Экономико-математическое моделирование фирмы (на примере оптовой фирмы JFC)
Минобрнауки России
Самарский
государственный аэрокосмический университет
имени академика С.П. Королева (национальный
исследовательский
университет) (СГАУ)
Факультет
экономики и управления
Кафедра математических методов в экономике
КУРСОВАЯ
РАБОТА
ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА»
тема «Экономико-математическое
моделирование фирмы (на примере оптовой
фирмы JFC)»
Вариант № 19
Выполнил:
студентка гр. 737 Прохорова А. М.
Проверил:
ассистент Воскобулова В. А.
Рецензент:
профессор Гераськин М. И.
Самара 2012
Оглавление
Введение
Цель работы: освоение навыков экономико-математического моделирования коммерческой деятельности производственной фирмы на различных типах потребительских рынков.
Задачи работы:
– формирование экономико-математических моделей производственных процессов фирм в виде производственных функций;
– разработка моделей издержек производственных фирм в виде функций издержек;
– анализ тенденций развития потребительских рынков и определений функций потребительского спроса;
– разработка оптимизационных моделей коммерческой деятельности производственных фирм и определение оптимальной производственной программы на различных типах потребительских рынков;
– проверка условий равновесия производства и потребления.
1 Анализ
производственного процесса
1.1 Краткая характеристика корпорации
Рассматривается корпорация, включающая в себя две вертикально-интегрированные фирмы – оптовая фруктовая фирма «Группа JFC» (фирма А) и сеть гипермаркетов «Карусель» (фирма В). Вертикальная интеграция основана на том, что продукция фирмы JFC продается не только на свободном рынке, но и приобретается фирмой «Карусель», которая использует ее в качестве ресурса торговли. Технология фирмы «Карусель» основана на соединении (или смешивании) ресурсов-аналогов, являющихся взаимозаменяемыми. Фирма JFC приобретает ресурсы на открытом совершенно конкурентном рынке, поэтому цены ресурсов можно считать стабильными. Ценой труда является ставка заработной платы, ценой капитала – плата за аренду теплиц и оборудования. Фирма «Карусель» покупает первый ресурс у фирмы JFC по цене, равной издержкам на его производство, увеличенным на индекс рентабельности, а второй ресурс – на открытом совершенно конкурентном рынке.
Фирма «Группа JFC»:
Группа JFC — один из крупных вертикально-интегрированных холдингов в сфере производства и реализации фруктов, насчитывающий 14-летнюю историю.
Сегодня Группа JFC объединяет компании по производству, закупке, обработке, хранению, транспортировке и реализации фруктов. Многолетний опыт работы на рынке и команда профессионалов позволяют компании удовлетворять потребности клиентов, оптимизируя затраты и своевременно реагируя на изменение тенденций на мировых и российских рынках. Благодаря высокому качеству своей продукции Группа JFC является лидером в своей отрасли, не уступая по ряду показателей крупнейшим транснациональным компаниям (Fyffes, Chuiquita, Del Monte), а по некоторым значительно опережая их.
ООО «Карусель»:
ООО «Карусель» — одна из крупнейших сетей гипермаркетов в России.
ООО «Карусель» — это магазин, где под одной крышей и по низким ценам Вы найдете все, что нужно для дома и семьи. Концепция была разработана по образу и подобию европейских торговых центров, но с учетом потребностей и ожиданий российских покупателей.
1.2 Графики кривых выпуска, прогноз на шестой год
Построим графики кривых выпуска фирм продукции фирмы «Группа JFC» и ООО «Карусель» по данным о затратах ресурсов и объеме выпуска продукции фирм за 5 лет. Данные о ресурсах и объемах производства обеих фирм приведены в таблице 1.
Таблица 1. Объемы производства и затрат ресурсов фирм
Год |
«Группа JFC» |
ООО «Карусель» | ||||
х1(K, ед.) |
х2 (L, чел.) |
Q,( т) |
х1 |
х2 |
Q, (т) | |
1 |
1900 |
1178 |
1328,1 |
1048,8 |
817 |
5365,6 |
2 |
3800 |
1216 |
1616,9 |
1261,6 |
874 |
6017,3 |
3 |
5700 |
1254 |
1831,6 |
1409,8 |
931 |
6543,6 |
4 |
7600 |
1292 |
2012,1 |
1529,5 |
988 |
7011 |
5 |
9500 |
1330 |
2173,6 |
1630,2 |
1045 |
7442,3 |
Кривые выпуска фирмы «Группа JFC» и ООО «Карусель» представлены ниже.
