Экономико-математическое моделирование систем управления

Оглавление

Введение.

В организации и управлении производством широко применяются  графики. В последние годы с большим  успехом все шире внедряются сетевые  графики, которые по сравнению с  линейными (календарными) имеют значительные преимущества. Методы сетевого планирования и управления используются для управления производственной деятельности с целью достижения определенного конечного результата. Их применение эффективно в тех случаях, когда достижение поставленной задачи требует согласованных (координированных) во времени действий многих участков комплекса работ, охвата большого числа разнообразных работ и взаимосвязи их исполнителей, а также учета степени воздействия каждого из них на конечный результат.

Эти методы основываются на использовании сетевого графика  в качестве модели процесса, который  планируется и затем контролируется по ходу выполнения.

Сетевое планирование и управление (СПУ) — метод планирования и управления научно-исследовательскими и опытно-конструкторскими работами, строительством, технологической подготовкой производства и другими работами, в основе которого лежит использование сетевого графика как средства информации об управляемом объекте или процессе.

Область применения методов  СПУ весьма обширна (целевые разработки сложных объектов новой техники, в создании которых участвуют  многие организации и предприятия; промышленное строительство и монтаж, ремонт оборудования и т.д.

Метод сетевого планирования и управления предназначен для разработки исходного плана реализации комплекса  работ и принятия эффективных  решений в процессе выполнения плана. Применение сетевого планирования и  управления позволяет повысить качество и эффективность управления сложными комплексами работ, сократить сроки  их выполнения и требуемые ресурсы.

Цель курсового проекта  – определить минимальную стоимость  комплекса производственных работ  при заданной продолжительности  его выполнения и других указанных  условиях.

Задачами проекта являются:

- построение сетевого  графика;

- анализ сетевого графика;

- оптимизация сетевого  графика.

1. Построение сетевого графика.

Сетевой график - это связанный  упорядоченный взвешенный орграф без  контуров (петель). Сетевой график — это модель технологического процесса, которая отображает последовательность и взаимосвязь выполнения работ. Основными компонентами сетевого графика являются «событие» и «работа». «Событие» — это факт окончания работы, необходимой и достаточной для начала последующей работы.

 «Работа» — производственный  ход, требующий затрат труда,  времени и ресурсов. «События» изображают на графике кружком, внутри которого ставят номер и сроки начала и окончания работы. «Работу» обозначают стрелкой, которая связывает «события» (кружки). На каждой стрелке проставляют номер предшествующего и последующего «события» и продолжительность «работы». Сетевой график начинается с начального «события», которое не имеет предшествующих работ и заканчивается конечным «событием».

Сетевой график составляют для определения «критического  пути», который слагается из непрерывной  последовательности «работ» от первого  «события» до конечного. Полную продолжительность, определяет общее время выполнения «работ». Можно сократить сроки, для этого уменьшив продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

Построение сетевого графика  заключается в правильном соединении между собой работ-стрелок с  помощью событий-кружков. При этом правильность соединения стрелок заключается в следующем:

- каждая работа в сетевом  графике должна выходить из  события, которое означает окончание  всех работ, результат которых необходим для ее начала;

- событие, означающее  начало определенной работы не  должно включать в себя результаты  работ, завершение которых не  требуется для начала этой  работы.

 График строится слева  направо, и каждое событие с  большим порядковым номером должно  быть расположено правее предыдущего.  Стрелки, изображающие работы, должны  располагаться слева направо.

 Построение графика  начинается с изображения работ,  не требующих для своего начала  результатов выполнения других  работ. Такие работы можно назвать  исходными, так как все остальные  работы комплекса будут выполняться  только после их полного выполнения. В зависимости от специфики  планируемого комплекса, исходных  работ может быть несколько,  а может быть только одна. При  размещении исходных работ необходимо  учитывать, что на сетевом графике, должно быть только одно исходное событие.

Руководствуясь вышеизложенными правилами, мы можем построить сетевой график по нашему примеру из данных таблицы 1.

Таблица 1. Исходные данные.

У нас пронумерованы все события из таблицы. Используя эту нумерацию, а также указанные веса дуг, построим сетевой график.

