Экономико-математическое моделирование международной торговли

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

Введение

 

Моделирование – один из способов исследования экономических систем и процессов. Модель – образ реальной системы (объекта, процесса) в материальной или теоретической форме. Моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения реального объекта (системы) не непосредственно, а опосредованно, через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта (модели).

Пути повышения эффективности  управления экономикой на разных уровнях – важнейшая проблема, стоящая перед специалистами в этой области.

Поэтому в настоящее  время серьезное внимание уделяется  разработкам математических моделей  различных экономических процессов  и объектов, их анализу, прогнозированию  и выработке управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.

Используемая в настоящее  время стандартная модель международной  торговли объединяет различные теории на основе использования концепций  предельных величин и общего равновесия экономической системы.

Цель работы – изучить основы экономико-математического моделирования и методологию построения модели международной торговли.

Задачи исследования:

• определить понятие и рассмотреть современные теории международной торговли;
• изучить необходимые сведения из матричной алгебры;
• рассмотреть линейную модель международной торговли;
• описать процесс моделирования с использованием технологии Excel.

Предмет исследования - экономико-математическое моделирование

Объект исследования - модель международной торговли.

 

Глава 1. Основы экономико-математического моделирования. Модель международной торговли

 

1.1. Понятие и современные теории  международной торговли

 

Международная торговля — система международных товарно-денежных отношений, складывающаяся из внешней  торговли всех стран мира.

Международная торговля возникла в процессе зарождения мирового рынка в XVI—XVIII веках. Её развитие —  один из важных факторов развития мировой  экономики Нового времени.

Термин международная  торговля впервые использовал в XII веке итальянский ученый-экономист Антонио Маргаретти, автор экономического трактата «Власть народных масс на Севере Италии».

Меркантилизм. Меркантилизм — система взглядов экономистов XV—XVII веков, ориентированная на активное вмешательство государства в хозяйственную деятельность.

Представители направления: Томас Мэн, Антуан де Монкретьен, Уильям Стаффорд. Термин был предложен Адамом Смитом, критиковавшим труды меркантилистов.

Основные положения:

• необходимость поддержания активного торгового баланса государства (превышения экспорта над импортом);
• признание пользы привлечения в страну золота и других драгоценных металлов с целью повышения её благосостояния;
• деньги — стимул торговли, поскольку считается, что увеличение массы денег увеличивает объём товарной массы;
• приветствуется протекционизм, направленный на импортирование сырья и полуфабрикатов и экспортирование готовой продукции;
• ограничение на экспорт предметов роскоши, так как он ведет к утечке золота из государства.

Теория абсолютных преимуществ Адама Смита. Реальное богатство страны состоит из товаров и услуг, доступных её гражданам. Если какая-либо страна может производить тот или иной товар больше и дешевле, чем другие страны, то она обладает абсолютным преимуществом.

Одни страны могут  производить товары более эффективно, чем другие. Ресурсы страны перетекают в рентабельные отрасли, так как страна не может конкурировать в нерентабельных отраслях. Это приводит к повышению производительности страны, а также квалификации рабочей силы; длительные периоды производства однородной продукции обеспечивают стимулирование выработки более эффективных методов работы. Естественные преимущества:

• климат;
• территория;
• ресурсы.

Приобретённые преимущества:

• технология производства, то есть способность изготовить разнообразную продукцию.

Теория сравнительных  преимуществ Давида Рикардо. Специализация на производстве товара, имеющего максимальные сравнительные преимущества, выгодна и в случае отсутствия абсолютных преимуществ.

Страна должна специализироваться на экспорте товаров, в производстве которых она имеет наибольшее абсолютное преимущество (если она имеет абсолютное преимущество по обоим товарам) или наименьшее абсолютное непреимущество (если она не имеет абсолютного преимущества ни по одному из товаров).

Специализация на определённых видах товаров выгодна для каждой из этих стран и приводит к росту общего объема производства, происходит мотивация торговли даже в том случае, если одна страна обладает абсолютным преимуществом в производстве всех товаров перед другой страной.

Примером в данном случае может служить обмен английского сукна на португальское вино, что приносит выгоды обеим странам, даже если абсолютные издержки производства и сукна, и вина в Португалии ниже, чем в Англии.

