Экономико-математическое моделирование фирмы

Минобрнауки России

 

 

Самарский государственный аэрокосмический  университет

имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет) (СГАУ)

 

 

Факультет экономики и управления

 

Кафедра математических методов в  экономике

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА»

тема «Экономико-математическое моделирование фирмы»

 

Вариант № 19

 

 

Выполнила: Николаева М.В.

студентка группы Э23

Проверил:

Ассистент                 

Рецензент:

профессор Гераськин М.И.

 

 

Самара 2012

Оглавление

 

Глава 1. Анализ производственного  процесса корпорации.

    1. Описание деятельности и структуры корпорации.

Цель работы: освоение навыков экономико-математического моделирования коммерческой деятельности производственной фирмы на различных типах потребительских рынков.

Задачи работы:

– формирование экономико-математических моделей производственных процессов  фирм в виде производственных функций;

– разработка моделей издержек производственных фирм в виде функций издержек;

– анализ тенденций развития потребительских  рынков и определений функций  потребительского спроса;

– разработка оптимизационных моделей  коммерческой деятельности производственных фирм и определение оптимальной производственной программы на различных типах потребительских рынков;

– проверка условий равновесия производства и потребления.

Исходные данные

      В данной курсовой  работе рассматривается корпорация  «ЦЕНТР-МОРЕ», включающая в себя  две вертикально-интегрированные  фирмы «Starco» и «Русское море».

      Вертикальная интеграция фирм основана на том, что продукция фирмы А (ООО «Starco») предлагается не только на свободном рынке, но и приобретается фирмой В (ОАО ГК «Русское море»), которая использует ее в качестве одного из предлагаемых товаров. ОАО ГК «Русское море» использует рыбную продукцию, предлагаемую ООО «Starco» в качестве одного из типа продукции для своих клиентов.

      Ресурсами фирмы  А служат труд, выраженный в  численности персонала, и капитал,  выраженный в количестве оборудования для ловли и обработки рыбной продукции. Ресурсами фирмы В являются рыбная продукция и аналог – морепродукты. Известна информация о затратах ресурсов и объеме предложенных услуг фирм за 5 лет Ошибка! Источник ссылки не найден..

      Фирма А приобретает  ресурсы на открытом совершенно  конкурентном рынке, поэтому цены  ресурсов можно считать стабильными.  Ценой труда является ставка  заработной платы, ценой капитала  – стоимость оборудования для  ловли и обработки рыбы. Фирма В покупает первый ресурс у фирмы А по цене, равной издержкам на его производство, увеличенным на индекс рентабельности, а второй ресурс – на открытом совершенно конкурентном рынке.

      Фирмы А и В  продают свою продукцию группе  покупателей, имеющих функцию полезности. Спрос на продукт фирмы А состоит из двух частей: конечный спрос потребителей и производный спрос, предъявляемый фирмой В, и зависящий от конечного спроса на ее продукцию . Поскольку фирмы объединены в компанию, то в первую очередь фирма А должна удовлетворить внутренний спрос (фирмы В), а затем, при наличии рентабельной возможности, реализовать товар конечным потребителям. Рынок, на котором реализуется товар фирмы В, является совершенно конкурентным, а фирма А является монополистом на рынке своего товара.

      Фирмы А и В  являются рациональными агентами  рынка, то есть выбирают свои  стратегии (за исключением условия  удовлетворении внутреннего спроса  корпорации) исходя из максимизации  собственной прибыли.

Год

Фирма А

Фирма B

х1(K, ед.)

х2 (L, чел.)

Q,( т)

х1 (АИ, т)

х2 (АИМ, т)

Q, (т)

1

1900

1178

1328,1

1048,8

817

5365,6

2

3800

1216

1616,9

1261,6

874

6017,3

3

5700

1254

1831,6

1409,8

931

6543,6

4

7600

1292

2012,1

1529,5

988

7011

5

9500

1330

2173,6

1630,2

1045

7442,3


Таблица 1. Объемы производства и затрат ресурсов фирм.

 

1.2. Построение графиков кривых выпуска фирм А и В

      Построим графики кривых выпуска фирм А и В по данным о затратах ресурсов и объеме произведенных продуктов фирм за 5 лет (табл. 1).