Рисунок 1. Кривая выпуска «Группа JFC» по х1
Рисунок 2. Кривая выпуска «Группа JFC» по х2
Рисунок 3. Кривая выпуска ООО «Карусель» по х1
Рисунок 4. Кривая выпуска ООО «Карусель» по х2
Вывод: для фирмы «Группа JFC», производственная функция будет иметь нелинейный степенной вид, а для OOO «Карусель»: это будет линейная функция. Нелинейная степенная функция находится как производственная функция Кобба-Дугласа: Q=Ax1αx2β, а линейная функция: Q=a1x1+a2x2.
Сначала найдем значения коэффицентов производственной функции А, α и β. Для этого сначала найдем показатели Q(x) и (Q-Q(x))2 .
Значения столбца Q(x) находим, подставляя в формулу производственной функции Кобба-Дугласа значения из таблицы 1. Коэффициенты А, α, β приравниваем к единице. Затем найдем показатель (Q-Q(x))2 и его сумму за 5 лет.
После используем встроенную функцию «Поиск решения» процессора Excel. Получаем результат:
A = |
1,22 |
α = |
0,25 |
β = |
0,72 |
r = 0.25 + 0.72 = 0.97
r < 1 – это говорит о том, что существует убывающая отдача от расширения масштаба производства, при которой темп роста выпуска меньше, чем темп роста ресурса. Это означает, что объем продукции фирмы при увеличении обоих ресурсов на 1% возрастет только на 0,97%, т.к. темп роста издердек превышает темп роста объема производимой продукции.
Полученные результаты приведены в таблице 2.
Таблица 2. Расчетные данные
Год |
«Группа JFC» |
ООО «Карусель» | ||||||||
х1(K, ед.) |
х2 (L, чел.) |
Q,(т) |
Q=Q(x) |
(Q-Q(x))2 |
х1 |
х2 |
Q, (т) |
Q=Q(x) |
(Q-Q(x))2 | |
1 |
1900 |
1178 |
1328,1 |
1327,562 |
0,28972552 |
1048,8 |
817 |
5365,6 |
5364,743 |
0,73438375 |
2 |
3800 |
1216 |
1616,9 |
1617,502 |
0,362979 |
1261,6 |
874 |
6017,3 |
6019,06 |
3,09773071 |
3 |
5700 |
1254 |
1831,6 |
1831,644 |
0,00189387 |
1409,8 |
931 |
6543,6 |
6543,818 |
0,0473712 |
4 |
7600 |
1292 |
2012,1 |
2012,138 |
0,00141116 |
1529,5 |
988 |
7011 |
7011,417 |
0,17364581 |
5 |
9500 |
1330 |
2173,6 |
2173,4 |
0,0398167 |
1630,2 |
1045 |
7442,3 |
7440,91 |
1,93191843 |
Так же найдем коэффиценты а1 и а2 для линейной функции. Получаем значения:
a1 = |
2 |
a2 = |
3,99 |
Затем прогнозируем выпуска продукции на 6 год. Для этого необходимо значения за 5 год из таблицы 1 умножить на 1,5 для фирмы «Группа JFC» и на 1,4 для ООО «Карусель». Данные значения представляют собой то, что корпорация планирует увеличить объем потребления ресурсов в заданное число раз.
Результаты расчетов представлены в таблице 3.
Таблица 3. Прогоноз выпуска продукции на 6 год
Год |
«Группа JFC» |
ООО «Карусель» | |||||||||
х1(K, ед.) |
х2 (L, чел.) |
Q,(т) |
Q=Q(x) |
(Q-Q(x))2 |
х1 |
х2 |
Q, (т) |
Q=Q(x) |
(Q-Q(x))2 | ||
1 |
1900 |
1178 |
1328,1 |
1327,562 |
0,28972552 |
276 |
215 |
1412 |
1411,77 |
0,05 | |
2 |
3800 |
1216 |
1616,9 |
1617,502 |
0,362979 |
332 |
230 |
1583,5 |
1583,96 |
0,21 | |
3 |
5700 |
1254 |
1831,6 |
1831,644 |
0,00189387 |
371 |
245 |
1722 |
1722,06 |
0,00 | |
4 |
7600 |
1292 |
2012,1 |
2012,138 |
0,00141116 |
402,5 |
260 |
1845 |
1845,11 |
0,01 | |
5 |
9500 |
1330 |
2173,6 |
2173,4 |
0,0398167 |
429 |
275 |
1958,5 |
1958,13 |
0,13 | |
6 |
14250 |
1995 |
3222,637 |
471,9 |
302,5 |
335,23 |
|||||
1.3 Экономико-математические характеристики
Теперь найдем значения экономико-математических характеристик: средние и предельные продукты, коэффиценты эластичности по ресурсам и предельную норму замены ресурсов.
