Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Экономико-математические модели в управлении

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. ……………………………………………………………….. 3

Функции спроса и предложения,

равновесная цена. …………………………………………………… 4

Функции спроса. Зависимость спроса

от прибыли. ……………………………………………………………. 7

Максимальная прибыль. ………………………………………………. 9

Средние и предельные показатели. ………………………………….. 12

Эластичность экономических функций. …………………………….. 14

Модель межотраслевого баланса. …………………………………… 19

Цены в системе межотраслевых связей. ……………………………… 26

Простейшая модель экспорта и импорта. ………………………….. 29

Построение кривых безразличия. ……………………………………. 31

Заключение ……………………………………………………………… 32

Литература………………………………………………………………...33

Введение.

Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.

Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка и определения цен, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

Немалое место отводится моделям оптимального отраслевого и регионального регулирования - экономико-математическим моделям проекта развития отдельных отраслей промышленности. Это такие важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса региона.

Основным понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель - это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель - это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

Функции спроса и предложения, равновесная цена.

Микро экономика – раздел экономики, который занимается анализом отдельных элементов экономической системы. Один из важнейших разделов микро экономики — изучение спроса и предложения. Спрос на некоторые товары — это потребность в определенном количестве товара, ограниченная действующими ценами и платежеспособностью (прибылями) потребителей. Предложение — это количество товара, который может быть предложено для продажи по данной цене.

Здравый смысл подсказывает: увеличение выпуска требует дополнительных затрат и, для того чтобы заинтересовать производителя в увеличении выпуска, нужно предложить ему повышенную цену. Отсюда вытекает, что предложение S нужно рассматривать, как возрастающую функцию цены Р. Если предложение зависит от цены, то и цена зависит от предложения. Экономисты обычно именно функцию Р = S(Q) называют функцией предложения, а её график — кривой предложения; здесь Q — количество товара, предложенного для продажи по цене Р.

Тот же здравый смысл подсказывает: если цена на определенный товар начинает возрастать, то количество проданного товара будет уменьшаться, то есть зависимость спроса Q от цены Р — убывающая функция. Экономисты называют функцией спроса функцию Р=D(Q), а ее график — кривой спроса, здесь Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р.

Хотя любое предположение о виде функциональных зависимостей S(Q) и D(Q) будет упрощением действительности, исследование этих функций позволяет частично «оценить» реальную ситуацию. Таким образом, анализируя модель, можно оценивать, прогнозировать изменение исследуемых величин. Чем ближе модель к реальности, тем, вообще говоря, она более сложнее и тем более точными могут оказаться прогнозы и оценки.

Некоторые содержательные выводы о взаимном влиянии показателей можно сделать, исследуя поведение графиков соответствующих функций. Ниже на рис. 1 изображены графики функций спроса и предложения, описываемые

зависимостями P=D(Q):= - 5Q+150, P=S(Q):=Q²/4 + Q/2 + 70.

Представляет интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка называется точкой равновесия, а соответствующая цена — равновесной ценой. Пересечение графиков при Р = 100

означает, что при такой цене весь сделанный товар раскупается, спрос и предложение совпадают. При ценах, ниже равновесной (Р< 100), спрос превышает предложение; при D(Q) > S(Q), возникает «дефицит» товара и производители могут повышать цену, рыночная цена будет стремиться к равновесной. Если же цены выше равновесной цены Р>100, то S(Q) большее D(Q), предложение превышает спрос, остается нереализованная продукция, которая побудит производителей снижать цену, и рыночная цена будет стремиться к равновесной. Для рассматриваемых функций Q = 10, соответственно равновесная цена равна 100.. Следует заметить, здесь рассмотрена очень упрощенная модель: ведь цена — не единый фактор, который определяет изменение спроса и предложения; с некоторыми другими факторами можно ознакомиться в трудах, в которые отражены исследование функций нескольких переменных в экономических задачах.

