КОМПЛЕКСНАЯ КУРСОВАЯ РАБОТА

     по  дисциплинам: «Экономико-математические методы и модели», «Математические основы теории принятия решений»

     на  тему «Экономико-математические модели равновесного функционирования рынка на примере Оршанского комбината хлебопродуктов» 
 
 

Студент

__________   

Руководитель

                         __________               
 
 
 

Минск 2010

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

     Экономико-математические модели – использование методов математического моделирования для описания экономических явлений и процессов. Математическое моделирование означает создание условного образа объекта и описание его с помощью символов и операций, принятых в математике. Экономико-математические модели получили большое распространение в естественных науках. В экономической науке математические модели активно стали применяться во второй половине XX в.

     Для анализа сложных экономических  процессов применяются модели общего экономического равновесия, в которых, с одной стороны, моделируется процесс производства в отраслях народного хозяйства, а с другой – процесс потребления различных групп потребителей. [7]

     На  рынке происходит взаимодействие между потребителями с одной стороны и производителями продукции (фирмами) с другой стороны. Поведение всей совокупности потребителей, присутствующих на рынке приводит к формированию рыночного спроса на тот или иной товар, деятельность присутствующих на рынке фирм приводит к формированию так называемого рыночного предложения продукции. При этом потребители располагают набором факторов производства (рабочей силой), которые они продают на рынке ресурсов и используют полученный доход для приобретения товаров на рынке товаров. Фирмы покупают факторы производства с тем, чтобы продавать произведенную продукцию на рынке товаров. Таким образом, в теории общего равновесия заданными считаются предпочтения и ресурсы потребителей и технологические возможности фирм.

     Цель данной работы – определение равновесного состояния на рынке для конкретного предприятия с помощью одной из многочисленных моделей равновесия.

      Для реализации поставленной цели курсовой работы необходимо решить следующие  задачи:

• рассмотреть понятие равновесия рынка;
• привести примеры математических моделей экономического равновесия и их классификации;
• проанализировать применение модели на примере конкретной ситуации.

      Предметом исследования являются модели экономического равновесия, объектом – особенности  условий применения данных моделей на практике.

ГЛАВА 1 РЫНОЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ. ПОНЯТИЕ И СУЩНОСТЬ

     1.1 Спрос и предложение как составляющие экономического равновесия

     Согласование  экономических интересов между  участниками сложного процесса производства, распределения и потребления наиболее эффективно осуществляется с помощью рыночного механизма, который выступает в роли регулятора взаимосвязей между хозяйственными субъектами.

     В условиях свободной конкуренции  производитель и потребитель  выступают как независимые агенты, что позволяет свободно принимать компромиссные решения по заключению сделок и вырабатывать взаимовыгодные условия покупки и продажи тех или иных товаров. В ситуации, когда сделки совершаются большим числом участников, можно считать, что цены складываются как результат массового взаимодействия продавцов и покупателей, а каждый отдельный участник практически не влияет на их формирование.

     Сам процесс достижения равновесия как  согласованного решения представляется как последовательность действий, каждое из которых может быть интерпретировано либо как реальная сделка по некоторой промежуточной цене, либо как переговорный акт между продавцом и покупателем с целью выяснения возможной цены, объема спроса и предложения.

     Наиболее  простые модели равновесия относятся к случаю, когда предметом сделок является один товар, а в качестве участников выступают независимые продавец (производитель) и покупатель (потребитель).

     Спрос на товар есть соотношение между ценой товара и его количеством, которое в состоянии приобрести покупатели. Рассмотрим рынок одного товара. Пусть D есть спрос на некоторый товар, а P – вектор цен, тогда

     D = D(P),    (1.1)

     функция спроса.

     Очевидно, что на спрос кроме цены влияет ещё множество факторов. Гипотеза о взаимозависимости цены товара и его количества, добровольно приобретённого потребителями, основывается на постоянстве всех других факторов, влияющих на спрос. Указанное постоянство устанавливается обычно на среднем уровне. Закон спроса утверждает, что чем ниже цена товара, тем большее его количество потребители хотят и могут приобрести. Отсюда кривая спроса в общем случае отражает обратно пропорциональную зависимость между ценой (Р) и количеством товара, которое покупатели хотят и могут купить (D). Таким образом, кривая спроса при прочих равных условиях имеет отрицательный наклон.