Теория Хекшера-Олина. Согласно данной теории страна экспортирует товар, для производства которого используется интенсивно относительно избыточный фактор производства, и импортирует товары, для производства которых она испытывает относительный недостаток факторов производства. Необходимые условия существования:

• у стран-участниц международного обмена складывается тенденция к вывозу тех товаров и услуг, для изготовления которых используются преимущественно факторы производства, имеющиеся в избытке, и, наоборот, тенденция к ввозу той продукции, по которой имеется дефицит каких-либо факторов;
• развитие международной торговли приводит к выравниванию «факторных» цен, то есть дохода, получаемого владельцем данного фактора;
• существует возможность при достаточной международной мобильности факторов производства замены экспорта товаров перемещением самих факторов между странами.

Парадокс Леонтьева. Суть парадокса состояла в том, что доля капиталоёмких товаров в экспорте могла расти, а трудоёмких сокращаться. В действительности же при анализе торгового баланса США, доля трудоёмких товаров не сокращалась.

Разрешение парадокса  Леонтьева заключалась в том, что трудоёмкость товаров импортируемых  США довольно велика, но цена труда  в стоимости товара значительно  ниже, чем в экспортных поставках  США.

Капиталоёмкость труда  в США значительная, вместе с высокой производительностью труда это приводит к существенному влиянию цены труда в экспортных поставках.

Доля трудоёмких поставок в экспорте США растёт, подтверждая  парадокс Леонтьева. Связанно это с  ростом доли услуг, цены труда и структуры экономики США. Это приводит к росту трудоёмкости всей американской экономики, не исключая и экспорта.

Жизненный цикл товара. Некоторые виды продукции проходят цикл, состоящий из пяти этапов:

• разработка товара. Компания находит и воплощает в жизнь новую идею товара. В это время объем продаж равен нулю, затраты растут;
• выведение товара на рынок. Прибыль отсутствует из-за высоких расходов на маркетинговые мероприятия, медленно растет объем продаж;
• быстрое завоевание рынка, увеличение прибыли;
• зрелость. Рост объема продаж замедляется, так как основная масса потребителей уже привлечена. Уровень прибыли остается неизменным или снижается из-за увеличения расходов на маркетинговые мероприятия по защите товара от конкуренции;
• упадок. Спад объема продаж и сокращение прибыли.

Теория Майкла Портера. Данная теория вводит понятие конкурентоспособности страны. Именно национальная конкурентоспособность, с точки зрения Портера, определяет успех или неуспех в конкретных отраслях производства и то место, которое страна занимает в системе мирового хозяйства.

Национальная конкурентоспособность  определяется способностью промышленности. В основе объяснения конкурентного  преимущества страны лежит роль страны базирования в стимулировании обновления и совершенствования (то есть в стимулировании производства инноваций).

Государственные меры для  поддержания конкурентоспособности:

• воздействие правительства на факторные условия;
• воздействие правительства на условия спроса;
• воздействие правительства на родственные и поддерживающие отрасли;
• воздействие правительства на стратегию, структуру и соперничество фирм.

Теорема Рыбчинского. Теорема заключается в утверждении, что, если величина одного из двух факторов производства растет, то для поддержания постоянства цен на товары и факторы необходимо увеличить производство той продукции, в которой интенсивно используется этот возросший фактор, и снизить производство остальной продукции, интенсивно использующей фиксированный фактор.

Для того чтобы цены на товары оставались постоянными, неизменными должны быть цены на факторы производства. Цены на факторы производства могут оставаться постоянными только в том случае, когда отношение факторов, используемых в двух отраслях, остается постоянным.

В случае роста одного фактора такое может иметь место только при увеличении производства в той отрасли, в которой интенсивно применяется этот фактор, и сокращении производства в другой отрасли, что приведет к высвобождению фиксированного фактора, который станет доступен для использования вместе с растущим фактором в расширяющейся отрасли.

Теория Самуэльсона  и Столпера. В середине XX в. (1948 г.) американские экономисты П. Самуэлъсон и В. Столпер усовершенствовали теорию Хекшера — Олина, представив, что в случае однородности факторов производства, идентичности техники, совершенной конкуренции и полной мобильности товаров международный обмен выравнивает цену факторов производства между странами.

Авторы основывают свою концепцию на модели Рикардо с  дополнениями Хекшера и Олина  и рассматривают торговлю не просто как взаимовыгодный обмен, но и как средство, позволяющее сократить разрыв в уровне развития между странами.