Средние продукты (AQi) характеризуют количество продукции в расчете на единицу использованного ресурса.
Предельный продукты (MQi) характеризуют прирост общего продукта, обусловленного дополннительной единицейй одного ресурса.
Коэффициент эластичности производства по ресурсам (Ei) выражает процентный прирост продукта от одного процента прироста какого-либо ресурса.
Предельная норма замены (Sx2x1) показывает сколько единиц ресурса высвобождается в результате единичного прироста другого ресурса при постоянном объеме выпуска продукта.
Ниже представлен расчет экономико-математических характеристик для производственной функции Кобба-Дугласа:
Полученные результаты представлены ниже в таблице 5.
Таблица 5. Экономико-математические характеристики фирмы «Группа JFC»
Год |
«Группа JFC» | |||||||||||
х1(K, ед.) |
х2 (L, чел.) |
Q,( т) |
Q=Q(x) |
(Q-Q(x))2 |
AQL |
AQK |
MQL |
MQK |
EK |
EL |
S | |
1 |
1900 |
1178 |
1328,1 |
1327,562 |
0,28972552 |
1,6907 |
0,7625 |
1,2164 |
0,1922 |
0,25 |
0,72 |
0,245 |
2 |
3800 |
1216 |
1616,9 |
1617,502 |
0,362979 |
1,6757 |
0,4540 |
1,2056 |
0,1144 |
0,25 |
0,72 |
0,123 |
3 |
5700 |
1254 |
1831,6 |
1831,644 |
0,00189387 |
1,6613 |
0,3352 |
1,1953 |
0,0845 |
0,25 |
0,72 |
0,082 |
4 |
7600 |
1292 |
2012,1 |
2012,138 |
0,00141116 |
1,6475 |
0,2703 |
1,1853 |
0,0681 |
0,25 |
0,72 |
0,061 |
5 |
9500 |
1330 |
2173,6 |
2173,4 |
0,0398167 |
1,6341 |
0,2288 |
1,1757 |
0,0577 |
0,25 |
0,72 |
0,049 |
Для функции Кобба-Дугласа коэффициенты эластичности постоянны и не зависят от объема факторов x1 и x2.
По полученным данным построим графики средних и предельных продуктов, эластичности, а также прдельной нормы замены:
Рисунок 5. Средняя и предельная фондоотдача фирмы «Группа JFC»
Рисунок 6. Средняя и предельняя производительность труда фирмы «Группа JFC»
Рисунок 7. Предельная норма замены трудовых ресурсов капиталом фирмы «Группа JFC»
Вывод: ресурсы взаимодополняемые.
Рисунок 8. Эластичность продукта по фондам фирмы «Группа JFC»
Рисунок 9. Эластичность продукта по труду фирмы «Группа JFC»
Вывод: эластичность в функции Кобба-Дугласа
не зависит от количества потребляемых
ресурсов, а зависит от коэффициентов
функции Кобба - Дугласа, которые являются
константами.
Теперь рассчитаем значения экономико-математических характеристик для линейной функции:
Таблица 6. Экономико-математические характеристики ООО «Карусель»
Год |
ООО «Карусель» | |||||||||||
х1 |
х2 |
Q, (т) |
Q=Q(x) |
(Q-Q(x))2 |
AQx2 |
AQх1 |
MQх2 |
MQх1 |
Ex1 |
Ex2 |
S | |
1 |
1048,8 |
817 |
5365,6 |
5364,743 |
0,734 |
7,994 |
5,983 |
3,99 |
2 |
0,334 |
0,499 |
0,501 |
2 |
1261,6 |
874 |
6017,3 |
6019,06 |
3,098 |
7,733 |
5,312 |
3,99 |
2 |
0,377 |
0,516 |
0,501 |
3 |
1409,8 |
931 |
6543,6 |
6543,818 |
0,047 |
7,504 |
4,964 |
3,99 |
2 |
0,403 |
0,532 |
0,501 |
4 |
1529,5 |
988 |
7011 |
7011,417 |
0,174 |
7,301 |
4,733 |
3,99 |
2 |
0,423 |
0,547 |
0,501 |
5 |
1630,2 |
1045 |
7442,3 |
7440,91 |
1,932 |
7,120 |
4,564 |
3,99 |
2 |
0,438 |
0,560 |
0,501 |
Показатели предельных продуктов и предельной нормы замены постоянны.
