Экспоненциальное распределение

                                          ВВЕДЕНИЕ 

       Экспоненциальное (показательное) распределение часто  встречается в теории массового  обслуживания (например, — время ожидания при техническом обслуживании или — продолжительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и теории надёжности (например,   — срок службы радиоэлектронной аппаратуры).

       Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную  для эффективного обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы. Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. Поэтому для того чтобы эффективно управлять системой массового обслуживания, а также рационально и с минимальными издержками  пользоваться техническими устройствами необходимо знать, что представляет собой закон показательного распределения и  как он  работает. Это и будет представлять актуальность выбранной темы.

       Объектом  исследования является  закон показательного распределения.

       Предмет исследования – применение в экономике показательного закона распределения.

    Цель  курсовой работы состоит в рассмотрении общих основ показательного закона распределения, а так же применение его на практике для  решения различных экономических  задач. Поставленная цель потребовала решения следующих задач:

  • Выявить определение показательного закона распределения;
  • Рассмотреть функцию распределения;
  • Выделить моменты экспоненциального распределения;
  • Выявить связь с другими распределениями;
  • Рассмотреть закон показательного распределения применительно к практике.

       Основные  методы исследования. Основным методологическим приемом исследования является комплексный подход, позволяющий с наибольшей эффективностью подойти к рассмотрению закона показательного распределения и его связи с экономикой.

       Практическая  значимость работы состоит в том, что ее результаты могут явиться основой для преподавателей при разработке лекций по теории вероятностей и математической статистике.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       ГЛАВА 1. Теоретические аспекты показательного закона   распределения. 

1.1. Определение показательного  закона распределения. 
 

    Показательным (экспоненциальным) называют распределение  вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью1:

где X —  постоянная положительная величина.

Мы видим, что показательное распределение определяется одним параметром X. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

 Обычно  параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Экспоненциальное  распределение часто используется для описания интервалов между последовательными  случайными событиями, например, интервалов между заходами на непопулярный сайт, так как эти посещения являются редкими событиями.

Основные  числовые характеристики экспоненциального  распределения2:

 

      Это распределение обладает очень  интересным свойством отсутствия  последействия, или, как еще  говорят, марковским свойством,  в честь знаменитого русского математика Маркова А. А., которое можно объяснить следующим образом. Если распределение между моментами наступления некоторых событий является показательным, то распределение, отсчитанное от любого момента  t до следующего события, также имеет показательное распределение (с тем же самым параметром).

      Иными словами, для потока редких  событий время ожидания следующего  посетителя всегда распределено  показательно независимо от того, сколько времени вы его уже  ждали. 

      Показательное распределение связано с пуассоновским распределением: в единичном интервале времени количество событий, интервалы между которыми независимы и показательно распределены, имеет распределение Пуассона. Если интервалы между посещениями сайта имеют экспоненциальное распределение, то количество посещений, например в течение часа, распределено по закону Пуассона.

    Показательное распределение представляет собой  частный случай распределения Вейбулла.

    Если  время не непрерывно, а дискретно, то аналогом показательного распределения является геометрическое распределение. 

1.2. Функция распределения  показательного закона  

Найдем  функцию распределения показательного закона3:

Интегрируя  плотность, получаем функцию экспоненциального  распределения:

Мы определили показательный закон с помощью плотности распределения; ясно, что его можно определить, используя функцию распределения.

Графики плотности и функции распределения  показательного закона изображены на Рис 1 и Рис 2 соответственно.

Рис 1. График плотности Рис 2. График функции  

Моменты экспоненциального распределения 

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального  распределения имеет вид:

откуда  получаем все моменты:

В частности,

 

1.3. Функция надежности. Показательный закон надежности 

    Показательное распределение широко применяется  на практике, в 

частности в теории надежности, одним из основных понятий которой являются функция  надежности и функция ненадежности.

    Вероятность безотказной работы за время длительностью t будет равна: 

 R (t) = P (T > t) = 1 – F (t). 

Функцию R (t), определяющую вероятность безотказной  работы элемента за время длительностью t   называют функцией надежности.

Функция распределения F (t) = Р(Т<t) определяет вероятность отказаза время длительностью t и называется функцией ненадежности.

В  общем  случае  время  Т  безотказной  работы  элемента  является  понятием обобщенным. Часто оно может измеряться числом включений или числом циклов работы (например, испытание реле на усталостную прочность), числом километров пробега (автомобиль, электровоз). 