     Изменение одного из прочих (кроме цены P) факторов приводит в движение всю кривую, что отражает изменение спроса. Сказанное о понятии спроса относится к общему случаю, но есть примеры положительно наклонённых кривых спроса. Товары, имеющие престижную ценность в основном из-за своей высокой цены, могут иметь, для некоторой части области спроса, положительно наклонённую кривую. Такую же кривую могут иметь товары, количество которых оценивается потребителями в основном по их цене. Есть и другие примеры этого явления. Другой действующей на рынке стороной является продавец товара. Предложение есть функция между ценой товара (P) и количеством товара, которое продавцы хотят и могут продать (S), то есть

     S = S(P),      (1.2)

     Закон предложения утверждает, что при прочих равных условиях, чем выше цена товара, тем больше желание продавца предложить его на продажу, так как в этом случае повышается доходность продаж, что приводит к увеличению чистого дохода. Кроме того, повышаются предельные издержки производства. Естественно, что объём предложения зависит и от прочих (кроме цены) факторов, поэтому, как и в случае спроса, зависимость (1.2) устанавливается при прочих равных условиях. Кривая предложения отражает соотношение между ценой (P) и объёмом предложения (S). Изменение цены приводит к изменению количества товара, предлагаемого для продажи. Если вводятся в действие неценовые факторы, то происходит смещение всей кривой предложения. [1, с. 148]

     1.2 Взаимодействие спроса  и предложения

     Взаимодействие  спроса и предложения происходит при попытке объяснить цены и количество товара, обмениваемого на рынке. Рынок находится в состоянии равновесия, если цена товара такова, что количество товара, которое покупатели желают купить, точно совпадает с количеством товара, которое продавцы хотят продать. Поскольку рынок – это сложная, вероятностная, динамическая система, приведённый постулат следует воспринимать как некоторую экономическую модель взаимодействия спроса и предложения.

     Закон Вальраса гласит, что равновесие на рынке установится при такой цене, которая позволит весь предложенный производителями товар продать потребителям, или

     D(P) = S(P),   (1.3)

     То  есть, рыночное равновесие имеет место в точке пересечения кривой спроса (D) и кривой предложения (S). Цена равновесия P задаётся уравнением (3), имеющим в общем случае множество решений. Когда цены достигают равновесия, они как бы "нормируют" товары в том смысле, что все покупатели, желающие приобрести товары по рыночной цене, получают к ним прямой, естественный доступ. Аналогично, продавцы товара в рассматриваемой ситуации легко найдут покупателя своих товаров по заданной цене. Любой отход от цены равновесия P приводит в действие факторы, способные вернуть рынок в прежнее состояние равновесия. Объём покупок-продаж (количество сделок) в равновесном состоянии рынка обозначим через X , а определим его из уравнения (1.3), тогда

     X = D(P)= S(P),

     где P - цена равновесия.

     Цена равновесия выступает как показатель, сочетающий в себе в результате компромисса разнохарактерные интересы производителя и потребителя.

     Цена  равновесия, как правило, очень чутко  реагирует на изменение внешних  условий или экзогенных факторов.

     В качестве таких факторов со стороны  спроса могут выступать изменение уровня дохода потребителей, приобретающих данный товар, а также влияние моды и появление новых товаров аналогичного назначения. В случае увеличения дохода ( ) кривая спроса занимает более высокое положение (рис. 1.1) и новая цена равновесия ( ) оказывается большей, чем прежняя ( ).

     При этом, как видно, объем продаж товара в денежном выражении увеличивается ( ).

     Если  же на рынке появляется более эффективный  или более дешевый заменитель рассматриваемого нами товара, то покупатели уменьшают ту долю дохода, которую они предназначали ранее для его покупки ( ), и спрос на этот товар падает. В результате кривая спроса сдвигается вниз и налево (рисунке 1.2) и новая цена равновесия становится более низкой, нежели прежняя ( ).

     Рисунок 1.1. Смещение кривой спроса при увеличении дохода

     Рисунок 1.2. Смещение кривой спроса при появлении на рынке более дешевого аналогичного товара

     Объем продаж товара также уменьшается.

     Изменение условий со стороны предложения  также может происходить вследствие различных обстоятельств.

