредованного познания с помощью некоторого инструмента - модели, которая ставится между исследователем и объектом исследования. Моделирование используется либо тогда, когда объект невозможно исследовать непосредственно (ядро Земли, Солнечная система и пр.), либо тогда, когда объекта еще не существует (будущее состояние экономики, будущий спрос, ожидаемое предложение и т.п.), либо когда исследование требует много времени и средств, либо для проверки различного рода гипотез. Моделирование чаще всего является частью общего процесса познания. В настоящее время существует много различных определений и классификаций моделей применительно к задачам разных наук. Примем определение, данное экономистом В.С. Немчиновым, известным, в частности, трудами по разработке моделей планового хозяйства: "Модель есть средство выделения какой-либо объективно действующей системы закономерных связей и отношений, имеющих место в изучаемой реальной действительности".

Главным требованием, предъявляемым к моделям, является адекватность реальной действительности, хотя модель и воспроизводит изучаемый объект или процесс в упрощенном виде. При построении любой модели перед исследователем стоит сложная задача: с одной стороны, упростить действительность, отбросив все второстепенное, чтобы сосредоточится на существенных особенностях объекта, с другой стороны, не упрощать до такого уровня, чтобы ослабить связь модели с реальной действительностью. Американский математик Р. Беллман образно охарактеризовал такую задачу как "западню переупрощения и болото переусложнения".

В процессе научного исследования модель может  работать в двух направлениях: от наблюдений реального мира к теории и обратно. С одной стороны, построение модели является важной ступенью к созданию теории, с другой - одно из средств экспериментального исследования. В зависимости от выбора средств моделирования выделяют модели материальные и абстрактные (знаковые). Материальные (физические) модели широко используются в технике, архитектуре и других областях. Они основаны на получении физического образа исследуемого объекта или процесса. Абстрактные модели не связаны с построением физических образов. Они являются некоторым промежуточным звеном между абстрактным теоретическим мышлением и реальной действительностью. К абстрактным моделям (их называют знаковыми) можно отнести числовые (математические выражения с конкретными числовыми характеристиками), логические (блок-схемы алгоритмов расчетов на ЭВМ, графики, диаграммы, рисунки). Модели, при построении которых преследуется цель определения такого состояния объекта, которое является наилучшим с точки зрения определенного критерия, называются нормативными. Модели, предназначенные для объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объекта, называются дескриптивными.

Эффективность применения моделей определяется научной обоснованностью их предпосылок, умением исследователя выделить существенные характеристики объекта моделирования, отобрать исходную информацию, интерпретировать применительно к системе полученные результаты численных расчетов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Экономико-математические методы  и модели

 

Как и  всякое моделирование, экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического  моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

Описание  экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей базируется на использовании одного из экономико-математических методов. Обобщающее название комплекса экономических и математических дисциплин - экономико-математические методы - ввел в начале 60-х годов академик В.С. Немчинов. С известной долей условности классификацию этих методов можно представить следующим образом.

1. Экономико-статистические методы:

1.1.Экономическая статистика.

1.2.Математическая статистика.

1.3.Многофакторный анализ и др.

2. Эконометрия (планометрия):

2.1.Макроэкономические модели.

2.2.Теория производственных функций.

2.3.Межотраслевые балансы.

2.4. Национальные  счета.

2.5. Анализ  спроса и потребления.

2.6. Глобальное  моделирование и др.

3. Исследование операций (методы принятия оптимальных решений):

3.1. Математическое  программирование.

3.2. Сетевое  и планирование управления.

3.3. Теория  массового обслуживания.

3.4. Теория игр.

3.5. Теория  решений.

3.6. Методы  моделирования экономических процессов  в отраслях и на предприятиях  и др.

4. Экономическая кибернетика:

4.1. Системный  анализ экономики.

4.2. Теория  экономической информации и др.

5. Методы экспериментального изучения экономических явлений:

5.1. Методы  машинной имитации.