Показательный закон надежности. 

На практике длительность времени безотказной  работы элемента часто имеет показательное  распределение с функцией распределения: 

    

Поэтому, согласно выражению R (t) = P (T > t) = 1 – F (t), функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента будет иметь вид: 

где   λ – интенсивность отказов (среднее число событий в единицу времени)

Функцию  надежности,  определяемую  равенством , называют показательным законом надежности. Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t при условии, что

 λ(t)  = λ  = const.

    Основное  свойство этого закона состоит в  том, что вероятность безотказной работы не зависит от времени предшествующей работы, а зависит только от рассматриваемого интервала времени. Это значит, что будущее поведение объекта не зависит от прошлого, если в настоящий момент он работоспособен.

    Таким образом, подводя итог, можно сделать вывод о том, что при экспоненциальном (показательном) законе распределения вероятность безотказной работы не зависит от того, сколько проработало изделие с начала эксплуатации, а определяется конкретной продолжительностью рассматриваемого периода или пробега x, называемого временем выполнения задания. Рассмотренная модель не учитывает постепенного изменения параметров технического состояния, например, в результате изнашивания, старения и так далее, а рассматривает так называемые нестареющие элементы и их отказы. Экспоненциальный закон используется чаше всего при описании внезапных отказов, продолжительности разнообразных ремонтных воздействий и в ряде других случаев.

Кроме этого, экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим (l), что облегчает расчеты и объясняет широкое его применение на практике.

Показательному  закону распределения подчиняется, к примеру, величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий. Также этому распределению подчиняется время ожидания клиента в системе массового обслуживания (магазин, мастерская, банк, парикмахерская и т.д.). Другими словами, показательный закон распределения очень широко распространен в повседневной жизни.  
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 2. Решение задач с применением показательного закона распределения. 

    Показательное распределение можно соотнести  с разными сферами экономики, такими как финансы, логистика, маркетинг  и др. 

    Показательное распределение находит широкое применение при решении различных экономических и технических задач, связанных с исследованием эффективности функционирования автомобильно-дорожных средств и систем.

    Так, например:

- при  определении надежности деталей  автомобиля, когда единичные

 повреждения приводят к отказу изделия. Такие условия возникают при превышении нагрузки, например, при ударе (приводящем к поломке изделия);

- при превышении электрического напряжения, приводящему к перегоранию конденсаторов, перегоранию ламп и т.п.;

- при  определении параметров систем массового обслуживания, например, при

диагностике состояний автомобилей, смазке, регулировке  их механизмов, т.е.

- при техническом обслуживании и ремонте автомобилей, расходуемое время на выполнение указанных операций распределено в большинстве случаев по

показательному  закону;

- время  между двумя автомобилями, прибывающими  на станцию обслуживания, также описывается с помощью показательного закона.

Большинство из этих примеров относится к логистике, которая является частью экономической науки, предмет которой заключается в организации рационального процесса продвижения товаров и услуг от производителей к потребителям, функционирования сферы обращения продукции, товаров, услуг, управления товарными запасами, создания инфраструктуры товародвижения. 
 
 

ЗАДАЧА  №1.  

На заводе N выпускающем строительные материалы,   время безотказной работы станка по производству  кирпича строительного распределено по показательному закону

 f(t) = 0, 01е-0,01t при t ³ 0 ( t – время). Найти вероятность того, что станок проработает безотказно 200 часов.

РЕШЕНИЕ:

По условию, постоянная интенсивность отказов l = 0,01. Воспользуемся формулой:

R (t) =  e-lt                е — константа, равная 2,718...                        

R (200) = e-0,01 *200= е-2 = 2,718-2 = 0,13534

ОТВЕТ:  Вероятность того, что станок  проработает безотказно 200 часов, равна 0,13534.  

ЗАДАЧА  №2.  

Обычно  совещание по обсуждению итогов работы компании за месяц длится час. На этот раз по истечении часа оно не закончится. Какова вероятность того, что оно закончится в ближайшие 15 мин. Длительность совещания распределена по показательному закону. Найти математическое ожидание и дисперсию  длительности совещания.  

РЕШЕНИЕ:  

M(X) = 60 (мин)

Но для  показательного распределения       М(Х) =  1/ m   , откуда  m = 1/ М(Х) = 1/ 60.