Рисунок 1. Изменение объёма выпуска фирмы А от затрат 1 ресурса точечный график

 

      Исходя из графика кривой выпуска (Рисунок 1) можно сделать вывод о том, что необходимо использовать производственную функцию Кобба-Дугласа для фирмы «Starco», имеющую вид

 

 

Рисунок 2. Изменение объёма выпуска фирмы В от затрат 1 ресурса точечный график

      Исходя из графиков  кривой выпуска можно сделать  вывод о том, что для фирмы В мы будем использовать линейную производственную функцию, имеющую вид:

      Определим значения коэффициентов производственных функций методом наименьших квадратов. Для этого воспользуемся инструментом «Поиск решения»  (МНК) процессора Excel .

      Для фирмы А целевой ячейкой  является сумма квадратов разности между табличным и формульным значениями объема производства. Целевая ячейка должна быть равна своему возможному минимальному значению. Изменяем ячейки, в которых находятся значения коэффициентов для функции Кобба-Дугласа А,α, β. Ограничения заключаются в том что коэффициенты эластичности для функции Кобба-Дугласа меньше единицы.

Таблица 1. Расчет данных для нахождения коэффициентов производственной функции фирмы А

1328,1

1900

1178

1327,686

0,171002208

1616,9

3800

1216

1617,467

0,321032292

1831,6

5700

1254

1831,572

0,000796921

2012,1

7600

1292

2012,102

3,53971E-06

2173,6

9500

1330

2173,451

0,022205271

       

0,515040231


Результат выполнения поиска решения:

A

0,251676

0,723635

1,1899334


Таблица 3. Расчет коэффициентов для производственной функции фирмы А

      Для фирмы В  целевой ячейкой является сумма квадратов разности между табличным и формульным значениями объема производства. Целевая ячейка должна быть равна своему возможному минимальному значению.  Изменяем ячейки, в которых находятся значения коэффициентов для линейной  производственной функции а1 и a2.

5365,6

1048,8

817

5364,743

0,73441

6017,3

1261,6

874

6019,06

3,097718

6543,6

1409,8

931

6543,818

0,047372

7011

1529,5

988

7011,417

0,17365

7442,3

1630,2

1045

7440,91

1,9319

       

5,98505


Таблица 4. Расчет данных для нахождения коэффициентов производственной функции фирмы В

2,005563

3,99180927


Таблица 5. Расчет коэффициентов для производственной функции фирмы В

      На основе полученных  производственных функции и изменения  объема потребления ресурсов  в заданное число раз на 6-й  год, спрогнозируем объем производства продуктов фирм в 6-й год. Для этого сначала рассчитаем объём потребления каждого ресурса в 6 году( увеличив его в 1,5 раза по сравнению с 5 годом), а затем полученные значения подставим в производственную функцию для каждой из фирм соответственно.

      Получим следующие данные для фирмы А и фирмы В:

14250

1995

3227,704


Таблица 6. Прогноз на 6-й год для фирмы А

 

 

2445,3

1567,5

11161,37


Таблица 7. Прогноз на 6-й год для фирмы В

1.3. Получение выражений экономико-математических характеристик для производственных функций фирмы А и фирмы В.

      Для производственных  функций фирм А и В получим выражения экономико-математических характеристик: среднего и предельного продуктов, коэффициентов эластичности по ресурсам, предельной нормы замены ресурсов. Изобразим графически зависимости экономико-математических характеристик как функций соответствующего ресурса.

      Для фирмы А:

      Найдем для производственной  функции фирмы А выражения  средних продуктов. Средние продукты характеризуют удельный эффект использования ресурсов в производственном процессе фирмы.

      В нашем случае, средними продуктами  являются:

      1. Средняя фондоотдача– это отношение объема произведенного продукта к стоимости основных фондов:


 

 

      2.  Средняя производительность труда – это отношение произведенного продукта к количеству затраченного труда:


 

 

      Рассчитаем значение средних продуктов от первого ресурса, фиксируя при этом второй ресурс. Полученные данные представлены в таблице ниже.

 

      Кроме этого найдем  для производственной функции  фирмы А выражения предельных  продуктов. Предельные продукты характеризуют эффект в виде прироста объема продукции, получаемый от увеличения затрат ресурсов.