Задание:

Изобразите кривые спроса и предложения. Найдите равновесную цену графически и аналитически. Выполните задание для функций D(Q) = -АQ + В и S(Q) = Q²/С + О /R + Е

Решение:

Функция спроса: D(Q)=-5Q+120.

Функция предложения: S(Q)=

Посмотрим графики функций, вычислим точку равновесия графически и аналитически.

D(Q)=-5Q+120 ;

Q	0	10
D	120	70

S(Q)=;

Q=0; S(0)=70;

Q(верш.)=-;

S(верш.)= S(верш.)=

Q	0	6	12
S	70	85	124

Рисунок 1- Функции спроса и предложения, определение точки равновесия

Для нахождения равновесной цены аналитически приравниваем функции спроса и предложения.

-5Q+120=;

-30Q+720=;

D=1089+;

;

D(Q)=-5;

P=87,5

Таким образом, равновесный объём производства Q равен 6,5. Равновесная цена P равна 87,5.

Функции спроса. Зависимость спроса от прибыли.

Предметом теории потребления является исследование того, как люди распределяют заработную плату между разными расходными статьями своего бюджета, в каких объемах они покупают продукты потребления и т.д.

Функции спроса описывают зависимость спроса D на продукт потребления от цены Р этого продукта и от дохода потребителя х -D=D (х,P). При фиксированной цене Р функция спроса зависит только от дохода: D=D (х).

Рассмотрим, как пример, функции спроса Торнквиста D(х), которые описывают зависимость размера спроса на разные группы товаров в зависимости от их цены и роли в потребительской корзине:

- спрос на малоценные товары;

- спрос на товары первой необходимости;

- спрос на товары второй необходимости (относительная роскошь);

- спрос на предметы роскоши.

Из приведенных графиков видно, что при α = 10, β = 3, γ = 2 спрос на малоценные товары возрастает при небольших доходах, а потом, с возрастанием доходов, начинает падать и стремится к значению α сверху. Спрос на товары первой необходимости возрастает с возрастанием доходов и стремится к значению α снизу. Товары второй необходимости и предметы роскоши покупают только люди с прибылью, которая превышает γ = 2. При этом спрос на товары второй необходимости отстает от спроса на товары первой необходимости и ограничен сверху значением α. И только спрос на предметы роскоши с возрастанием доходов постоянно возрастает.

Задание:

Постройте график заданной функции спроса. Исследуйте вид кривой при разных значениях параметров.

Решение:

Определим функцию спроса для групп товаров.

= - малоценные товары;

= - товары первой необходимости;

= - относительная роскошь;

= - предметы роскоши.

Исследование функции:

Рисунок 2- Функции спроса на товары первой необходимости.

Эта функция монотонно возрастающая. У функции нет ни точек экстремума, ни точек перегиба, значит, спрос на товары первой необходимости возрастает с возрастанием доходов.

Максимальная прибыль.

В наиболее общем виде прибыль π — разность между выручкой предприятия от реализации продукции R и полными затратами С: π = R - С.

Поскольку цена определяется не тем, сколько хочет получить производитель, а тем, сколько готов заплатить потребитель, полная выручка, полученная от реализации товара в количества Q по цене — Р, исчисляется по формуле R=QР(Q), где Р= Р(Q) соответствующая функция спроса.

Полные затраты С разделяют на постоянные С_f, которые не зависят от объема производства Q, и переменные С_v — затраты на производство единицы продукции, то есть:

С = С_f , + С_v Q.

Задача об определении максимальной прибыли заключается в определении такого объема производства Q_mах, при котором достигается максимальная прибыль, то есть нужно при заданных значениях С _f , С_v и заданной функции спроса P = P(Q) найти максимум функции:

π (Q) = QР(Q)-( С _f + С_v Q ).

На рис. 3 приведен график зависимости прибыли для квадратичной функции P(Q) = 10Q – Q² при С_f=70, С_v =0.7.

В данном примере максимум прибыли равен 83,43 при Q = 6,6. Из рисунка видно, что производство прибыльно только при Q₁ < Q < Q₂;, где Q₁ и Q₂ — точки пересечения графика прибыли оси х, поскольку при таких значениях Q полная выручка превышает затраты.