Дисперсия длительности совещания  при этом равна  D(X) = 1/ m2 =  (1/ (1/60))2 =  35, 998

Вероятность того, что совещание закончится в  ближайшие 15 мин (75 минут)  равна:

Р { Х< 75 | Х > 60} =  Р { (Х< 75)Ç(Х > 60) /  Р { Х > 60} = Р { 60 < Х < 75} / Р { Х > 60} = F(75)  - F(60) /  1 – А(60) =  1 – е-75/60 – (1-е-60/60) /  1- ( 1 – е-60/60) = е-1- е-75/60 / е-1 =  1 – е-1/60 = 0, 221.

ОТВЕТ:

1) М(Х) =  5, 9998

2) D(X) = 35, 998

3) Вероятность  того, что совещание закончится  в ближайшие 15 минут равна 0, 221. 
 
 

ЗАДАЧА  №3.  

При приеме на работу в крупную фирму N на должность ведущего экономиста испытывают трех человек, которые не знают о существовании между ними конкуренции.  На испытуемых оказывают психологическое давление, для того чтобы проверить их на стрессоустойчивость.  Время без отказной работы испытуемых экономистов распределено по показательному закону. Для первого экономиста F1(t) = 1 – e-0,1t , для второго экономиста F2(t) = 1 – e-0,2t, для третьего  F3(t) = 1 – e-0,3t. Найти вероятность того, что в интервале времени [0; 10 ]  провалят испытание только 2 экономиста. 

РЕШЕНИЕ:

Введем  дополнительные события Ei = « i – тый экономист провалит испытание в интервале времени [0; 10 ]».

Так как  функция распределения F(t) = 1 – e-lt  определяет вероятность провала экономиста  за время длительностью t, то подставив t = 10 в функцию распределения, получим вероятность провала в интервале времени [0; 10 ].

P( E1) = F1(10) = 1 – e-0,1*10 = 1 – e-1 = 0,632121

P( E2) = F2(10) = 1 – e-0,2*10 = 1 – e-2 = 0,864665

P( E3) = F3(10) = 1 – e-0,3*10 = 1 – e-3 = 0, 950213

A = « в интервале времени [0; 10 ] откажутся работать только два экономиста».

P(A) = 0,367918 * 0,135363 * 0,950197 + 0,367918 * 0,864665 * 0,049803 + 0,632121  * 0,135363 * 0,049803 = 0,067426 

ОТВЕТ: вероятность того, что в интервале времени провалят испытание только  два экономиста,  равна 0,067426 
 

ЗАДАЧА  №4. 

Фирма для облегчения работы сотрудников  приобрела 2 современных компьютера. Продолжительность безотказной работы первого и второго компьютеров  -  случайные величины Т1 и Т2, распределенные по показательному закону; Эти величины характеризуются функциями распределения:

F1 (t)  = P (T1 < t) = 1 – e-0,02t

F2 (t) = P (T2 < t) = 1 – e-0,01t 

Найти вероятность того, что в интервале  времени (0; 100) часов:

а) оба  компьютера откажут;

б) оба  компьютера не откажут;

в) только один компьютер откажет;

г) откажет  хотя бы один компьютер. 

РЕШЕНИЕ:

Исследуется работа двух компьютеров в интервале времени (0; 100) часов. Рассмотрим события:

А1 – откажет первый компьютер;

А2 – откажет второй компьютер;

-  не откажет первый компьютер;

- не откажет второй компьютер;

В –  откажут оба компьютера;

С –  оба компьютера не откажут;

D – откажет только один компьютер;

- откажет хотя бы один компьютер. 

Найдем  вероятности заданных событий:

P (A1) = p1 = F1 (100) = 1 – e-2 = 1 – 0,1353 = 0, 8647;

P (A1) = p2 = F2 (100) = 1 – e-1 = 1 – 0,3679 = 0, 6321;

P ( ) = q1 = R1 (100) = 1 – F1 (100) = e-2  = 0, 1353;

P ( ) = q2 = R2 (100) = 1 – F2 (100) = e-1  = 0, 3679; 

а) Событие  В – откажут оба компьютера, является произведением двух событий  A1 и A2 : В = A1* А2 . События А1  и А2 – независимые; вероятность события В найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р (В) = Р (А1 А2) = р1 р2 = 0,8647 * 0,6321 = 0,5466.  

