Экспериментальная проверка выявленных методических приемов для изучения числовых выражений

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 

Введение .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 3

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

§1. Определение числового выражения и его значения.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . 7

§2. Методика изучения числовых выражений.   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . .14

§3. Изучение правил порядка действий.   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . 25

Выводы  по I главе.   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .  .   .  .  .  .  .  .  .   . .  .  . 29

ГЛАВА II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ВЫЯВЛЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ ПРИЕМОВ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  30

§1. Анализ ошибок, допускаемых при выполнении арифметических действий и пути их предупреждения.  .  .  .  .   . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .  .  .  . . . . . . . . . . 31

§2. Подготовка и проведение эксперимента, и анализ его результатов.  . . . . 34

Выводы  по II главе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Заключение.   .  .  .  .  . .  .  .  .  .  .   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .  .  .  .  .  .43

Список  использованной литературы.   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . .45

Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

В В Е Д Е Н И Е 

      Включение в содержание обучения младших школьников элементов алгебры, особенно упражнений с функциональным содержанием, позволяет увидеть динамичность явлений реального мира, взаимную обусловленность и связь величин, а это оказывает большое влияние на формирование мировоззрения учащихся. Изучение алгебраического материала способствует развитию у учащихся таких логических приемов, как анализ и синтез, обобщение и конкретизация, индукция и дедукция.

      Введение  элементов алгебры имеет большое  значение для совершенствования  системы начального математического  образования, расширения арсенала математических средств, используемых школьниками при решении задач. Буквенная символика, вводимая в начальных классах, и связанное с ней понятие переменной способствуют обобщению знаний о числах,  свойствах арифметических действий. Использование уравнений для решения задач позволяет существенно изменить всю систему обучения решению задач.

     Понятие математического выражения (или  просто выражения), изучаемое в начальных  классах, имеет важное значение. Так, это понятие помогает учащимся овладеть вычислительными навыками. Действительно, часто вычислительные ошибки связаны с непониманием структуры выражений, нетвердым знанием порядка выполнения действий в выражениях. Усвоение понятия выражения обуславливает формирование таких важных математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение. Умение составлять выражения по задаче необходимо для овладения умения решать задачи алгебраическим способом, т.е. с  помощью составления уравнений.

     Самостоятельно  конструируя выражения, дети осознают их структуру, овладевая умением  читать, записывать, вычислять их значения.

      В целом же алгебраический материал в  курсе математики начальной школы  выполняет вспомогательную функцию  при изучении основного (арифметического) содержания программы.

      Алгебраический  материал изучается, начиная с 1 класса, в тесной связи с арифметическим и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.

      Объектом исследования являются числовые выражения, а его предметом – методические приемы обучения младших школьников понятию числовых выражений в традиционном подходе.

      Цель  работы: с опорой на анализ литературы и изучение практического опыта учителей разработать методические приемы совершенствующие изучение числовых выражений по курсу математики М.И.Моро и соавторов.

      Гипотеза: в результате применения разработанных методических приемов при изучении числовых выражений повысится коэффициент усвоения младшими школьниками соответствующих знаний и умений.

      Для достижения поставленной цели и подтверждения  гипотезы были поставлены следующие  задачи исследования:

• изучить  теоретические основы  числовых выражений;
• сделать сравнительный анализ методических подходов Моро М.И.,

Истоминой Н.Б. к изучению числовых выражений;

• разработать материалы для эксперимента;
• провести эксперимент с целью выявления эффективности разработанных методических приемов.

Методы:

• изучение и анализ литературы по избранной теме;
• педагогическое наблюдение процесса обучения алгебраическому

материалу в начальных классах;

• устный и письменный опрос учащихся с целью выявления знаний о

числовых  выражениях;

• педагогический эксперимент;
• количественный и качественный анализ полученных в ходе

эксперимента  результатов.

   Теоретическая значимость работы заключается в выявлении особенностей подходов М.И.Моро к обучению младших школьников изучению числовых выражений и разработке методических приемов совершенствующих изучение числовых выражений по курсу М.И.Моро.

   Практическая  значимость исследования заключается в разработке конспектов уроков по изучению числовых выражений по курсу М.И.Моро для учеников 4 класса; сформулированы методические рекомендации для учителей начальных классов.

   Исследование  проводилось на базе 4 классов МОУ  СОШ с.Степановка – экспериментальный класс (учитель Маркова Татьяна Леонидовна) и Александровской начальной школы – контрольный класс (учитель Степанова Зинаида Анатольевна).

   Исследование  проводилось в 4 этапа.