5.2. Деловые  игры.

5.3. Методы  реального экономического эксперимента  и др.

В экономико-математических методах применяются различные разделы математики, математической статистики, математической логики. Большую роль в решении экономико-математических задач играют вычислительная математика, теория алгоритмов и другие дисциплины. Использование математического аппарата принесло ощутимые результаты при решении задач анализа процессов расширенного производства, матричного моделирования, определения оптимальных темпов роста капиталовложений, оптимального размещения, специализации и концентрации производства, задач выбора оптимальных способов производства, определения оптимальной последовательности запуска в производство, оптимальных вариантов раскроя промышленных материалов и составления смесей, задачи подготовки производства методами сетевого планирования и многих других.

Экономико-математические методы являются важными элементами в системе принятия решений. Обратная связь указывает на необходимость поиска новых решений, если результаты практического апробирования ранее принятого варианта не приводят к ожидаемому результату и решению проблемы.

На этапе поиска решения проблемы необходимо ее проанализировать и отнести к одной из четырех степеней структуризации, поскольку от этого зависит выбор математического аппарата для решения проблемы. Структура любой проблемы определяется пятью основными логическими элементами:

1)цель или ряд целей, достижение  которых означает, что проблема решена;

2)курсы действий, с помощью которых  достигается цель;

3)затраты ресурсов, требуемые для  каждого курса действий;

4)модель или модели, в которых  с помощью формального языка  (математики, логики, словесного, машинного или графического описания) отображаются связи между целями, курсами действий и затратами;

5)критерий, с помощью которого сопоставляются цели и затраты и отыскиваются наиболее предпочтительные решения.

Степень структуризации проблемы, нашедшая отражение на схеме, определяется тем, насколько хорошо выделены указанные пять элементов в изучаемой проблеме.

Стандартные проблемы связаны, как правило, с  одновариантными расчетами (расчет потребности оборудования и материалов исходя из производственной программы и др.) На этом этапе пользуются расчетными формулами, матричными балансовыми моделями. Хорошо структурированные - это обычные проблемы, требующие выбора варианта из многих возможных. Элементы и связи таких проблем, как правило, хорошо изучены и могут выражаться количественно. Используются для их решения методы исследования операций, экономико-статистические методы и некоторые методы эконометрии. К слабоструктурированным относятся обычно проблемы, связанные с выработкой долгосрочных курсов действий, каждый из которых затрагивает многие аспекты деятельности предприятий. Эти проблемы решаются преимущественно с использованием методологии системного анализа, сочетающего качественный анализ с математическими расчетами. Примерами таких задач являются задачи по созданию новых производственных комплексов, определению стратегии технического перевооружения производства, совершенствованию организации управления, обоснованию путей производительности труда и т.д.

Неструктурированные проблемы отличаются неопределенностью как целей деятельности, так и возможных курсов действий. В решении таких проблем главное значение приобретает интуиция, опыт квалифицированных специалистов. Могут использоваться также общие идеи системного подхода в изучении и постановке проблем. К проблемам такого рода относится формирование долгосрочных планов научно-исследовательской и проектно-конструкторской деятельности, планов социального развития, наилучшего использования фонда социально-культурных мероприятий и др.

От степени  структуризации проблем зависят  метод решения и факт их разрешимости. Если проблемы хорошо структурированы, то это означает наличие единого критерия оптимальности и возможности его количественного измерения, взаимозаменяемость переменных в плане многовариантности использования материальных средств, ограниченное число способов достижения цели. Если проблемы слабо структурированы, то в их постановке характерна многозначность цели. Ограниченное множество альтернатив, ограниченность ресурсов, времени расчетов и человеческих знаний затрудняют поиск решения и проведение всего комплекса обоснований и расчетов.

Для решения  стандартных проблем характерны четкость цели, возможность заранее выработать процедуры и правила ведения расчетов.