б) Событие  С – оба компьютера не откажут, является произведением двух событий  и : С = * .

События  и - независимые: вероятность события С найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р (С) = Р ( ) = q q = 0,1353 * 0,3679 = 0, 0498. 

в) Событие  D – откажет только один компьютер, равно сумме событий  А1 и А2. Слагаемые А1 и А1 представляют собой несовместные события. Вероятность события D найдем, используя теорему умножения вероятностей независимых событий и теорему сложения вероятностей несовместных событий:

Р (D) = p1 q2  + q1 p2 = 0,8647 * 0,3679 + 0,1353 * 0,6321 = 0, 4036. 

г) Событие  - откажет хотя бы один компьютер, противоположно событию С. Вероятность события равна

Р ( ) = 1 – Р(С) = 1 – q q = 1 – 0,0498 = 0,9502.  

ОТВЕТ:

а) вероятность  того, что оба компьютера откажут  равна 0,5466 ;

б) вероятность  того, что оба компьютера не откажут  0, 0498;

в) вероятность того, что только один компьютер откажет 0, 4036;

г) вероятность того, что откажет хотя бы один компьютер 0,9502. 

ЗАДАЧА  №5. 

Для обеспечения  нормальной работы оборудования необходимо закупить n видов запасных частей на сумму d рублей. Стоимость j-ой детали равна , потребность в ней есть случайная величина , имеющая показательный закон распределения с параметром . Использование j-ой детали позволяет получить прибыль . Отсутствие детали в случае необходимости приводит к убыткам . Если деталь не используется в данном периоде, то убыток составляет . Как распределить имеющиеся средства, чтобы общая прибыль была наибольшей?  

РЕШЕНИЕ:

Пусть - количество закупленных деталей j-го вида. Так как потребность в этих деталях равна , то доходы и издержки определяются в зависимости от соотношения между величинами и :

Значит, прибыль от деталей j-го вида можно  определить следующим образом:

Но так  как - величина случайная, то и прибыль - тоже случайная величина. Следовательно, мы должны максимизировать не саму прибыль, а ее математическое ожидание

Здесь            

плотность распределения случайной величины .     Тогда:

Общая ожидаемая прибыль вычисляется  как сумма математических ожиданий прибылей от деталей всех видов. Ограничения  задачи связаны с невозможностью превысить сумму, выделенную на закупку деталей. Кроме того, из характера переменных вытекают условия их неотрицательности и целочисленности. В результате получаем следующую математическую модель:

 
 

В данной главе показывается решение нескольких задач  с помощью показательного закона распределения. Таким образом показана значимость данного закона для различных сфер экономики. В частности с помощью показательного закона распределения можно узнать, сколько проработает то или иное оборудование без отказа, как распределить имеющиеся средства, чтобы общая прибыль была наибольшей, сколько продлится совещание по подведению итогов работы компании и многое другое. Все это необходимо знать компании для ее успешной деятельности.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 3. Решение задачи №1 и №3 с помощью программы EXCEL. 

Задача  №1

1. Условия задачи: 

На заводе N выпускающем строительные материалы,   время безотказной работы станка по производству  кирпича строительного распределено по показательному закону

 f(t) = 0, 01е-0,01t при t ³ 0 ( t – время). Найти вероятность того, что станок проработает безотказно 200 часов.  
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Решение задачи:  

По условию, постоянная интенсивность отказов l = 0,01. Воспользуемся формулой: R (t) =  e-lt                 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Значение показательного закона надежности R (200) = e-0,01 *200= е-2 может быть вычислено следующим образом:  

 
 

ОТВЕТ: Вероятность того, что станок  проработает безотказно 200 часов, равна 0,135335. 

Задача  №3 

1. Условия задачи: 

При приеме на работу в крупную фирму N на должность ведущего экономиста испытывают трех человек, которые не знают о существовании между ними конкуренции.  На испытуемых оказывают психологическое давление, для того чтобы проверить их на стрессоустойчивость.  Время без отказной работы испытуемых экономистов распределено по показательному закону. Для первого экономиста F1(t) = 1 – e-0,1t , для второго экономиста F2(t) = 1 – e-0,2t, для третьего  F3(t) = 1 – e-0,3t. Найти вероятность того, что в интервале времени [0; 10 ]  провалят испытание только 2 экономиста.