   I этап (июнь 2007 г. – февраль 2008 г.) – изучение математической и методической литературы;

   II этап (март – октябрь 2008 г.) – разработка материалов для эксперимента;

   III этап (ноябрь 2008 г. – февраль 2009 г.) – проведение и анализ результатов эксперимента;

   IV этап (февраль – март 2009 г.) – систематизация и обобщение результатов исследовательской работы, подведение итогов, литературное оформление дипломной работы. 
 
 
 

   ГЛАВА I.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ИЗУЧЕНИЯ  ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ. 

§1. Числовое выражение и его значение в математике.

     В курсе математики обычно дают следующее  индуктивное определение:

     а) каждое число числовым выражением;

     б) если А и В числовые выражения, то (А)+(В), (А)-(В), (А)*(В), (А):(В) – числовые выражения.

      Если  к  этим четырем арифметическим действиям  добавить действие взведения в степень  и извлечения из корня, можно получить еще более сложные выражения.

      Для сокращения записи условились не заключать  в скобки отдельные числа. Кроме  того, условились не писать скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем эта операция выполняется слева направо. Точно также, если делят или умножают несколько чисел.

      Наконец условились выполнять сначала действия второй ступени (умножение и деление), а потом – первой (сложение и  вычитание).

      Если  задано выражение со скобками, то сначала  выполняют действия в них.

      Каждому числовому выражению соответствует  числовое значение (Зн), причем Зн(А±В)=Зн (А)±Зн (В); Зн(А·В)= Зн(А)·Зн(В); Зн(А:В)=Зн(А):Зн(В). Если Зн(В)=0, то Зн (А:В) не существует. Например, числовые выражения    8: (4-4)  и (6-6) : (3-3) не имеют числовых выражений.

     Из  чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получится число, которое называется значением выражения.[4]

     Если  в числовом выражении можно выполнить  все указанные в нем действия, то полученное действительное число  называется числовым значением данного  числового выражения, а о числовом выражении говорят, что оно имеет  смысл.

      Если  числовое выражение состоит из одного действительного числа, то его числовым значением является само это число.

      Иногда  числовое выражение не имеет числового  значения, так как не все указанные  в нем действия выполнимы; о таком  числовом выражении говорят, что  оно не имеет (лишено) смысла. Например, числовые выражения 7: (3 · 2 – 6); ( 2 – 2 )⁰ лишены смысла.

      Таким образом, любое числовое выражение  либо имеет одно числовое значение, либо лишено смысла.

      Числовое  выражение часто употребляют  для описания какого-либо свойства числа, являющимся числовым значением этого выражения. Так, например, свойство числа – 17 давать при делении на 2 остаток 1 записывают числовым выражением 2 · (-9) + 1. чтобы описать свойство каждого нечетного числа из промежутка [ -2, 14 ] давать при делении на 2 остаток 1, надо написать соответствующее числовое выражение для каждого из чисел -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, т.е. восемь следующих числовых выражений: 2 (-1) + 1, 2 · 0 + 1,   2 · 1 + 1,   2 · 2 + 1,   2· 3 + 1,   2 · 4 + 1,   2 · 5 + 1  и 2 · 6 + 1.  Выписать соответствующие числовые выражения для всех тех целых нечетных чисел, каждое из которых обладает указанным свойством, практически нельзя. Замечая общность составления таких числовых выражений и используя буквенную символику, можно сокращенно записать всю бесконечную совокупность таких числовых выражений:

n = 2l + 1,  где l = 0,   ±1,  ± 2,   ±….             (1)

        При каждом l получаем числовое выражение, числовое значение которого есть целое число n, дающее при делении на 2 остаток 1. для любого целого числа n, обладающего указанным свойством, можно указать число l ,

такое, при котором (1) превращается в числовое выражение, имеющее числовым значением  число  n. Запись 4l+3, где l = 0,   ±1,  ± 2,   ±… представляет собой бесконечную совокупность числовых выражений таких, что при каждом указанном l она превращается в числовое выражение, числовым значением которого является число n, дающее при делении на 4 остаток 3.

     Приведенные выше примеры говорят о том, что  часто вместо числовых выражений  удобнее рассматривать выражения, в которых на некоторых местах вместо чисел стоят буквы. Всякое такое выражение в начальном курсе математики называют математическим выражением. Отметим, что понятие «математическое выражение» является простейшим и потому оно не определяется, а лишь описывается, что и было сделано выше. Математическое выражение, в котором участвуют знаки действий сложения, умножения, вычитания, деления, извлечения из корня и возведения в степень, называют алгебраическим выражением. [12]

  С числовыми выражениями учащиеся начальных классов знакомятся очень рано. Сначала это выражения вида 2-1, 1+1, 2-1, 3+2. позже появляются более сложные числовые выражения.

