Электронная пучков Пирса

     1. Введение 

     Формирование  электронных пучков обеспечивается специальными электронно-оптическими системами — электронными пушками. Оно может осуществляться как в чисто электростатических полях, так и в совмещенных электростатических и магнитных полях. Задача формирования электронных пучков ставится следующим образом: известны электрические и геометрические параметры потока, такие, как ток, скорость, форма и размеры поперечного сечения пучка, требуется определить форму электродов и конфигурацию магнитного поля, при которых обеспечивается формирование потока с известными параметрами.

     В настоящее время для решения задачи формирования используют два метода: метод анализа (метод проб и поправок) и метод синтеза.

     Метод анализа состоит в последовательном изменении геометрии электродов пушки и формы магнитного поля до тех пор, пока параметры формируемого пушкой пучка не будут близки к заданным. Этот процесс включает в себя следующие основные этапы: выбор исходного варианта геометрии пушки и конфигурации магнитного поля , траекторный анализ, по результатам которого определяются параметры формируемого пушкой пучка, внесение изменений в исходную геометрию и последующий траекторный анализ нового варианта и т. д. Нетрудно представить, что расчет пушек методом анализа представляет весьма трудоемкую операцию.

     В методе синтеза определение геометрии электродов и конфигурации магнитного поля, обеспечивающих формирование пучка с известными параметрами, осуществляется прямым способом без применения процесса подбора. Классическим примером синтеза является расчет электронных пушек с прямолинейными траекториями по Пирсу. Этот расчет базируется на использовании известных соотношений, описывающих движение одномерных потоков в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. В соответствии с методом Пирса из этого потока «вырезается» пучок конечного поперечного размера, остальная часть потока отбрасывается, а ее действие заменяется эквивалентным действием поля фокусирующих электродов. Эти электроды должны создавать вдоль границы пучка такое же распределение потенциала и его нормальной производной, которое существовало в исходном потоке.

     Методика  Пирса, первоначально разработанная  для потоков с прямолинейными траекториями, может быть использована и для расчета пушек, формирующих пучки с криволинейными траекториями.

     Метод синтеза включает в себя решение  двух задач : внутренней и внешней. Первая предусматривает решение системы уравнений, описывающих движение потока в гидродинамическом приближении, с целью установления соотношений, характеризующих электрические и геометрические параметры потока. Вторая — определение конфигурации электрических полей вне пучка с целью определения формы фокусирующих электродов, обеспечивающих данное движение.

     В настоящее время на практике используется два варианта синтеза электронных пушек.

     В первом варианте используется какое-либо известное частное решение системы  уравнений потока, дающее поток с  известными геометрическими и электрическими характеристиками (например, поток с прямолинейными траекториями в пушках Пирса). В этом случае характеристики потока известны, хотя, может быть, и не всегда полностью отвечают требованиям решаемой практической задачи.

     Второй  вариант синтеза предусматривает  нахождение такого решения внутренней задачи, которое наиболее полно отвечает требованиям в отношении электрических и геометрических параметров пучка. Однако при решении внутренней за дачи в такой постановке не следует забывать о том, что количество условий, которым можно подчинить искомое решение, ограничено характером решаемой математической задачи.

     Поэтому нельзя пытаться найти решение, удовлетворяющее одновременно нескольким произвольно заданным условиям, таким, как форма траекторий, распределение потенциала и плотности тока. Короче говоря, условия, налагаемые на решение, должны быть корректно заданными, ибо в противном случае задача может оказаться некорректно поставленной, например переопределенной.

     Типичная  задача электронной оптики состоит  в определении характера движения электронов в потоке, формируемом электродами заданной конфигурации, обычно без учета пространственного заряда. Путем последующего изменения формы и рас положения электродов добиваются требуемых параметров электронного пучка. Часто желательно бывает решить обратную задачу: определить геометрические формы, расположение электродов и потенциалы на них, считая известными физические параметры пучка.