По полученным данным построим графики всех найденных экономико-математических характеристик.
Рисунок 10. Средние и предельные продукты ООО «Карусель»
по фруктам из Южной Америки
Вывод: предельный продукт меньше среднего продукта и постоянен, причем средний продукт приближается к предельному продукту.
Рисунок 11. Средние и предельные продукты ООО «Карусель»
по второму ресурсу
Вывод: предельный продукт меньше среднего продукта и постоянен, причем средний продукт приближается к предельному продукту.
Рисунок 12. Предельная норма замены фруктов из Южной Америки фруктами с Ближнего Востока ООО «Карусель»
Вывод: ресурсы полностью взаимозаменяемы.
Рисунок 13. Эластичность покупки фруктов из Южной Америки ООО «Карусель»
Рисунок 14. Эластичность покупки фруктов с Ближнего Востока ООО «Карусель»
2. Анализ
и оптимизация издержек
2.1 Издержки фирм, эффект расширения масштаба
Рассчитаем издержки фирм за ретроспективный период, используя данные о затратах ресурсов и ценах ресурсов. Цену первого ресурса ООО «Карусель» определим, умножив издержки на единицу продукта фирмы «Группа JFC» на индекс рентабельности фирмы «Группа JFC» при внутрикорпоративной продаже.
Согласно данному варианту, для фирмы «Группа JFC» р1=26, р2=130, Индекс рентабельности фирмы «Группа JFC»=1,5.
Результаты расчета цены второго ресурса для ООО «Карусель» приведены в таблице 7.
Таблица 7. Цены на первый ресурс ООО «Карусель»
Год |
p1 |
1 |
228,755 |
2 |
238,308 |
3 |
254,876 |
4 |
272,521 |
5 |
289,773 |
Далее расчитаем издержки в зависимости от объмов выпуска. Результат приведен в таблице 8.
Таблица 8. Издержки фирм в зависимости от объмов выпуска
Издержки в зависимости от объема производства | ||
Год |
«Группа JFC» |
ООО «Карусель» |
1 |
202540 |
689268,6 |
2 |
256880 |
781349,2 |
3 |
311220 |
871373,5 |
4 |
365560 |
960221,2 |
5 |
419900 |
1047138 |
Графики фактических кривых издержек фирм в зависимости от объемов выпуска приведены ниже.
Рисунок 15. Кривая издержек в зависимости от объемов выпуска фирмы «Группа JFC»
Вывод: функция издержек резко возрастает, т.е. имеет место отрицательный эффект расширения масштаба, т.е. темп роста издержек опережает темп роста выпуска, r=0.97
Рисунок 16. Кривая издержек в зависимости от объемов выпуска ООО «Карусель»
Вывод: функция издержек фирмы резко возрастает, откуда следует, что эффект расширения масштаба отрицательный, т.е. относительно более быстрый темп роста издержек по сравнению с ростом объема производства. Это вызвано постоянно возрастающей ценой перового ресурса.
2.2 Функции спроса на ресурсы и функций издержек
Функция издержек определяется в результате решения задачи минимизации издержек на производство фиксированного выпуска продукции.
Функции спроса на ресурсы позволяют для известного значения объема выпуска Q определить необходимые количества ресурсов, при которых достигается минимум издержек.
Сначала определим функции спроса на ресурсы и функцию издержек для фирмы «Группа JFC».
Технология фирмы описывается производственной функцией Кобба-Дугласа.
Таблица 9. Долгосрочные издержки и спрос на ресурсы фирмы «Группа JFC» в зависимости от объёмов выпуска
«Группа JFC» | |||
Год |
CL(Q) |
x1(Q) |
x2(Q) |
1 |
5112,077641 |
67,26417948 |
37,66794051 |
2 |
6288,50368 |
82,74346947 |
46,3363429 |
3 |
7170,421081 |
94,3476458 |
52,83468165 |
4 |
7916,11238 |
104,1593734 |
58,32924911 |
5 |
8586,313783 |
112,9778129 |
63,26757525 |
Рисунок 17. Кривая долгосрочных издержек в зависимости от объемов выпуска фирмы «Группа JFC»
Таблица 10. Отклонение фактических издержек от оптимальных функций издержек «Группа JFC»
«Группа JFC»» | |
Год |
С*-С |
1 |
-3087,922359 |
2 |
-4111,49632 |
3 |
-5429,578919 |
4 |
-6883,88762 |
5 |
-8413,686217 |
Фактические издержки фирмы оказывались больше оптимальных на протяжении всех пяти рассматриваемых лет работы. При этом они и росли интенсивнее. Это говорит о неэффективности работы фирмы. Такое повышение издержек могло возникнуть за счет уклонения фирмы от предпринимательского риска, обеспечения работой некомпетентных людей, неудовлетворительного стимулирования рабочих фирмы.