   Изучение  числовых выражений начинается с первых дней обучения в четвертом классе (по курсу М.И.Моро). Здесь дети знакомятся с понятием числовые выражения. И для закрепления этой темы в учебнике предложены следующие упражнения:

1. Рассмотри следующие выражения и объясни, почему действия следует выполнять в указанном порядке:

2      1      3             3          2   1              1       3        2                  2    1    3

320: (60-52) х 6;   230+ (170+40:2);   (820+80) –  (310-60);   (420+16 х5) :100 

Данное  упражнение развивает у детей  умение правильно распределять действия в выражении.

2. В каждом выражении сначала укажи порядок выполнения действий, а потом вычисли его значение:

     470- (500-25х3);   (300+160:4) :2 и т.д.

Задание формирует умение распределять порядок  выполнения действий в выражении и находить его значение.

3. Предлагаются задачи на составление выражений типа: «У Нины было 50р. и еще 8 монет, по 5 р. каждая. Сколько всего денег было у Нины?»

Такие задания формируют умение составлять выражение по заданному условию.

4. Найди значения выражений.
5. Вычисли значения выражений. Измени порядок действий с помощью скобок и вычисли значения полученных выражений.

45+27:3-12;   100-10х9-8 и т.д.

Такие задания направлены на формирование умений правильно распределять действия в выражении, и развивают вычислительные навыки.

6. Найди сумму. 236+189+308

При решении  данного задания закрепляются знания таких компонентов как слагаемые и сумма, умение пользоваться ими.

7. Сравни выражения: 200-30х4 и (200-30) х 4

При выполнении таких заданий у учащихся развивается  логическое мышление, а также формирует  умение пользоваться правилами распределения действий в выражениях.

8. Найди значение выражений а+347  и а-39, если а=53, 558,40.
9. Поставь скобки так, чтобы значение выражения стало равным числу 2, 50, 180, 474:     53 – 3 х 9 + 4 х 6

Задание формирует умение по заданному значению распределять действия в выражении так, чтобы оно было верным.

     Объясни, в каком порядке должны выполнять  действия по схематическим записям. □ обозначает число. [28]

1) □  + □ - □ + □ + □ - □   2) □ · □ : □ · □ · □   3)□ + □ · □ - □ : □ + □

Также в I части учебника 4 класса в конце дается следующая таблица: 

     Для подсчета значения выражения часто  приходится его преобразовывать, особенно, если выражение содержит большое  количество действий и скобок.

     Преобразование  выражения – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Преобразования выражений выполняются опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие их них (правила: как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и т.д.)

      При изучении каждого правила, учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но

значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий применяются для преобразования заданных выражений в равные им выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

                             76 - (20 + 4) = 76 - 20…

                             (10 + 7) · 5=10 · 5…

                             60 : (2 · 10) = 60 : 10…

      Выполняя  первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитаем сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 4. аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило и, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их.

      Применяя  знания свойств действий для обоснования  приемов вычислений, учащиеся 1-3 классов  выполняют преобразования выражений  вида:

            36 + 20 = (30 + 6) + 20 = (30 + 20) + 6 = 56

            72 : 3 = (60 + 12) : 3 = 60 : 3 + 12 : 3 = 24

            18 · 30 = 18 · (3 · 10) = (18 · 3) · 10 = 540

     Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое предыдущее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковое значение выражения. Для этого изредка следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида:     75-30=70-30=40+5=45,  24·12=24·(10+2)=24·10+24·2=288. [2]

Учащиеся 2-3 классов выполняют преобразования выражений не только на основе свойств  действий, но и на основе определения  действий. Например,

сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6+6+6=6*3, и наоборот: 9·4=9+9+9+9. опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 · 4 + 8 = 8 · 5.

      На  основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся 3 класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30+20)+10= 30+20+10, (10·6):4=10·6:4 и т.п. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

            (65+30) – 20                                 (20+4)·3

            96-(46+30)                                    (40+24):4

           Так, первое из заданных выражений на основе правила вычитания числа из суммы дети заменяют выражениями: 65+30-20, 65-20+30, 30-20+65, поясняя порядок выполнения действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий. [14]

      Начиная со 2 класса, ведется работа над выражениями  с переменной, благодаря чему обобщается понятие выражения и закрепляются умения оперировать ими.

      Итак, теоретической основой вычислений служат определения арифметических действий и их свойства.  Числовое выражение часто употребляют для описания какого-либо свойства числа, являющимся числовым значением этого выражения. 