Для аналитического определения границ интервала, в котором производство рентабельно (прибыль больше нуля) необходимо решить уравнение относительно Q.

QР(Q)-(С_f+С_vQ)>0 .

Для аналитического определения объема производства Q, при котором достигается максимальная прибыль необходимо решить уравнение.Относи тельно Q.

Задание:

Найдите графически и численно максимальную прибыль и границы прибыльного производства для заданной функции выручки предприятия и функции затрат. Выполните вычисления для функции выручки предприятия R = АQ -Q² и для функции затрат С = С _f + С_v Q.

Решение:

R = АQ -Q^{2
;}

С = С _f + С_v Q.

Находим функцию прибыли и определяем её максимальное значение:

π (Q) = R-C;

;

8,4=2Q;

Q=4,2- точка max;

Максимальная прибыль равна 9,64.

Рисунок 3- График полной прибыли.

Максимум прибыли равен 9,64 при Q=4,2. Из рисунка видно, что производство прибыльно только при ; при и - точки пересечения графика прибыли оси х, поскольку при таких значениях Q полная выручка превышает затраты.

>0;

D=70,56-32=38,6;

Производство рентабельно на интервале (1,1;7,3).

Средние и предельные показатели.

Переменные в экономическом анализе называются показателями. В экономике широко используются средние значения: средняя производительность, средняя прибыль, средние затраты и др. Однако с помощью средних показателей нельзя определить, какое влияние на результат деятельности (прибыль, объем производства и др.) осуществляет изменение одного из показателей. В этом случае целесообразно анализировать изменения переменных, то есть применять методы дифференциального исчисления.

Предельная выручка определяется как производная полной выручки R=R(Q) по количеству товара Q, то есть она равняется скорости изменения выручки при изменении объема продаж.

Средняя выручка — это выручка на единицу продаж:

Если R(Q) = PQ, где P - цена единицы товара, то

то есть средняя выручка равняется цене единицы продукции.

Аналогично определяются предельные и средние показатели для других экономических показателей.

Средние и предельные затраты:

где C(Q) функция затрат.

Средняя и предельная производительность:

где Q(L) — производственная функция, которая описывает зависимость объема выработанной продукции Q от количества затраченной работы L.

Средняя и предельная склонность к потреблению:

где S(Y) — функция потребления, которая описывает зависимость объёма потребление S от национального дохода Y .

Средняя и предельная склонность к сбережению:

где Z(Y) — функция сбережений, которая описывает зависимость объемов капиталовложений Z от национального дохода Y . Заметим, что для простейшей двухсекторной модели Y = S + Z ,поэтому

S'(Y) + Z'(Y) = 1, S_ср+ Z_ср = 1.

Задание:

Вычислите средние и предельные значения для заданной производственной функции

Решение:

Исходная производственная функция:

Среднее значение (отношение функции к объёму производства):

Предельное значение (производная функции):

()^ʼ=

Рисунок 4- График производственной функции

Рисунок 5- Графики функций среднего и предельного значений.

Эластичность экономических функций.

Эластичность — это безразмерная величина, которая показывает возможность функции реагировать на изменение аргумента. Эластичностью функции в точке называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при относительном приращении аргумента стремящемся к нулю, то есть

Эластичность можно определить через производную и средние величины:

или как логарифмическую производную:

так как

Для функции, заданной на конечном множестве значений x_i рассматривают конечную (процентную) эластичность:

Эластичность спроса по цене определяется равенствами:

где D = D(Р) — функция спроса, Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р.

Напомним, что функция спроса D = D(Р) — убывающая функция, поэтому эластичность отрицательна (точнее, неположительная), обычно анализируется величина ||.

Свойства эластичности:

эластичность – безразмерная величина, то есть =
эластичность взаимообратных функций – взаимообратные величины.
эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций, то есть
Экономический смысл эластичности: это процентное изменение экономического показателя при изменении аргумента на один процент.