     Например, снижение уровня предложения товара может быть вызвано уменьшением производства из-за разрыва ранее существовавших хозяйственных связей; плохим урожаем сельскохозяйственных продуктов; уменьшением импорта и т.п. Во всех этих случаях кривая предложения смещается вниз направо в положение , и новая цена равновесия оказывается больше старой ( ) (рисунок 1.3).

     Рисунок 1.3. Снижение объема предложения ведет к росту равновесной цены

     При этом объем продаж в натуральном выражении снижается, но в денежном выражении может и увеличиться.

     Разработка  новых экономичных технологий, специальные  государственные или коммерческие дотации могут служить причиной того, что производство товара в прежних объемах осуществляется с меньшими издержками. В этой обстановке кривая предложения смещается налево вверх ( ) на рисунке 1.4 и цена равновесия уменьшается ( ).

     Рисунок 1.4. Новые технологии, дотации смещают кривую предложения вверх, равновесная цена снижается

     Особым  является случай монопольного рынка, когда предложение либо практически не зависит от цены (является неэластичным), либо даже уменьшается по мере увеличения цены. В этой ситуации изменение цены равновесия определяется изменением спроса (рисунок. 1.5).

     Проведенный выше анализ позволяет изучить и более общий случай, когда имеет место одновременное влияние нескольких различных факторов на цену равновесия: например, увеличиваются доходы потребителей и осуществляются дополнительные дотации или льготы производству. В такой обстановке противоположные тенденции (к росту и к снижению цены) могут быть взаимно погашены и стабильный уровень цен сохраняется. 

     Рисунок 1.5. На монопольном рынке предложение практически не зависит от цены

     Если  же имеет место рост доходов потребителей, но не улучшаются условия производства, то появляются условия для неконтролируемого роста цен, который обычно называется инфляцией спроса (demand-pull inflation).

     В ситуации, когда доходы потребителей практически не возрастают, но увеличиваются издержки производителей, появляется другой вид инфляции: инфляция издержек (cost-push inflation). В реальной обстановке различные причины инфляции переплетаются между собой и классификация инфляционных явлений становится весьма затруднительной. [2, с. 147]

ГЛАВА 2 КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ РАВНОВЕСИЯ

     2.1. Классические экономико-математические модели равновесия

     2.1.1. Паутинообразная модель

     Достаточно  полное представление о том, каким  образом происходит установление равновесия на рынке товаров,  дает так называемая паутинообразная модель. Предполагается, что рынок описывается с помощью кривых спроса и предложения товара.

     Кривая  предложения  представляет собой зависимость предложения товара от его текущей рыночной цены . Очевидно, что зависимость является неубывающей функцией своего аргумента.

     Кривая  спроса представляет собой зависимость спроса на товар от его текущей рыночной цены . Очевидно, что зависимость является невозрастающей функцией своего аргумента.

     Для простоты выкладок будем предполагать, что функции спроса и предложения  являются линейными, т. е.:

            (2.1.1)

     Найдем  равновесную рыночную цену: .

             (2.1.2)

             (2.1.3)

              (2.1.4)

     Паутинообразная модель, перехода рынка в состояние равновесия получается из следующих соображений. Разобьём всю ось времени на равные промежутки и пронумеруем их 0,1,2,3,... .Будем считать, что длительность этих промежутков равна длительности цикла производства. На интервале продается товар, произведенный на интервале . На этом интервале его было произведено . На интервале его продавали по цене , и спрос был . Считая, что спрос равен предложению, получаем:

      ,

       или     (2.1.5)

     Подставляя  в это выражение аналогичные  выражения для  , , …. в итоге получаем

        (2.1.6) 

     Выражение, стоящее в квадратных скобках  представляет собой сумму  первых членов геометрической прогрессии с основанием равным 1 и знаменателем . Имеем:

       (2.1.7)

     Возможны  следующие ситуации:

     1. Стабилизация рынка.

     Это произойдет в случае, когда  (наклон кривой спроса к положительному направлению оси абсцисс круче, чем наклон кривой предложения). В этом случае и система со временем осуществит переход в точку рыночного равновесия. Изобразим процесс перехода рынка в равновесное состояние на графике:

     Рисунок 2.1. - Паутинообразная модель (стабилизация рынка).

     2. Рынок будет испытывать циклы роста и спада производства.