Рисунок 1 – Сетевой график.

Мы получили упорядоченный  сетевой график, соответствующий всем требованиям построения.

Используя полученную нумерацию  событий в графике, получим вторую таблицу исходных данных в задании, потребующуюся для дальнейшего анализа и оптимизации графика.

Таблица 2. Исходные данные, часть 2.

Заданная продолжительность  всего комплекса работ – 27 суток.

Имея все исходные данные и готовый сетевой график, перейдем к его анализу.

2. Анализ сетевого графика.

Одно из важнейших понятий  сетевого графика – понятие пути. Путь – любая последовательность работ, в которой конечное событие  каждой работы совпадает с начальным  событием следующей за ней работы.

Среди различных путей  сетевого графика наибольший интерес  представляет полный путь – любой  путь, начало которого совпадает с  исходным событием сети, а конец  – с завершающим. Наиболее продолжительный  полный путь в сетевом графике  называется критическим.

Критический путь — путь, имеющий наибольшую продолжительность  от исходного события до завершающего. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути. По существу, критический путь – "узкое" место проекта. Уменьшить общую продолжительность осуществления проекта можно, только изыскав способы сокращения работ, лежащих на критическом пути. Таким образом, нет никакой необходимости в часто практикуемом стремлении "поднажать" на всех работах ради сокращения общей длительности выполнения проекта. В больших проектах критическими бывают примерно 10% работ.

Рассмотрим наш график. По нему можно выделить 3 полных пути: 1 – 2 – 3 – 6, 1 – 2 – 3 – 5 – 6 и 1 – 2 – 4 – 5 – 6. Для каждого пути сроки выполнения работ будут разными, поэтому рассчитаем сроки для каждого пути в нормальном и ускоренном режимах. Также выделим критический путь для каждого режима.

Рассчитаем продолжительность  работ по каждому пути в нормальном режиме:

1 – 2 – 3 – 6 = 4 + 10 + 12 = 26;

1 – 2 – 3 – 5 – 6 = 4 + 10 + 11 + 9 = 34;

1 – 2 – 4 – 5 – 6 = 4 + 6 + 5 + 9 = 24.

Путь 1 – 2 – 3 – 5 – 6 будет  критическим для работ в нормальном режиме, так как его продолжительность  максимальна – 34 дня.

Рассчитаем продолжительность  работ по каждому пути в ускоренном режиме:

1 – 2 – 3 – 6 = 3 + 5 + 6 = 14;

1 – 2 – 3 – 5 – 6 = 3 + 5 + 6 + 6 = 20;

1 – 2 – 4 – 5 – 6 = 3 + 4 + 2 + 6 = 15.

Для проведения работ в  ускоренном режиме уже другой путь 1 – 2 – 3 – 5 – 6 является критическим, также  потому, что его продолжительность  максимальна – 20 дней.

Полученные результаты упорядочим в таблице 3.

Таблица 3. Анализ путей сетевого графика.

По нашим данным заданная продолжительность всего комплекса  работ – 27 суток. Критический путь в нормальном режиме составляет 34 дня, следовательно, необходимо произвести оптимизацию графика, чтобы добиться нормального результата.

3. Оптимизация сетевого графика.

Успех выполнения сложных  комплексов работ зависит, прежде всего, от четкой координации работ во времени, а также от того, насколько правильно  и рационально распределены необходимые  для достижения поставленной цели материальные, трудовые и финансовые ресурсы.

 Поэтому под оптимизацией  сетевого графика подразумевается  последовательное улучшение сети  с целью достижения минимального (директивного) срока выполнения  комплекса или распределения  всех видов ресурсов, с учетом  имеющихся ограничений.

Существует 2 критерия оптимизации:

- минимизация продолжительности  выполнения комплекса работ при  заданных затратах на выполнение  комплекса работ;

- минимизация затрат на  выполнение работ при заданной  продолжительности выполнения комплекса  работ.

Таким образом, нельзя добиться выполнения комплекса работ одновременно в минимальные сроки и с наименьшими затратами.