      В нашем случае это:

      1. Предельная фондоотдача - характеризует величину  дополнительного эффекта от  каждой  затраченной единицы капитала при данном сочетании ресурсов (K, L):


 

      2. Предельная производительность труда – аналогично , характеризует величину  дополнительного эффекта от  каждой  затраченной единицы труда при данном сочетании ресурсов (К,L):


 

Год

4

7600

1292

2012,1

0,26475

0,066631

0,059125

5

9500

1330

2173,6

0,2288

0,05758

0,048691


Таблица 8. Средние и предельные ресурсы для фирмы А

0

1

0

    

10

1

2,124217

0,212422

0,053461501

20

1

2,529071

0,126454

0,031825355

30

1

2,80078

0,093359

0,023496327

40

1

3,011086

0,075277

0,018945469

50

1

3,185027

0,063701

0,016031911

60

1

3,33458

0,055576

0,013987242

70

1

3,46649

0,049521

0,012463334

80

1

3,584967

0,044812

0,01127814

90

1

3,692828

0,041031

0,010326635

100

1

3,79206

0,037921

0,009543714


Таблица 9 Вспомогателные расчеты для построения графиков  средних и предельных ресурсов для фирмы А

 

      На основе полученных данных построим графики зависимости средних продуктов от затраченного первого ресурса.

 

Рисунок 3. Средняя и предельная фондоотдача для фирмы А

 

      Проанализировав  графики средних и предельных  продуктов, делаем вывод, что  предельные продукты убывают  предельно ниже средних. Также в фирме А предельный продукт меньше среднего продукта, т.е. с увеличением затрат ресурса значение предельного и среднего продуктов падает.

      Найдем для производственной  функции фирмы А выражения  предельных норм замены. Предельной  нормой замены одного ресурса другим называется величина,показывающая,  каков  объем  высвобождаемого  ресурса  при  увеличении затрат  ресурса-заменителя  на  единицу.  Вычисляется по формуле:

   

      Подставляя в данные формулы  выражения предельных продуктов, получим:

 

      Найдя выражения  предельных  норм замены, рассчитаем их значения от каждого ресурса-заменителя, фиксируя при этом  заменяемый ресурс. Полученные данные представлены выше в Таблице 8.

 

 

      Для фирмы В:

      Найдем для производственной функции фирмы В выражения средних продуктов.

      Средние продукты характеризуют удельный эффект использования ресурсов в производственном процессе фирмы и вычисляются по формулам:

   и   
, соответственно

      Найдя выражения средних продуктов, рассчитаем их значения от первого ресурса, фиксируя при этом второй ресурс.

      Также найдем для  производственной функции фирмы  В выражения предельных продуктов. 

      Предельные продукты характеризуют эффект в виде прироста объема продукции, получаемый от увеличения затрат ресурсов.

      Найдя выражения  предельных продуктов, запишем  их зависимость от каждого  ресурса. Полученные данные представлены  в таблице ниже.

год

4

1529,5

988

7011

4,583851

2,005563

0,50242

5

1630,2

1045

7442,3

4,565268

2,005563

0,50242


Таблица 10. Расчёт средних и предельных продуктов для фирмы В

 

0

1

3,991809

    

10

1

24,04744

2,404744

2,005563

20

1

44,10308

2,205154

2,005563

30

1

64,15871

2,138624

2,005563

40

1

84,21434

2,105359

2,005563

50

1

104,27

2,0854

2,005563

60

1

124,3256

2,072094

2,005563

70

1

144,3812

2,062589

2,005563

80

1

164,4369

2,055461

2,005563

90

1

184,4925

2,049917

2,005563

100

1

204,5481

2,045481

2,005563


 

Таблица 11 Вспомогателные расчеты для построения графиков  средних и предельных ресурсов для фирмы А

 

      На основе полученных  данных построим графики зависимости  средних и предельных продуктов  от затраченных ресурсов:

Рисунок 4. Средний и предельный продукты по х1 для фирмы В

 

      Таким образом,  на основе полученных данных  делаем вывод, что в фирме В предельный продукт меньше среднего продукта и постоянен, причем средний продукт приближается к предельному продукту.

     

      Найдем для производственной  функции фирмы В выражения предельных норм замены. Предельной нормой замены одного ресурса другим называется величина ,показывающая, каков объем  высвобождаемого  ресурса  при  увеличении затрат  ресурса-заменителя  на  единицу.  Вычисляется по формуле:

   

      Подставляя в данные формулы  выражения предельных продуктов, получим:

      Найдя выражения предельных норм замены, выразим их зависимость от затраченных ресурсов. Полученные данные представлены выше в таблице 9.

      Таким образом, на основе полученных данных делаем вывод, что предельная норма замены постоянная и не зависит от затраченных ресурсов и равна отношению коэффициентов заменяемого ресурса к заменителю. Это означает, что ресурсы полностью взаимозаменяемы.

Найдем коэффициенты эластичности по ресурсам для фирмы А.

      Коэффициенты эластичности производственных ресурсов выражают процентный прирост продукта от одно процентного прироста одного из ресурсов.