     В числе первых задач такого рода оказались задачи, связанные с расчетом пушки Пирса. Поток, формируемый этой пушкой ,получил наименование потока Ленгмюра. Траектории электронов в потоке Ленгмюра прямолинейны и в простейшем случае начинаются с плоского катода. Электроды для такого простейшего случая были рассчитаны Пирсом теоретически.

     Попытки аналитического расчета электродов для других случаев потока Ленг мюра имели переменный успех до тех пор, пока не появилась подробная статья Рэдли по этому вопросу. Применявшиеся вначале методы расчета, основанные на последовательных приближениях или численном интегрировании, были сомнительны и не всегда давали хорошие результаты.

     В работе Рэдли со держится обзор методов расчета и результатов (со ссылками на литературу), полученных до 1957 г. В 1957 г. Ломаке раз работал точный теоретический метод, который позволяет рассчитывать электроды по заданному распределению поля на границе ленточного пучка, бесконечно протяженного в третьем направлении. Рэдли в 1958 г. развил метод, основанный на решении интегральных уравнений для определения потенциала в случае, когда границами потока являются координатные линии системы координат, в которой можно разделить переменные в уравнении Лапласа. Наконец, Харкер в 1960 г. предложил изящный и мощный метод решения осесимметричных задач при тех же граничных условиях, какие рассматривались Ломаксом для плоских задач.

     Ограниченный  успех некоторых ранних аналитических методов решения задачи расчета электродов обусловлен тем, что уравнение Лапласа решалось при несовместимых граничных условиях. Корректно поставленной краевой задачей для решения эллиптического дифференциального уравнения в частных производных (уравнение Лапласа) является та задача, в кото рой на замкнутой границе задается некоторая комбинация искомой функции и ее нормальной производной.

     Такую задачу можно решить численно методами релаксации. Неудовлетворительные результаты, полученные, при решении уравнения Лапласа, когда граничные значения потенциала и нормаль ной составляющей напряженности поля задаются на открытой поверхности (граничные условия Коши), объясняются теоретической неустойчивостью данного решения, полученного численными методами. Под неустойчивостью здесь мы понимаем не равномерную сходимость решения разностного уравнения, вы веденного из такого дифференциального уравнения, к какой-то определенной функции при неограниченном уменьшении размера разностей. Эта особенность, служит причиной того, что прямое интегрирование от границы потока имеет неопределенную область справедливости.

     Поэтому существует необходимость разработки методов, позволяющих либо аналитически рассчитать конструкцию электродов, либо представить задачу в форме, поддающейся непосредственному численному решению. В данной главе излагается несколько различных методов решения. Уравнения для требуемой потенциальной функции выводятся в ходе обсуждения этих методов. Некоторое внимание уделено также численным способам решения, которые приходится использовать для определения конфигурации электродов. Так, например, метод Харкера, приводит к гиперболическому дифференциальному уравнению в частных производных. Решение такого дифференциального уравнения путем перехода к разностным уравнениям достаточно полно описано в книгах по численным методам.

     Чисто теоретические решения дают конфигурацию электродов, из которых практически трудно изготовить нужные системы формирования. Задачу отыскания более приемлемых в практическом отношении конфигураций электродов лучше решать приближенными, чем точными аналитическими методами. Такие приближенные методы рассматриваются в следующих двух главах. Как правило, точные теоретические методы удобнее применять к сложным уравнениям; приближенные же методы, эффективнее при более сложных граничных условиях. Предпринимались попытки решить внутренние граничные задачи, прибегая к анализу Фурье в одномерном направлении. Положительные результаты достигались при этом только в случае прямоугольных или других простых границ. Рассчитать же электроды точными теоретическими методами так, чтобы поля в окрестности пучка не изменялись, весьма затруднительно.