Оптимизация сетевого графика  по времени предполагает уменьшение общей длительности выполнения комплекса  работ до минимальной величины, или  до величины соответствующей директивно заданному сроку. Так как общая  продолжительность комплекса определяется длиной критического пути, то оптимизация  по времени предполагает, прежде всего, уменьшение продолжительности критических  работ. При минимизации затрат на выполнение комплекса работ мы теряем в сроках выполнения работ.

Требуется оптимизировать наш сетевой график по критерию минимизации затрат при заданной продолжительности выполнения всего комплекса работ за 27 суток. Обязательное условие задачи – оптимальные затраты, определяемые любым из указанных ниже способов, должны иметь одинаковую величину.

Оптимизацию можно провести двумя вышеперечисленными способами. Рассмотрим отдельно каждый из них.

Первый способ заключается  в уменьшении продолжительности  выполнения работ, осуществляемых в  нормальном режиме, начиная с тех, которые дают наименьший прирост  затрат.

Представим алгоритм решения  поставленной оптимизационной задачи первым способом (нормальный вариант  выполнения комплекса работ) в таблице 4.

Таблица 4. Решение оптимизационной  задачи первым способом.

Подсчитаем, что при снижении продолжительности выполнения всего комплекса работ с 34 суток (критический путь) до 27 суток оптимальные затраты составят 1060 + 130 = 1190 (у.е.).

Второй способ заключается  в увеличении продолжительности  выполнения работ, осуществляемых в  ускоренном режиме, начиная с тех, которые дают наибольший прирост  затрат.

Представим алгоритм решения  поставленной оптимизационной задачи вторым способом (ускоренный вариант  выполнения комплекса работ) в таблице 5.

Таблица 5. Решение оптимизационной  задачи вторым способом.

Итак, при повышении продолжительности выполнения всего комплекса ускоренного режима работ до 27 суток оптимальные затраты составляют 1710 – 52 = 1190 (у.е.).

Итоговые результаты, полученные обоими способами оптимизации, должны совпадать. Проверим это:

- продолжительности соответствующих полных путей после оптимизации совпадают – 20, 27, 23;

- стоимости выполнения всего комплекса работ после оптимизации совпадают – 1190.

В результате сокращения длительности одних работ и увеличения длительности других, получают новую сеть, требующую пересчета всех временных параметров.

 По мере оптимизации  графика на нем возникают новые  критические пути. В перспективе  все пути могут стать критическими. Однако следует учитывать, что  при лишении резервов у большинства  работ, малейшие сбои в установленном  календарном плане, могут вызвать  задержки сроков выполнения всего  комплекса.

Заключение.

В данном курсовом проекте  мы рассматривали оптимизацию сетевой  модели комплекса производственных работ. Мы рассмотрели два способа оптимизации сетевого графика. Были продемонстрированы алгоритмы, позволяющие оптимизировать сетевой график. Было введено понятие сетевого графика. Также были представлены некоторые методы оптимизации подобных планов.

Таким образом, цель курсового  проекта достигнута – мы определили минимальную стоимость комплекса производственных работ при заданной продолжительности его выполнения и других указанных условиях.

Также были достигнуты задачи проекта:

- сетевой график построен;

- проведен анализ сетевого  графика;

- проведена оптимизация  сетевого графика.

Значимость проделанной  работы заключается в том, что  применение данных методик позволяет точно судить об оптимальности сетевых графиков любой сложности и сокращает затраты на сетевое планирование в целом за счёт сокращения длительности разработки оптимальных сетевых графиков. Решение экономических задач с помощью метода математического  
моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений, так и всей экономикой в целом.

При практическом использовании  сетевого графика для руководства  работами его можно совмещать  с календарем работ.

Список использованной литературы.

1. Казаков О.Л., Миненко С.Н., Смирнов Г.Б. Экономико-математическое моделирование: Учебно-методическое пособие. – М.: МГИУ, 2006 г. – 136 стр.
2. Миненко С.Н., Казаков О.Л., Подзорова В.Н. Экономико-математическое моделирование производственных систем: Учебно-методическое пособие. – М.: ГИНФО, 2002 г. – 128 стр.
3. Баев И.А., Ширяев В.И., Ширяев Е.В Экономико-математическое моделирование управления фирмой: М.: КомКнига, 2005г. – 224с.