     Это будет происходить в том случае, когда  (наклон кривой спроса равен наклону кривой предложения). В этом случае

            (2.1.8)

     и рыночная цена будет совершать колебания  равной амплитуды вокруг точки рыночного  равновесия. Эти колебания являются прообразом экономических циклов роста  и спада производства.

     Рисунок 2.2. - Паутинообразная модель (циклы роста и спада производства).

     3. Дестабилизация рынка. 

     Это произойдет в случае, когда  (наклон кривой спроса к положительному направлению оси абсцисс меньше, чем наклон кривой предложения). В этом случае и амплитуда колебаний рыночной цены вокруг точки равновесия будет возрастать, что в конечном итоге приведет к краху рынка. [3]

     Рисунок 2.3 - Паутинообразная модель (дестабилизация рынка).

     2.1.2 Модель Вальраса

     Концептуальная схема модели была разработана Вальрасом в конце XIX века и базировалась на следующем представлении: экономика имеет в своем составе многочисленные «атомарные» хозяйственные единицы и много потребителей. Каждый из этих участников преследует свои цели, поэтому возможны конфликтные ситуации. Для того чтобы экономическая система функционировала нормально, индивидуальные действия различных участников должны быть согласованы между собой.

     В модели Вальраса, включающей конечное число потребителей и производителей, такое разрешение конфликта достигается не прямым принудительным путем, а косвенно — через конкурентный рыночный механизм, основанный на регулирующем действии системы цен. Если система цен определена, то любая рыночная сделка независимо от того, является ли рынок конкурентным или нет, осуществляется в соответствии с этой системой цен.

     Если участники не могут влиять на цены, то рынок называется конкурентным. На конкурентном рынке цены для каждого участника не управляемы, и ему остается только пассивно приспосабливаться к существующей системе цен. [4, с.87]

     Основная идея Вальраса состоит в том, что при некоторой системе цен индивидуальные планы (намерения) участников становятся совместимыми, т. е. такая система цен обеспечивает распределение ресурсов и продуктов на основе разрешения конфликта между участниками. Такая равновесная ситуация называется конкурентным равновесием.

     В модели Вальраса рассматривается экономика с l потребителями (i = 1,…, l), m производителями (k = 1, …, m) и n типами товаров (j = 1, …, n). Через р = (р₁, …, р_n) далее будем обозначать вектор-строку цен, а через х — (х_1, …, х_n)' — вектор-столбец товаров. В рассматриваемой модели понятие «товар» трактуется расширительно. Под товаром понимается и предмет потребления, и промежуточный продукт (продукт труда), и средство труда (капитальное оборудование, здания, сооружения и т. п.), и первичные ресурсы (труд и природные ресурсы).

     Модель Вальраса можно рассматривать как формализацию годового цикла производства и распределения товаров в результате взаимодействия субъектов экономики (потребителей и производителей), каждый из которых преследует свои цели.

     Каждый потребитель обладает доходом К(р) и имеет свое поле предпочтений товаров, которое может быть задано в виде индикатора предпочтений (функции полезности) u(х). Если обозначить через Х(р) = {х: х X, рх К(р)} множество возможных наборов товаров, доступных потребителю при ценах р, X — область определения u(х), то функция спроса потребителя задается следующим образом:

       х*: х Х(р), u(х') = max_{х Х(р)} u(р); 
  0, если максимум не достигается (2.1.9)

     Т. е. функция спроса — это такое множество доступных наборов товаров, каждый из которых (наборов) максимизирует полезность (потребителя) при заданных ценах р.

     Итак, каждый потребитель характеризуется функцией спроса Ф_i (р) и доходом K_i(p). Предполагается, что доход каждого потребителя складывается из двух частей: из доходов pb_i от продажи первоначального запаса товаров b_i и из дохода l_i(р) в результате участия потребителя в производстве, т. е. К_i(р) = pb_i +1_i(р).

     Каждый производитель (фирма) задается своими технологическими возможностями. Обозначим через у_k = (у_k1, …, у _km)' вектор-столбец затрат-выпуска k-го производителя: положительные компоненты этого вектора задают выпуск фирмы, отрицательные компоненты — затраты. Поэтому скалярное произведение ру_к представляет собой прибыль фирмы. Технологические возможности фирмы определяются как множество всех допустимых векторов затрат-выпуска Y_k. Это множество называется множеством производственных возможностей.