Эластичность от некоторых функций следующая:

эластичность от степенной функции постоянна и равна
эластичность от показательной функции пропорциональна аргументу, то есть
эластичность от линейной функции:

В зависимости от значений ||. различают товары эластичного и неэластичного спроса. Если ||> 1, то есть относительное повышение цены на 1% приводит к относительному падению спроса более чем на 1%, и наоборот, падение цены на 1% приводит к увеличению спроса более чем на 1%, то говорят о товаре эластичного спроса. В противоположном случае, если || ≤ 1, товар называют товаром неэластичного спроса.

Существует связь между предельной прибылью и эластичностью спроса по цене.

Как уже отмечалось выше, суммарная выручка R(Q) исчисляется по формуле:

R(Q) = QP(Q),

где P(Q) — функция спроса. Тогда предельную выручку R'(Q) можно выразить через .

Равенство справедливо для любой функции спроса.Отсюда вытекает, что при реализации товаров неэластичногоспроса (|| ≤ 1), предельная выручка отрицательна и суммарная выручка падает; если же спрос на товар эластичный (||> 1), то предельная выручка положительна и, следовательно, суммарная выручка возрастает. Справедливо утверждение: для товаров эластичного спроса суммарная выручка — возрастающая функция.

Эластичность предложения по цене определяется равенствами:

где S = S(P) — функция предложения, Q — количество товара, предложенного для продажи по цене Р . Функция предложения S = S(P) возрастающая, эластичность неотрицательная, и анализируется величина _.

Задание:

Найдите для заданной функции спроса P(Q)= -aQ²+ bQ +c эластичность спроса по цене и соответствующую предельную выручку. Постройте графики эластичности Е_D и предельной выручки. Найдите значения Q и соответствующую цену, при которой | | =1. Сформулируйте выводы.

Решение:

Функция спроса:

Вычисляем эластичность спроса по цене, функцию суммарной выручки и предельную выручку:

;

= -0,1Q³+Q²+0,5Q

– уравнение наклонной асимметрии.

Рис.6. Графики эластичности спроса по цене и предельной выручки.

Рис.7. График суммарной выручки и предельной выручки.

Оба показателя имеют максимумы при разных значениях Q; максимум R достигается, когда R_р обращается в ноль.

Приравниваем функцию эластичности к единице.

=1;

+Q;

=0;

=-0,5;

=-5.

Не имеет решений, если внутри модуля положительный знак. Рассмотрим случай, когда под знаком модуля отрицательное выражение. Для этого меняем знак числителя на противоположный.

+Q;

=0;

D=2,93+0,6=3,53

Q₁=5,99

Q₂= -0,278<0

Q=5,99 –точка, в которой спрос на товар теряет эластичность.

Модель межотраслевого баланса.

(модель Леонтьева В.В.)

Любое национальное хозяйство развивается в сложной системе межотраслевых взаимосвязей, понять которые во всей их совокупности путем простого суммирования невозможно. Например, спрос на автомобили оказывает влияние не только на автомобильную промышленность, но и косвенным путем на металлургию и области, которые вырабатывают шины, бортовую электронику, а через них на производство микросхем. Изменения в одной области неизбежно сказывается во всем народном хозяйстве.

Для анализа межотраслевых связей выдающийся экономист Леонтьев В.В. разработал специальный метод балансового анализа – “анализ затраты-выпуск” (Input-output analysis или I/O analysis), который позволяет исследовать процессы, связанные с межотраслевыми взаимодействиями. Цель балансового анализа — определить, сколько продукции должна выработать каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности национального хозяйства системы в его продукции.

Пусть весь производственный сектор национальной экономике разделен на n “чистых отраслей ” (секторов). Словосочетание “чистая область” означает, что продукция каждой области является однородной.

Чистая область является экономической абстракцией, не обязательно существующей в виде каких-то организационных форм, то есть это модель. Например, под отраслью “электроэнергетика” можно понимать совокупность всех электростанций независимо от их принадлежности. Подобная идеализация разрешает провести тщательный анализ сформированной технологической структуры общественного производства и распределения.