 

 

1.2. Необходимые сведения  из матричной алгебры

 

Методы матричной алгебры  широко используются не только в нормативных  экономико-математических моделях, но и в статистических расчетах с обработкой больших массивов информации. Матричное исчисление применяется при анализе отчетного межотраслевого баланса, матрицы широко используются при анализе взаимозависимых регрессионных уравнений регрессии, в факторном и дисперсионном анализах.

Матричную алгебру ценят за краткость, простоту и наглядность. Универсальный  характер матричных выражений позволяет  приложить одни и те же методы анализа  и к малому, и к большому массивам исходных данных. Количество исходных данных влияет только на объем вычислений, а это в свою очередь определяет продолжительность и стоимость работ. Роль этих факторов стремительно уменьшается в связи с использованием быстродействующих электронных вычислительных машин.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Размером матрицы называется пара чисел m х n, где m – число строк, а n – число столбцов таблицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Матрица размером n х n называется квадратной. Над матрицами можно производить ряд операций. Матрицу можно умножить на число. Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать. Матрицу A размером m х n и матрицу B размером n х k можно перемножать, в результате получается матрица C размером m х k. Ниже определены некоторые операции над матрицами.

Сложение

A + B = C, где A = {a_ij}, B = {b_ij}, C = {c_ij = a_ij + b_ij}.

Вычитание

А – B = C, где A = {a_ij}, B = {b_ij}, C = {c_ij = a_ij – b_ij}.

Умножение

AB = C, где A = {a_ij}, B = {b_ij}, C = {∑a_ikb_kj= c_ij}, i = 1, 2, … c.

С перечисленными выше операциями связаны некоторые законы матричной  алгебры. Так, сложение матриц ассоциативно, если матрицы согласованы для  сложения. Операция умножения матриц также ассоциативна, если только матрицы  согласованы для умножения. Сложение матриц коммутативно в том случае, если матрицы согласованы для сложения.

Операции с матрицами  удовлетворяют требованиям дистрибутивного  закона A(B + C) = AB + AC в том случае, если матрицы B и C согласованы для сложения, а матрицы A и B согласованы для умножения. В общем случае умножение матриц не коммутативно. В трех случаях умножение матриц коммутативно – при умножении матрицы на нулевую матрицу, при умножении матрицы на диагональную матрицу, при умножении матрицы на скалярную величину.

Произведение матрицы на вектор

Произведение матрицы A на вектор является вектором y, т.е. y = Ax. Если y = Ax и x = Bw, то y = Abw, что справедливо для любых векторов x, y, w и любых матриц A, B.

Транспонирование матриц

Транспонированная матрица  есть матрица АТ, столбцы которой являются строками исходной матрицы при сохранении их порядка. Транспонирование является рефлексивным. Транспонирование вектор-столбца дает вектор-строку и наоборот. Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, т.е. (AB)^T = B^TA^T. Матрица называется симметрической, если транспонированная

матрица равна самой  матрице.

Обратная матрица

Матрица, которая в  результате умножения на матрицу A равна

единичной матрице, называется обратной к A и обозначается символом A^–1.

Для получения обратной матрицы необходимо:

1) найти определитель  исходной матрицы det A;

2) найти матрицу М из алгебраических дополнений к каждому элементу матрицы А^Т;

3) найти отношение  А^–1 = М / det A.

Собственные значения и  собственные векторы матрицы Ненулевой вектор x = (x₁, x₂, ..., x_n)^T называется собственным вектором квадратной матрицы A порядка n х n, если Ax = λx, где λ – некоторое число, называемое собственным значением матрицы. При этом говорят, что x есть собственный вектор матрицы A , принадлежащий ее собственному значению λ.

Пусть I – единичная матрица порядка n х n. Уравнение , называется характеристическим уравнением матрицы A. Собственные значения матрицы A являются корнями ее характеристического уравнения.

Если в матрице A сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1.

В соответствии с теоремой Фробениуса–Перрона максимальное по модулю собственное значение λ_A неотрицательной квадратной матрицы A ≥ 0 неотрицательно, а среди собственных векторов, принадлежащих λ_A, имеется неотрицательный вектор.

В случае A > 0 все неотрицательные собственные векторы матрицы A положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению λA. Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора y и x отличаются лишь числовым множителем, т.е. y = αx. Максимальное по модулю собственное значение λ_A неотрицательной матрицы A называется числом Фробениуса матрицы A, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор – вектором Фробениуса для матрицы A.