     Под функцией предложения фирмы понимается  один или несколько векторов затрат-выпуска, которые при заданных ценах р максимизируют прибыль:

     ψ_к(р) = {y_k: y_k У_k, ру*_k = max ру_k}.  (2.2.10)

     Предполагается, что Y_k для любого k замкнуто и 0 Y_k, т. е. фирма может не производить продукцию и не делать затрат.

     Вектор затрат-выпуска для всей экономики определяется как сумма векторов затрат-выпуска для всех производителей:

     y = y_k        (2.1.11)

     При таком суммировании промежуточные продукты взаимно сокращаются, поскольку они положительны для их производителей и отрицательны для тех фирм, которые потребляют эти промежуточные продукты. В итоге в вектор у войдут с положительным знаком только конечные продукты (конечный выпуск) и с отрицательным знаком — первичные ресурсы.

      Вектор у принимает значения из общеэкономического множества производственных возможностей

     У= y : y = y_k, y_k У_к, k = 1, …, m    (2.1.12)

     Основная функция экономики независимо от того, является ли она централизованной или децентрализованной, состоит в распределении произведенных продуктов среди потребителей.

     Распределение производства осуществляется выбором вектора затрат-выпуса у_к из технологического множества производственных возможностей Y_k для каждого производителя k = 1, …, m. Сумма у = y_k представляет собой совокупный производственный процесс.

     Такие совокупные процессы образуют совокупное технологическое множество Y (общеэкономическое множество производственных возможностей).

     Сумма по всем потребителям b = b_i, представляет собой совокупную первоначальную собственность. В понятие начальной собственности могут входить не только потребительские товары, но и промежуточные продукты (предметы труда), капитальное оборудование (средства труда), земля и другие природные ресурсы, труд. Множество {b}+Y представляет собой множество совокупного предложения.

     Распределение потребления осуществляется путем выбора каждым потребителем меню потребления x_i X_i, i = 1, …, l.  Сумма x = x_i, представляет собой вектор совокупного спроса, некоторые из компонент которого могут быть отрицательны, если они представляют собой предложение (например, труда).

     Под совместным распределением производства и потребления понимается такой набор векторов потребления и векторов затрат-выпуска (х₁, …, xi, …, x_l, y₁, …, y_k, …, y_m), хi Хi, y_k Y_k, для которого совокупный спрос совпадает с совокупным предложением:

     х = x_i = b + y_k = b + y.     (2.1.13)

     Набор (х*₁, …, x*_l, …, y*₁, …, y*_m, p*) задает конкурентное равновесие в модели Вальраса, если

     x*i   Фi(p*), i = 1, ..., l, y*_k ψ_к(р*), k = 1, …, m,  (2.1.14)

      y*_k + b >= = x*_i,      (2.1.15)

     p y*_k + b) = p* x_i      (2.1.16)

     При этом р* называется вектором конкурентных цен. Соотношения (2.1.15), (2.1.16) называются законом Вальраса в широком смысле, если же в (2.1.15) имеет место равенство, — это закон Вальраса в узком смысле.

     Таким образом, конкурентное равновесие представляет собой совместное распределение производства и потребления, при котором совокупный спрос не превосходит совокупного предложения (2.1.15), стоимость совокупного спроса в конкурентных ценах равна стоимости совокупного предложения в этих же ценах (2.1.16), при этом каждый потребитель максимизирует свою полезность в ценах р*, а каждый производитель — свою прибыль в этих же ценах (2.1.14). Таким образом, существование конкурентного равновесия означает существование такой системы равновесных (конкурентных) цен р*, при которой согласуются конфликтные интересы потребителей и производителей. Весь вопрос в том, при каких условиях существует конкурентное равновесие в модели Вальраса.

     Согласно теореме Эрроу-Дебре конкурентное равновесие существует при выполнении следующих условий:

     1. Множество наборов потребительских благ X_i для каждого потребителя является замкнутым, выпуклым и неограниченным множеством, X_i Rⁿ.

     2. Каждое множество X_i имеет нижнюю границу с_i:

     x_i c_i, x_i X_i, i = 1, …, l.

     3. Функция u_i непрерывна и вогнута на X_i, i = 1, …, l.

     Каждый потребитель ненасыщаем и обладает положительной начальной собственностью b_i,   i = 1, …, l.

     Каждое технологическое множество является замкнутым выпуклым множеством, Y_k Rⁿ,  0 Y_k.