     Из  неустойчивости решений уравнений  Лапласа и Пуассона при граничных  условиях Коши вытекает еще одно следствие. В высокопервеансных электронных пушках длина пушки имеет тот же порядок величины, что и ширина. Теоретически рассчитанные электроды обычно проходят через поток, что возможно практически только при использовании сеток. Но во многих применениях сетки использовать нельзя, так как они перехватывают часть электронов и имеют низкую теплопроводность, вследствие чего при больших мощностях сетки легко могут расплавиться. Более того, чтобы точно синтезировать потенциалы в сечении потока, сетка должна быть мелкоструктурной, что усугубляет проблему токораспределения. Но и в случае использования сеток любое отклонение формы электродов от теоретической  вызывающее лишь небольшие изменения на границе потока , может сильно повлиять на поле внутри потока и привести к серьезным ошибкам в оценке электронной эмиссии катода. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2. Общая схема системы  формирования интенсивных  электронных пучков. 

     Практически в любом случае систему, формирующую  электронный пучок, можно, хотя и  несколько условно, разделить на четыре основные (рис. 1) области:

     I — область электронной пушки,  состоящей из катода 1, фокусирующего  электрода 2 и анода 3, в электрическом  поле, которой, происходит первоначальное  формирование пучка.

     II — область пролетного канала (пролетной трубы) 4, в котором  могут располагаться резонаторы, например в случае клистрона, или отклоняющие устройства, например в случае сварочной установки. В этой же области располагается в случае необходимости и так называемая поперечно-ограничивающая, «фокусирующая» система 5. Конструкции таких систем довольно многообразны. В частности, она может представлять собой длинный соленоид. Ее назначение — создать магнитное или электрическое поле, препятствующее расширению электронного пучка в пролетной трубе.

     В случае достаточно большой длины  пучка это очень важно, чтобы не допустить оседания значительной части тока пучка на стенках трубы, т. е. обеспечить хорошее токопрохождение. В частном случае (на пример, отражательные клистроны) этой системы может и не быть.

     III — приемник или коллектор пучка  6, который может быть как «пассивным», т. е. служить подобно аноду в электронной лампе для отвода электронов пучка из прибора, так и «активным». В последнем случае основной эффект, ради которого создается прибор и формируется пучок, происходит именно на приемнике, на пример плавка или сварка.

     И, наконец, IV область — переходная между пушкой и поперечно-ограничивающей системой, поля в которой должны быть такими, чтобы обеспечить согласованное действие I и II областей. Как правило, переходная область является важнейшей с точки зрения формирования пучка, хотя, в случае если поле поперечно-ограничивающей («фокусирующей») системы простирается до катода пушки, этой области может и не быть. 

     2.1. Основные типы пучков 

     Конфигурация  встречающихся на практике пучков может  быть весьма разнообразной. Однако, хотя и несколько условно, можно из них выделить пучки наиболее типичной формы. В первую очередь это сплошные аксиально-симметричные пучки, поперечное сечение которых имеет вид круга. Такие пучки могут быть как цилиндрическими (рис. 2-а), так и коническими, т. е. сходящимися (рис. 2-б).

     Все больший интерес проявляется к трубчатым пучкам (цилиндрическим и коническим), поперечное сечение которых представляет собой кольцо (рис. 2-в, г).

     Следует указать также на ленточные или  плоские электронные пучки, сечение  которых представляет собой прямоугольник, одна сторона которого значительно  боль ше другой. Такие пучки также могут быть параллельны ми или сходящимися — клиновидными (рис. 2-д,е).

     Ввиду наибольшей распространенности аксиально-симметричных пучков в дальнейшем рассмотрении им будет уделено основное внимание. Другие типы пучков рассматриваются менее подробно. Ко всем типам пучков могут быть предъявлены некоторые общие требования, а именно:

     1. Вполне определенный ,часто возможно более высокий, микропервеанс, который в настоящее время достигает единиц мка/в3/2. Это отражает стремление получить пучки с возможно большим током при пониженных напряжениях.

     2. Форма пучка должна, возможно, лучше соответствовать заданной для того, чтобы его можно было пропустить через пролетную трубу без потерь тока и часто так, чтобы границы

     Пучка, были возможно ближе к ее стенкам.

     При рассмотрении пучков мы будем, за исключением  специально оговоренных разделов, предполагать:

     Параксиальность траекторий электронов в пучке.