 

1.3. Линейная модель международной торговли

 

Исходные предположения  модели

Изучаемая модель основана на следующих предположениях:

1. Рассматривается n стран S₁,S₂,...,S_n , национальный доход которых, выраженный в одной и той же валюте, равен x₁, x₂,..., x_n денежных единиц, соответственно.

2. Считается, что весь национальный доход каждой из стран расходуется на закупки товаров, как внутри страны, так и у других стран.

3. Известна структурная матрица международной торговли

A = (a_ij) , каждый элемент a_ij которой равен доле национального дохода, которую страна S j расходует на закупку товаров у страны S_i:

     (1)

4. Считается, что для каждой страны выполнено условие бездефицитной торговли, заключающееся в том, что выручка от внешней и внутренней торговли оказывается не меньшей, чем национальный доход страны.

5. Известен суммарный национальный доход D всех n стран.

Требуется найти вектор национальных доходов всех стран:

 

Расчетные уравнения

Если обозначить символом t_i выручку, полученную страной S_i от внутренней и внешней торговли, то будет справедливо соотношение:

     (2)

Из предположения 4 вытекает, что для всех значений i =1, 2,..., n выполняется неравенство t_i ≥ x_i , а из предположений 2 и 3 вытекает, что сумма элементов в каждом столбце матрицы A равняется 1.

Отсюда, используя соотношение (2), получаем:

Следовательно, для всех значений i =1, 2,.., n выполнено равенство t_i=x_i, т.е.

    (3)

Таким образом, справедливо матричное уравнение:

    (4)

которое означает, что  вектор

является собственным  вектором матрицы A с собственным значением 1.

Из уравнения (4) вытекает, что вектор X удовлетворяет уравнению:

      (5)

где символом E обозначена единичная матрица n - го порядка. Это уравнение дает возможность определить национальный доход каждой из стран, позволяющий осуществлять бездефицитную торговлю. В координатах уравнение (5) имеет вид:

   (6)

 

1.4. Моделирование с использованием  технологии Excel

 

Определение собственного вектора X матрицы А с помощью  средств Microsoft Excel невозможно.

Поэтому математическую модель международной торговли сводят к задаче линейного программирования.

Для этого, систему уравнений: (A – E)X = 0,

где Е – единичная  матрица

которая получается из уравнений (AX = X) переносом правой части в  левую, трактуют как ограничения-равенства.

Кроме того, вводят новое  ограничение-неравенство:

отражающее условие, по которому сумма бюджетов всех стран должна быть не больше заданной величины S.

В качестве целевой функции  вводится сумма бюджетов всех стран, которая должна достигать максимума:

Итак, математическая модель сбалансированной международной торговли сводится к следующей оптимизационной задаче линейного программирования. Необходимо найти максимум целевой функции

при ограничениях:

Пример с  использованием технологии Excel

Найти национальные доходы х₁, х₂, х₃, х₄ четырех торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица торговли этих четырех стран равна

,

а сумма бюджетов стран  не превышает 7680 млн. ден. ед.

Математическая модель

при ограничениях:

Решение задачи средствами Excel

Задание исходных данных на рабочем листе Excel приведено на рис. 1.

Рис. 1. Исходные данные в  Ехсel

 

В ячейки В2:Е6 занесены коэффициенты при системе ограничений, в ячейках G2:G6 содержатся ограничения в правых частях, в ячейки I2:I6 занесены формулы  левых частей ограничений, ячейки В9:Е9 содержат изменяемые переменные х₁, х₂, х₃, х₄.

Например, в ячейке I2 записана формула ограничений =СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В9:Е9). Аналогичные формулы записаны в  ячейках I3:I6. Формула целевой функции =СУММ (В9:Е9) занесена в ячейку С10.

Рис. 2. Решение задачи средствами Excel

Процесс решения –  занесение в окно Поиск решения  ячейки с формулой целевой функции, занесение изменяемых ячеек, внесение ограничений приведено на рис. 2. В окне Параметры необходимо отметить: Линейная модель, Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование.

На рис. 2 приведены  также результаты решения, согласно которым национальные доходы четырех  стран х₁, х₂, х₃, х₄ равны соответственно 1015,359; 1458,228; 3251,308; 1955,105 млн. ден. ед.

Из содержимого ячеек I2:I6 видно, что все ограничения выполнены. Значение целевой функции (ячейка С10) равно 7680 млн. ден. ед.

 

Глава 2. Задача на определение  национальных доходов четырех торгующих  стран в сбалансированной системе  международной торговли

 

Найти национальные доходы х₁, х₂, х₃, х₄ четырех торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица торговли этих четырех стран равна:

а сумма бюджетов стран  не превышает 9000 млн. ден. ед.