Предположим, что каждая отрасль выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли вырабатывают разную продукцию. В процессе производства своего вида продукции каждая отрасль потребляет продукцию других отраслей.

Пусть в какой-либо момент времени Т₀ составлен балансовый отчет по национальной экономике по итоговым данным за фиксированный период времени, например, за прошедший год, по следующей форме.

Таблица 1

Отрасли покупатели (сектора Отрасли спро- родавцы са) ® (сектора предложений) ¯		Отрасли производства						Конечный спрос (потребление инвестиции, экспорт(+), импорт(-) )	Объем выпуска
		1	2	….	j	…..	n		Объем выпуска
Отрасли производства	1	a₁₁	a₁₂	….	a_1j	….	a_1n	y₁	q₁
	2	a₂₁	a₂₂	….	a_2j	….	a_2n	y₂	q₂
	....	....	....	....	....	....	....	....	....
	i	a_i1	a_i2	….	a_ij	….	a_in	y_i	q_i
	....	....	....	....	....	....	....	....	....
	n	a_n1	a_n2	….	a_nj	….	a_nn	y_n	q_n
Добавленная стоимость (прибыль занятых по найму, ® предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления, побочные налоги и прочее)		g₁	g₂	....	g_j	....	g_n	-	D
Объем затрат ®		q₁	q₂	....	q_j	....	q_n	D	V

Строки приведенной таблицы показывают распределение выпуска (output) каждого вида продукции. Величина a_ij показывает объем продукции отрасли i, которую закупили у нее отрасли j ( i, j = 1,2,…) в качестве промежуточных продуктов. Конечный спрос y_i показывает объем продукции i-й отрасли, который был потреблен на инвестиции, экспорт, для создания запасов. Число q_i равняется общему объему продукции (валовому выпуску) i-й отрасли за отчетный период.

Столбцы таблицы показывают структуру затрат (input), или структуру используемых ресурсов, необходимых для каждой отрасли. Для столбцов устанавливается следующий баланс:

затраты отрасли = промежуточные затраты + добавленная стоимость

что в математической записи выглядит как

(2)

Промежуточные затраты являются исходными материалами, закупленными i – й отраслью у отраслей (секторов) 1,2,...,n. Добавленная стоимость является факторными затратами отрасли, то есть вновь приобретенной стоимостью, которая распадается на заработную плату, предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления.

Для национальной экономики, исходя, из закона сохранения должны выполняться отношения:

Выпуск отрасли = затраты отрасли,

Общая сумма конечного спроса = общая сумма добавленной стоимости.

Математически это записывается следующим образом:

(3)

(4)

Уравнения (3) и (4) называются балансовыми уравнениями. Единицами измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (тонны, штуки) или стоимостными, в зависимости от чего различают натуральный и стоимостный баланс. В будущем будим иметь в виду стоимостный баланс.

Таблица 1 также называется таблицей межотраслевого баланса и она позволяет изучать структуру потоков ресурсов в национальной экономике. Но более информативными являются относительные величины. Если все элементы α_ij таблицы 1 разделить на величину q_j (объем продукции j – й отрасли), а числа y_iна q_i, то числа a_ij=α_ij /q_j , i,j = 1,2,…,n, можно понимать как объем продукции i - й отрасли, необходимой для производства одной единицы продукции отрасли с номером j; числа
y_i/ q_i, i = 1,2,…,n, как долю продукции i –й отрасли, которая пошла на непроизводственное потребление.

Числа a_ij,i = 1,2,…,n, носят название коэффициентов прямых, непосредственных затрат j – й отрасли и в некотором смысле полностью характеризуют технологию j – й отрасли в отчетном периоде: выпуск единицы продукции возможен при структуре затрат, характеризуемыми величинами a_ij. Исходя из экономического смысла, считаем коэффициенты a_ij положительными.