§2. Методика изучения числовых выражений.

      Понятие математического выражения (или просто выражения), изучаемое в начальных классах, имеет важное значение. Так, это понятие помогает учащимся овладеть вычислительными навыками. Действительно, часто вычислительные ошибки связаны с непониманием структуры выражений, нетвердым знанием порядка выполнения действий в выражениях. Усвоение понятия выражения обуславливает формирование таких важных математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение. Умение составлять выражения по задаче необходимо для овладения умения решать задачи алгебраическим способом, т.е. с  помощью составления уравнений.

      С первыми выражениями – суммой и разностью – дети знакомятся при изучении сложения и вычитания  в концентре «Десяток». Не используя  специальных терминов, первоклассники производят вычисления, записывают выражения, читают их, заменяют число суммой, основываясь на наглядных представлениях. При этом выражение 4+3 они читают следующим образом: «к четырем прибавить три» или «4 увеличить на 3». Находя значения выражений, состоящих из трех чисел, которые соединены знаком сложения и вычитания, учащиеся фактически пользуются правилом порядка выполнения действий в неявном виде и выполняют первые тождественные преобразования выражений.

      Познакомившись  с выражениями вида а+в, первоклассники сначала употребляют термин «сумма» для обозначения числа, получающегося в результате сложения, т.е. сумма, трактуется как значение выражения. Затем с появлением более сложных выражений, например вида (а+в)-с, появляется необходимость иного понимания термина «сумма». Выражение а+в называется суммой, а его компоненты – слагаемыми. При введении выражений вида а-в, а·в, а:в поступают аналогично. Сначала разностью (произведением, частным) называют значение выражения, а затем само

выражение. Одновременно учащимся сообщают названия его компонентов: уменьшаемое, вычитаемое, множители, делимое и делитель. Например, в равенстве 9-4=5   9-уменьшаемое, 4-вычитаемое, 5-разность. Запись 9-4 также называется разностью. Можно вводить эти термины в другой последовательности: предложить учащимся записать пример 9-4, пояснив, что записана разность, и вычислить, чему равна записанная разность. Учитель вводит название полученного числа: 5- тоже разность. Другие числа при вычитании называются: 9- уменьшаемое, 4- вычитаемое.

      Запоминанию новых терминов способствуют плакаты вида

Для закрепления  этих терминов предлагаются упражнения вида : «Вычислите сумму чисел; запишите сумму чисел; сравните суммы чисел (вставьте знак >,< или = вместо · в запись 4 + 3 · 5 + 1   и прочтите полученную запись); замените число суммой одинаковых (разных) чисел; заполните таблицу; составьте по таблице примеры и решите их». Важно, чтобы дети поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие (сложение), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

     При изучении сложения и вычитания в  пределах 10 включаются выражения, состоящие  из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7-4+2, 6+3-7. раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает, как их читают (например, к трем прибавить один и к полученному числу прибавить ещё один). Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат прообразовывать выражения в процессе вычислений, например: 10-7+5=3+5=8. такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований. Знакомство  первоклассников с выражениями вида 10- (6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствует более глубокому усвоению понятия выражения.

      На  следующем этапе усвоения понятия  выражения учащиеся знакомятся с  выражениями, в которых используются скобки: (10-3)+4,         (6-2)+5. они могут быть введены посредством текстовых задач. Учитель предлагает составить на наборном полотне суммы и разности чисел 10 и 3, используя карточки, на которых записаны эти числа и знаки действий. Затем составленную учениками разность 10-3 учитель заменяет подготовленной заранее карточкой с этой разностью. Следующее задание: составить выражение (на этом этапе учащиеся говорят о нем как о примере),  используя разность, число 4 и знак +. При чтении полученного выражения обращается внимание на то, что его компонентами являются разность и число. «Чтобы было заметно, - говорит учитель,- что разность является слагаемым, её заключают в скобки».

      Самостоятельно  конструируя выражения, дети осознают их структуру, овладевая умением  читать, записывать, вычислять их значения.

      Вводятся  термины «математическое выражение» (или просто «выражение») и «значение выражения». Определения этих терминов не даются. Записав несколько простейших выражений: сумм, разностей, учитель называет их математическими выражениями. Предложив вычислить эти примеры, он объявляет, что числа, полученные в результате вычисления, называются значением выражения. Дальнейшая работа над числовыми выражениями состоит в том, что дети упражняются в чтении, записи под диктовку, составлении выражений, заполнении таблиц, широко используя при этом новые термины.