Экстремумы функций трёх переменных
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Чувашский государственный университет
имени И.Н.Ульянова»
Факультет дизайна и компьютерных технологий
Кафедра компьютерных технологий
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине «Алгебра и геометрия»
На тему:
«Экстремумы функций трёх переменных»
Выполнил: студент гр. ДиКТ 21-10
Никифоров В.А.
Проверил: дочент Чечнев А.В.
Чебоксары 2010
Содержание
Экстремум функции
Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции,
если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки. При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Заметим, что в силу определения точки экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащий эту точку.
Необходимые условия
Пусть функция u=f(x1, x2, x3) определена в области D и (x01, x02, x03) будет внутренней точкой этой области. Функция f(x1, x2, x3) в точке (x01, x02, x03) имеет махимум (минимум), если её можно окружить окрестностью
(x01 - δ, x01 + δ; x02 - δ, x02 + δ; x03 - δ, x03 + δ),
чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x1, x2, x3) ≤ (x01, x02, x03)
f(x1, x2, x3) ≥ (x01, x02, x03).
Если эту окрестность можно взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключен, т. е. чтобы в каждой точке её, кроме самой точки (x01, x02, x03), выполнялось строгое неравенство
f(x1, x2, x3) < (x01, x02, x03)
f(x1, x2, x3) > (x01, x02, x03),
то в точке (x01, x02, x03) имеет место собственный максимум (минимум); в противном случае, максимум (минимум) называется несобственным.
Для обозначения максимума и
минимума употребляется и общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x01, x02, x03) имеет экстремум. Если в этой точке существуют (конечные) частные производные:
f’x1(x01, x02, x03), f’x2(x01, x02, x03), f’x3(x01, x02, x03),
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования
экстремума. С этой целью положим х2=x02, х3=x03, сохраняя x1 переменным; тогда у нас получиться функция от одной переменной x1:
u=f(x1, x02, x03).
Так как мы предположили, что в точке (x01, x02, x03) существует экстремум (для определённости – пусть это будет махсимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x01-δ, x01+δ) точки х1=x01 необходимо должно выполняться неравенство
f(x1, x02, x03) ≤ f(x01, x02, x03),
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке х1=x01 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
f’x1(x01, x02, x03)=0.
Таким же образом можно показать, что в точке (x01, x02, x03) и остальные частные производные также равны нулю.
«Подозрительными» по экстремуму являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в ноль.
Достаточные условия
Пусть функция f(x1, x2, x3) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой стационарной точки (x01, x02, x03). Разлагая разность
Δ=f(x1, x2, x3) - f(x01, x02, x03)
По формуле Тейлора, получим
Δ = 1∕2 {f’’ x12 · Δx12+ f’’ x22 · Δx22 + f’’ x32 · Δx32 + 2f’’ x1x2 · Δx1x2 +
+ 2f’’ x1x3 · Δx1x3 + 2f’’ x2x3 · Δx2x3} = 1∕2
f’’xixk · Δxixk,
где n=3, Δxi=xi-x0i; производные все вычислены в некоторой точке
(x01+ϴΔx1, x02+ϴΔx2, x03+ϴΔx3) (0<ϴ<1)
Введём значения
f’’xixk(x01, x02, x03) = aik (i,k=1,2,3),
так что
f’’xixk(x01+ϴΔx1, x02+ϴΔx2, x03+ϴΔx3) = aik+aki,
и
aik→0 при Δx1→0, Δx2→0, Δx3→0.
Теперь Δ можно написать в виде
Δ = 1∕2 {
aik ΔxiΔxk + aik ΔxiΔxk}.
На первом месте в скобках стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке; он представляет собой однородный многочлен второй степени (квадратичную форму от переменных Δx1, Δx2, Δx3).
В высшей алгебре квадратичную форму
aik ΔyiΔyk (aik = aki)
от переменных y1, y2, y3 называют определённой положительной (отрицательной), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.
Если второй дифференциал, т. е. квадратичная форма
aik ΔxiΔxk
с коэффициентами i,k=1,2,3 оказывается определённой положительной (отрицательной) формой, то в испытуемой точке (x01, x02, x03) будет собственный минимум (махимум).
Условия отсутствия экстремума
Квадратичная форма
aik ΔyiΔyk
называется неопределённой, если она способна принимать значения противоположных знаков.
Если квадратичная форма
aik ΔxiΔxk
будет неопределённой, то в испытуемой точке (x01, x02, x03) заведомо нет экстремума.
Пусть при Δxi=hi (i=1, 2, 3) форма
aik ΔxiΔxk
принимает положительное значение:
aik ΔhiΔhk > 0,
а при Δxi= i (i=1,2,3) – отрицательное:
aik Δ iΔ k < 0.
Положим сначала
Δxi=hit при t≠0 (i=1, 2, 3),
что отвечает передвижению вдоль по прямой, соединяющий точки (x01, x02, x03) и (x01 + h1, x02 + h2, x03 + h3). Тогда , вынося в
Δ = 1∕2 {
aik ΔxiΔxk + aik ΔxiΔxk}
за скобки t2, получаем
Δ = t2∕2 {
aik ΔhiΔhk + aik ΔhiΔhk}.
Первая сумма в скобках есть определённое положительное число
aik ΔhiΔhk > 0.
Во второй сумме коэффициенты стремятся к нулю при t→0, ибо при этом, очевидно, и все Δxi→0. Значит, при достаточно малом t, выражение в фигурных скобках (а с ним и вся разность Δ) становиться положительным, т. е. в точках упомянутой выше прямой, достаточно близких к (x01, x02, x03), будет
f(x1, x2, x3) > f(x01, x02, x03).
С другой же стороны, если взять
Δxi=
it при t≠0 (i=1, 2, 3),
т. е. передвигается вдоль другой прямой, соединяющий точку (x01, x02, x03) с точкой
(x01 + 1, x02 + 2, x03 + 3), то в ее точках, достаточно близких к (x01, x02, x03) окажутся
f(x1, x2, x3) < f(x01, x02, x03).
Этим доказано, что в испытуемой точке не может быть ни максимума, ни минимума.
Может случиться, что форма
aik ΔyiΔyk,
не будучи способна принимать значения разных знаков, всё же не является определённой, ибо обращается в нуль не только при нулевых значениях аргументов: в этом случае форму называют полуопределённой.
Случай, когда форма
aik ΔxiΔxk
оказывается полуопределённой, есть «сомнительный» случай. Зависимости от поведения высших производных, в этом случае может быть экстремум, может его и не быть. В частности, высшие производные должны быть привлечены и тогда, когда все производные второго порядка в испытуемой точке обращаются в ноль.
Наибольшие и наименьшие значения
Пусть функция u=f(x1, x2, x3) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D и, за исключением, быть может, отдельных точек, имеет в этой области конечные частные производные. По теореме Вейерштрасса, в этой области найдётся точка (x01, x02, x03), в которой функция получает наибольшее (наименьшее) из всех значений. Если точка (x01, x02, x03) лежит внутри области D, то в ней функция, очевидно, имеет максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка содержится среди «подозрительных» по экстремуму точек. Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция u может достигать и на границе области. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значения функции u=f(x1, x2, x3) в области D нужно найти все внутренние точки, «подозрительные» по экстремуму, вычислить значения функции в них и сравнить со значениями функции в пограничных точках области: наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области.
Использованная литература
- Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» том 1. – М.: Наука, 1970.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа». - М.: Наука, 1981.