Эластичность продукта по фондам определяется по формуле:

Эластичность продукта по труду:

      Подставляя в данные формулы  выражения средних и предельных продуктов, , получим:

 и 

      Зависимость  коэффициентов эластичности от соответствующих затраченных ресурсов представлена в таблице ниже.

 

Год

1

0,251676

0,723635

2

0,251676

0,723635

3

0,251676

0,723635

4

0,251676

0,723635

5

0,251676

0,723635


Таблица 12  Расчёт коэффициентов эластичности для фирмы «Starco»

      На основе полученных  данных построим графики зависимости  коэффициентов эластичности от  затраченных ресурсов.

Рисунок 4 Коэффициенты эластичности для фирмы А

      На основе полученных данных можно сделать вывод, что коэффициенты эластичности для фирмы А равны соответствующим показателям α и β независимо от затраченных ресурсов, а значит являются стабильными показателями производственной функции.

      Найдем коэффициенты эластичности по ресурсам для фирмы В. Коэффициенты эластичности производственных ресурсов выражают процентный прирост продукта от одно процентного прироста одного из ресурсов и вычисляются по формулам:

и  

      Подставляя в данные формулы выражения средних и предельных продуктов, , получим:

 и 

      Найдя выражения  средних продуктов, рассчитаем  их значения от каждого ресурса,  фиксируя при этом второй ресурс на его значении в 1 году. Полученные данные представлены в таблице ниже.

год

x1

x2

ex1

ex2

1

1048,8

817

0,392085

0,607915

2

1261,6

874

0,420368

0,579632

3

1409,8

931

0,432079

0,567921

4

1529,5

988

0,437502

0,562498

5

1630,2

1045

0,439391

0,560609


Таблица 13. Расчет коэффициентов эластичности для фирмы В

      На основе полученных  данных построим графики зависимости  коэффициентов эластичности от  затраченных ресурсов:

Рисунок 5. Эластичность по х1 и х2 для фирмы В

 

 

Глава 2. Анализ и оптимизация издержек корпорации.

2.1 . Издержки фирм А и В за ретроспективный период.

      Фирма А

      Рассчитаем общие годовые издержки фирмы А. Функция издержек характеризует минимальную сумму затрат как функцию объема выпуска и цен ресурсов.

      Издержки рассчитываются по формуле:

      где р1 и р2 представляют собой  цены ресурсов х1 и х2 соответственно.

     

     

26

130


Таблица 14. Значение цен на ресурсы фирмы А

Год

Фирма А

  

х1(K, ед.)

х2 (L, чел.)

Q,( т)

1

1900

1178

1328,1

202540

2

3800

1216

1616,9

256880

3

5700

1254

1831,6

311220

4

7600

1292

2012,1

365560

5

9500

1330

2173,6

419900


Таблица 15. Расчет издержек для фирмы А

      На основе расчетных данных построим графики зависимости издержек от объема выпуска:

Рисунок 6. Зависимость издержек от объема выпуска для фирмы А

 

Фирма В

      Аналогично фирме А, найдем значения издержек для фирмы В:

      Цену первого ресурса фирмы В определим, умножив издержки на единицу продукта фирмы А на индекс рентабельности фирмы А при внутрикорпоративной продаже.

      Результат вычисления  представлен в таблицах ниже:

629,85

550


Таблица 16. Значение цен на ресурсы фирмы В

Фирма B

  

х1 (АИ, т)

х2 (АИМ, т)

Q, (т)

Себест-ть

1048,8

817

5365,6

1109937

1261,6

874

6017,3

1275319

1409,8

931

6543,6

1400013

1529,5

988

7011

1506756

1630,2

1045

7442,3

1601531


Таблица 17. Расчет затрат для фирмы В

      На основе расчетных  данных построим графики зависимости  издержек от объема производства:

Рисунок 7. Зависимость издержек от объема выпуска для фирмы В

2.2. Функции спроса на ресурсы  и функции издержек. 

      Фирма А

      Найдем функции спроса на ресурсы и функцию издержек фирмы А, если потребление ресурсов не ограничено (долгосрочный период). Для этого воспользуемся следующими формулами:

   и             

   Они представляют собой функции спроса на ресурсы и позволяют для известного значения объема выпуска Q определить  необходимые  количества ресурсов.

      Подставим значения  K(Q) и L(Q) в выражение функции издержек:

и получим зависимость суммы затрат от объема выпуска в следующем виде:

     Подставим исходные данные в формулы выше и найдем функции спроса на ресурсы и функцию издержек.