Экономико-математические методы и прикладные модели

     Цель  работы:

 выбор уравнения  регрессии, оценка значимости  нелинейных моделей.

     13 вариант

Исходные данные:

     Требуется: 

      1. Построить предложенные уравнения  зависимости цены квартиры от выбранного параметра;

      2. Рассчитать индексы корреляции  и детерминации, средний коэффициент  эластичности;

      3. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вид регрессии: линейная, гиперболическая, степенная. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оценки коэффициентов  однофакторной регрессионной модели: 

Где

;  ;  ;  где x- независимая переменная, y - зависимая переменная, n – число элементов выборочной совокупности.

 Для гиперболической модели при переходе к линейной X=1/

Для степенной модели . .   

Дисперсионное отношение  Фишера (F – критерий)

     F_расч=*(n-2),

Индекс корреляции:

P_xy=;

Индекс детерминации D=

Усредненное значение коэффициента эластичности:

Е_xy=

Для нелинейной модели: E=f(x)

Средняя ошибка аппроксимации  A=1

2. Гиперболическая 

3. Степенная

1. Для линейной модели:

Расчет коэффициентов  регрессии:

₁ = 3,019315063

a=15,7033169

Подставляем в функцию  y=a+b₁*x получаем уравнение регрессии

Y=15,7033+3,019315x

Коэффициент корреляции r= 0,517725329

Коэффициент детерминации d= 0,268039517

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

A=1 A= 15,71%

E_x=0,6039% – коэффициент эластичности показывает, что на 0,6039% процентов изменится результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%.

Индекс корреляции p= 0,517725329

Индекс детерминации D= 0,268039517

 Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F – критерия Фишера F = 24,53499612   Fтабл.~4

2. Для гиперболической модели:

Для приведения к  линейному виду заменяем X на 1/x

₁ = -173,65

a=62,577

Y=62,577-173,65x- линейный вид 

Индекс корреляции p= 0,493460

Индекс детерминации D= 0,24350

Индекс Фишера F = 21,5661

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

A=1 A= 16,29%

E для нелинейной модели =f’(x)

E_x=-0,57817 – коэффициент эластичности показывает, что на 0,57817% процентов уменьшится результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%.

3. Для степенной функции:

Для приведения к  линейному виду сделаем замену

  . .

₁ = 0,56041

a=2,50497

Y=2,50497+0,56041x- линейный вид 

Индекс корреляции p= 0,50552

Индекс детерминации D= 0,25555

Индекс Фишера F = 26,0114

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

A=1 A= 15,05%

E для нелинейной модели =f’(x)

E_x=-0,31419 – коэффициент эластичности показывает, что на 0,31419% процентов изменится результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%.

Выводы:

      Для изучения и сравнения 3-х моделей  регрессии и выбора из них наиболее значимой нам потребовалось найти  индексы корреляции, детерминации, коэффициенты эластичности и аппроксимации.

Коэффициент линейной корреляции отражает меру линейной зависимости  между двумя переменными.

Индекс корреляции (показатель тесноты связи) используется для выявления тесноты связи между переменными в случае нелинейной зависимости. Индекс корреляции неотрицательная величина, не превосходящая 1.

Чем сильнее связь, тем ближе индекс к 1.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера.

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации   для обоснования возможности применения линейной функции.

Близость этих показателей  означает, что нет необходимости  усложнять форму уравнения регрессии  и можно использовать линейную функцию.

Далее необходимо было найти значение дисперсионного отношения  Фишера для того чтобы узнать значимость уравнения регрессии. Если вычисленное значение окажется больше табличного значения, то модель регрессии признается значимой (достоверной, т.е. можно говорить о наличии связи. Как в нашем случае).

Коэффициент эластичности, показывающий, на сколько процентов  изменится результат y при изменении признака x  на 1%. ОН наибольший у линейной и степенной модели.

Средняя ошибка аппроксимации  говорит о качестве подбора модели к исходным данным. Допустимый предел не более 8-15%.

Сделав вычисления параметров всех трех моделей можно  сделать вывод, что наиболее качественный подбор данных у линейной и степенной функции, что показывает индекс аппроксимации. Так же об этом говорит и индекс регрессии, который у них ближе к 1. Однако в линейной модели фактор x сильнее влияет на y, о чем свидетельствует коэффициент эластичности. Из этих двух моделей наиболее подходит нам линейная, т.к. более проста в расчетах.  
 
 
 
 
 

∆ гипербола

● прямая линейная

Х- степенная