Решение

 

Найдем матрицу (А -Е):

 

 

В качестве целевой функции  вводится сумма бюджетов всех стран, которая должна достигать максимума:

Математическая модель сбалансированной международной торговли сводится к следующей оптимизационной  задаче линейного программирования.

Необходимо найти максимум целевой функции

при ограничениях:

-0,64х₁ + 0,15х₂ + 0,6х₃ + 0,22х₄ = 0

0,34х₁ - 0,65х₂ + 0,2х₃ + 0,28х₄ = 0

0,2х₁ + 0,3х₂ - 0,9х₃ + 0,2х₄ = 0

0,1х₁ + 0,2х₂ + 0,1х₃ - 0,7х₄ = 0

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ ≤ 9000

Решение задачи осуществим средствами Excel.

Задание исходных данных на рабочем листе Excel приведено на рис. 1.

Рис. 1. Исходные данные в Exсel

 

В ячейки В2:Е6 занесены коэффициенты при системе ограничений, в ячейках G2:G6 содержатся ограничения в правых частях, в ячейки I2:I6 занесены формулы левых частей ограничений, ячейки В9:Е9 содержат изменяемые переменные х₁, х₂, х₃, х₄.

В ячейке I2 записана формула  ограничений =СУММПРОИЗВ(B2:E2;B9:E9).

В ячейке I3 =СУММПРОИЗВ(B3:E3;B9:E9)

В ячейке I4 =СУММПРОИЗВ(B4:E4;B9:E9)

В ячейке I5 =СУММПРОИЗВ(B5:E5;B9:E9)

В ячейке I6 =СУММПРОИЗВ(B6:E6;B9:E9)

Формула целевой функции =СУММПРОИЗВ(B8:E8;B9:E9) занесена в ячейку С10.

Процесс решения –  занесение в окно Поиск решения  ячейки с формулой целевой функции, занесение изменяемых ячеек, внесение ограничений приведено на рис. 2.

Рис. 2. Решение задачи средствами Excel

 

В окне Параметры отметим: Линейная модель, Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование (рис. 3).

Рис. 3. Окно Параметры

 

Рис. 4

 

На рис. 4 приведены результаты решения, согласно которым национальные доходы четырех стран равны:

х₁ = 2912,6 млн. ден. ед.

х₂ = 2735,4 млн. ден. ед.

х₃ = 1885,0 млн. ден. ед.

х₄ = 1466,9 млн. ден. ед.

Из содержимого ячеек I2:I6 видно, что все ограничения выполнены.

Значение целевой функции (ячейка С10) равно 9000 млн. ден. ед.

 

Заключение

 

Международная торговля — система международных товарно-денежных отношений, складывающаяся из внешней  торговли всех стран мира.

Международная торговля возникла в процессе зарождения мирового рынка в XVI—XVIII веках. Её развитие — один из важных факторов развития мировой экономики Нового времени.

Матричную алгебру ценят  за краткость, простоту и наглядность. Универсальный характер матричных  выражений позволяет приложить  одни и те же методы анализа и к малому, и к большому массивам исходных данных. Количество исходных данных влияет только на объем вычислений, а это в свою очередь определяет продолжительность и стоимость работ. Роль этих факторов стремительно уменьшается в связи с использованием быстродействующих электронных вычислительных машин.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Используемая в настоящее  время стандартная модель международной  торговли объединяет различные теории, развивающие фундаментальные положения классических теорий на основе использования концепций предельных величин и общего равновесия экономической системы.

Базовые понятия стандартной  модели были разработаны английскими  экономистами Френсисом Эджуортом  и Альфредом Маршаллом и американским экономистом австрийского происхождения Готфридом Хаберлером.

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора  и собственного значения матрицы  была рассмотрена линейная модель обмена (модель международной торговли).

 

Список литературы

 

1. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. Учебное пособие. – М.: Дрофа, 2004.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
3. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. – М.: ЮНИТИ, 2006.
4. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2007.
5. Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели в экономике. Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.А. Орехова – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
6. Самаров К.Л., Шапкин А.С. Задачи с решениями по высшей математике и математическим методам в экономике: Учебное пособие – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2007.
7. Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: ВИЛЬЯМС, 2007.
8. Экономико-математическое моделирование. Учебник для вузов / Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд. «Экзамен», 2004.