В заключение надо сказать, что существуют предпосылки  использования методов экономико-математического моделирования. Важнейшими из них являются, во-первых, высокий уровень знания экономической теории, экономических процессов и явлений, методологии их качественного анализа; во-вторых, высокий уровень математической подготовки, владение экономико-математическими методами.

Прежде  чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательно проанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующие решения, и исходные данные для их решения, ввести систему обозначений, и только тогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

 

3.Задача распределения  средств между предприятиями

 

Для увеличения объёмов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой 4 предприятиями города, выделены средства в размере 100 млн. руб. Использование i-ым предприятием x млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением fi(x).

Найти распределение  средств между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпуска продукции.

 

Таблица 1

Объем выделенных ресурсов, x

Дополнительный  доход предприятия в зависимости  от объема выделенных средств, fi(x)

f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x)

0

0

0

0

0

20

9

12

6

7

40

20

20

11

19

60

42

31

20

29

80

45

39

40

35

100

59

47

62

51


 

Рассмотрим  обратную схему Беллмана. Рекуррентные соотношения имеют вид:

 

Распределение ресурсов будем производить с  точностью 20 единиц.

Согласно  обратной схеме Беллмана начинаем с  определения условно оптимальных  капиталовложений, выделяемых для последнего четвертого (n-ого) предприятия. Для этого находим значения  для каждого x, принимающего значения 0, 20, 40, 60, 80, 100.

Показатель  эффективности 4-ого шага (4-ого предприятия), равный суммарному показателю эффективности  на всех шагах определяется как  .

Далее аналогично находим  - объединённый показатель эффективности деятельности 2 предприятий.

 

Произведем  вычисления значений функции  и представим их  в таблице 2.

 

 

Таблица 2.

Объем выделенных ресурсов, x

Показатели эффективности  предприятий в  зависимости от объема выделенных средств,

 Z i(x)

Z4(x)

Z 3(x)

Z 2(x)

Z 1(x)

0

0

0

0

0

20

7

7

12

12

40

19

19

20

20

60

29

29

31

31

80

35

40

41

41

100

51

62

62

62


 

Объединённый  показатель эффективности деятельности 3 предприятий - . Произведем вычисления значений функции и представим их  в таблице 2.

 

 

 

Объединённый  показатель эффективности деятельности 4 предприятий - . Произведем вычисления значений функции и представим их  в таблице 2.

 

 

 

Из таблицы 2 находим оптимальный план распределения  выделенных средств. В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет

Чтобы найти  оптимальную стратегию управления, т.е. определить решение задачи- оптимальное  распределение средств между  предприятиями , необходимо снова пройти всю последовательность шагов – от последнего к первому.

 

 

Таким образом, в результате решения задачи распределения  средств между предприятиями  получили, что для обеспечения  максимальной эффективности деятельности (прибыли) всех предприятий, равной 62 у.е., первому, второму и третьему предприятиям согласно оптимальному распределению следует не выделять ресурсов, а четвертому предприятию необходимо выделить 100 единиц ресурса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Задача замены оборудования

 

Оборудование  эксплуатируется в течение 5 лет, после чего продается. В начале каждого  года принимается решение сохранить  оборудование или заменить его новым. Известны первоначальная стоимость  нового оборудования p(t)= p0 =const, затраты на содержание оборудования r(t) и ликвидная стоимость оборудования j(t). Необходимо определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты на эксплуатацию в течение 5 лет.

 

Данные  о затратах на содержание оборудования и ликвидной стоимости приведены  в таблице 3.

 

Таблица 3.

t

0

1

2

3

4

5

r(t)

600

800

1200

1500

1900

-

j(t)

-

8000

7000

5000

3000

1000

р(t)

10000

10000

10000

10000

10000

10000


 

 

Необходимо  определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Проведем  на размеченном графе условную оптимизацию.

 

5 шаг. В состояниях (5,t) оборудование продается, условный оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости j(t), но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5,t) ставим величину дохода со знаком «-».

 

4 шаг. 

 

Состояние (4,1).