Рисунок 18. Графики спроса на ресурсы в зависимости от объемов выпуска фирмы «Группа JFC»
Для ООО «Карусель» определим теоретическую функцию издержек (оптимальную), т.е. при которой достигается минимум затрат.
Определим теоретическую функцию издержек.
Получим ее из равенства изокосты и изокванты при минимальных издержках, т.е. когда кривые пересекаются на оси абсцисс. Из этого следует, что х2=0, т.е.
Технология фирмы описывается линейной производственной функцией.
Таблица 9. Долгосрочные издержки и спрос на ресурсы ООО «Карусель» в зависимости от объмов выпуска
ООО «Карусель» | ||
Год |
CL(Q) |
x1(Q) |
1 |
612002,526 |
2675,358 |
2 |
714996,126 |
3000,304 |
3 |
831588,548 |
3262,724 |
4 |
952673,242 |
3495,776 |
5 |
1075296,704 |
3710,828 |
Рисунок 19. Кривая долгосрочных издержек в зависимости от объемов выпуска ООО «Карусель»
Вывод: кривая издержек возрастает, что означает, что производство большего количества товара требует больших затрат ресурсов. Из-за отрицательного эффекта расширения масштаба, издержки возрастают быстрее количества производства.
Таблица 10. Отклонение фактических издержек от оптимальных функций издержек ООО «Карусель»
ООО "Карусель" | |
Год |
С*-С |
1 |
-77266,100 |
2 |
-66353,087 |
3 |
-39784,958 |
4 |
-7548,004 |
5 |
28159,204 |
Фактические издержки фирмы оказывались больше оптимальных на протяжении первых четырех рассматриваемых лет работы. Это говорит о неэффективности работы фирмы. Однако в пятый год ситуация улучшается.
Рисунок 20. График спроса на первый ресурс в зависимости от объемов выпуска ООО «Карусель»
2.3. Линии долгосрочного развития фирм
Функция издержек определяется в результате решения задачи минимизации издержек на производство фиксированного выпуска продукции.
Геометрической интерпретацией этой задачи является траектория долговременного развития. Точки, находящиеся на линии долгосрочного развития, характеризуют минимальные издержки производства, соответствующие фиксированным объемам выпускаемой продукции. Изокванты на этом графике характеризуют технологические ограничения, т.е. каждая i-я изокванта отображает все комбинации ресурсов х1 и х2, с помощью которых можно обеспечить выпуск Qi. Изокосты характеризуют экономические ограничения, т.е. каждая i-я изокоста отображает все комбинации ресурсов х1 и х2, имеющие при неизменных ценах ресурсов один и тот же уровень издержек Ci. Поскольку задача минимизации издержек сводится к нахождению точки, в которой изокванта касается самой низкой изокосты, то это будет означать, что комбинация ресурсов, соответствующая точке касания, обеспечит потребный выпуск при минимальных издержках.
Наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты. Таким образом, долгосрочная траектория развития организации образована точками сочетаний ресурсов, отношение предельных продуктов которых при данном виде производственной функции равно отношению цен этих ресурсов.
Выразим в явном виде х2 из функции издержек и функции Кобба-Дугласа, чтобы построить кривые:
Рисунок 21. Траектория долговременного развития фирмы «Группа JFC»
Также произведем минимизацию издержек на производство фиксированного выпуска для OOO «Карусель».
Выразим в явном виде х2 из функции издержек и линейной производственной функции, чтобы построить кривые:
Рисунок 22. Траектория долговременного развития ООО «Карусель»
Вывод: прямые пересекаются на оси х1, т.к. там достигается условие минимальности издержек. Видим, что ЛДР совпадает с осью х1, т.е. ресурс х2 полностью заменяется.
2.4. Функции предельных и средних издержек
Средние издержки – затраты, приходящиеся на единицу продукции.
Предельные издержки характеризуют изменение затрат, обусловленное изменением выпуска продукции на единицу.