 

 

 

Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в  точку (5,1) (укажем это направление  пунктирной линией), т.к. затраты в  этом случае будут минимальными (10000+600-8000=2600<800).

 

Состояние (4,2).

 

 

Состояние (4,3).

 

 

 

Состояние (4,4).

 

 

 

3 шаг. 

 

Состояние (3,1).

 

 

 

 

В данном случае, находясь в точке (3,1), оптимально  идти как в точку (4,2), так и в  точку (4,1) (в обоих случаях затраты  будут одинаковыми (-3600), возникает  альтернативность решения).

 

Состояние (3,2).


 

 

 

 

 

Состояние (3,3).

 

 

 

2 шаг. 

 

Состояние (2,1).

 

 

 

 

 

 

Состояние (2,2).

 

 

 

 

 

 

1 шаг. 

Состояние (1,1).

 

 

В данном случае, находясь в точке (1,1), оптимально  идти как в точку (2,1), так и в  точку (2,2) (в обоих случаях затраты будут одинаковыми (2600), возникает альтернативность решения).

После проведения условной оптимизации в точке (0,0) получим минимальные затраты  на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с последующей продажей: руб.

 

Строим  оптимальные траектории, перемещаясь  из точки (0,0) по пунктирным линиям в  конечное состояние  .

Получаем  следующие наборы точек, соответствующие  управлениям:

 

 

 

 

Согласно  первой стратегии эксплуатации оборудования следует заменить в начале 3-его  и 5-ого годов, согласно второй –  в начале 2-ого и 4-ого годов, согласно третьей - в начале 3-его и 4-ого  годов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Характерной особенностью научно-технического прогресса в развитых странах является возрастание роли экономической науки. Экономика выдвигается на первый план именно потому, что она в решающей степени определяет эффективность и приоритетность направлений научно-технического прогресса, открывает широкие пути реализации экономически выгодных достижений.

Применение  математики в экономической науке  дало толчок в развитии, как самой экономической науки, так и прикладной математики в части методов экономико-математического моделирования. Пословица говорит: "Семь раз отмерь - один отрежь". Использование моделей и есть своеобразный математический способ "примерить" вырабатываемое решение, позволяющий экономить время, силы, материальные средства. Кроме того, расчеты по моделям противостоят "волевым" решениям, поскольку позволяют заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные.

На всех уровнях управления, во всех отраслях используются методы экономико-математического моделирования. Выделим условно следующие направления их практического применения, по которым получен уже большой экономический эффект.

Первое направление — прогнозирование и перспективное планирование. Прогнозируются темпы и пропорции развития экономики, на их основе определяются темпы и факторы роста национального дохода, его распределение на потребление и накопление и т.д. Важным моментом является использование экономико-математических методов не только при составлении планов, но и в деле оперативного руководства по их реализации.

Второе направление - разработка моделей, которые используются как инструмент согласования и оптимизации плановых решений, в частности это межотраслевые и межрегиональные балансы производства и распределения продукции. По экономическому содержанию и характеру информации выделяют балансы стоимостные и натурально-продуктовые, каждый из которых может быть отчетным и плановым.

Третье направление — использование экономико-математических моделей на отраслевом уровне (выполнение расчетов оптимальных планов отрасли, анализ с помощью производственных функций, прогнозирование основных производственных пропорций развития отрасли). Для решения задачи размещения и специализации предприятия, оптимального прикрепления к поставщикам или потребителям и др. используются модели оптимизации двух типов: в одних для заданного объема производства продукции требуется найти вариант реализации плана с наименьшими затратами, в других требуется определить масштабы производства и структуру продукции с целью получения максимального эффекта. В продолжение расчетов осуществляется переход от статических моделей к динамическим и от моделирования отдельных, отраслей к оптимизации многоотраслевых комплексов. Если раньше были попытки создать единую модель отрасли, то теперь наиболее перспективным считается использование комплексов моделей, взаимоувязанных как по вертикали, так и по горизонтали.