     Ламинарноcть пучков. Это значит, что траектории отдельных электронов в пучке не пересекаются и пучок в целом имеет четкую границу, очерченную траекториями крайних электронов. Равномерность распределения плотности объемного заряда в пучке. Отсутствие начальных тепловых скоростей электронов на катоде.

     Отсутствие  релятивистских эффектов, в частности  магнитных полей, создаваемых движущимися электронами.

     Указанные предположения в той или иной степени на практике не реализуются. Однако, как показывает опыт, они  весьма близки к действительности и существенно облегчают рассмотрение основных характеристик пучков и систем их формирования. 

     2.2. Принцип построения пушек Пирса 

     Наибольшее  распространение получили так называемые пушки Пирса, принцип построения которых заключается в следующем.

     Если  рассмотреть диоды с идеальной геометрией, а именно плоский, сферический или цилиндрический (рис. 3), и выделить из всего электронного потока в них определенную часть требуемой конфигурации, как это показано на рисунке, то мы получим в зависимости от формы диода аксиально-симметричный или ленточный параллельный или сходящийся пучок.

     При этом влияние отброшенной части  электронного потока на оставшуюся должно быть заменено эквивалентным влиянием некоторого электрического поля, которое, будучи созданным в пространстве, окружающем пучок, должно удовлетворять двум условиям:

     1. Распределение потенциала вдоль  границы пучка должно остаться  прежним, соответствующим распределению поля в выбранном исходном диоде.

     2. Напряженность поля, нормальная  к границе пучка, должна быть  равна нулю, т. е. должны отсутствовать  силы, приводящие к расширению  пучка.

     Определив поле, отвечающее этим требованиям, не обходимо рассчитать или подобрать конфигурацию электродов, из которых один имеет потенциал катода и по форме совпадает с пулевой эквипотенциалью поля, а другой имеет потенциал анода и совпадает по форме с эквипотенциалью, соответствующей анодному напряжению Ua. Тогда указанная система электродов образует требуемый электронный пучок с прямолинейными траекториями.

     Такого  типа пушки и получили название пушек  Пирса или однопотенциальных пушек, а принцип, положенный в их основу, иногда называют принципом прямолинейной оптики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     3. Пушки Пирса с  параллельным пучком 

     Для безграничного плоского диода (рис.3-а) соотношение между плотностью тока, напряжением и рас стоянием от катода z имеет вид :

       (3.1)

     В плоскости анода при z = d, U = Ua, и, следовательно, распределение потенциала между электродами подчиняется выражению

       (3.2)

     Таково  должно быть, как указывалось, и распределение потенциала вдоль границы пучка.

     Поле, удовлетворяющее сформулированным выше условиям, может быть рассчитано или, что часто и делается, определено с помощью электролитической ванны.

     Для этого берется мелкая горизонтальная (в случае пушки, формирующей ленточный  пучок) или наклонная (в случае аксиально-симметричного  пучка) электролитическая ванна, в  которую помещаются модели электродов и пластинка из диэлектрика, имитирующая границу пучка (рис. 4). Очевидно, что эта пластинка моделирует границу пучка, на которой нормальная к ней составляющая напряженности поля равна нулю, так как направление тока в электролите у ее поверхности может быть только параллельным этой поверхности. Таким образом, второе условие выполняется автоматически. Выполнение первого условия, а именно соответствия распределения поля вдоль границы пучка выражению (3.2), можно добиться подбором формы электродов.

     Полученная  при этом в ванне совокупность эквипотенциалей и будет представлять собой искомое поле, обеспечивающее формирование параллельного ленточного или аксиально-симметричного пучка. Картины полей для обоих случаев приведены на рис. 5. В обоих случаях нулевая эквипотенциаль представляет собой поверхность, сечение которой плоскостью симметрии дает вблизи катода прямую, подходящую к границе пучка под углом 67,5°, а остальные эквипотенциали имеют более сложную форму и подходят к границе пучка под прямым углом.

     Рис. 4. Электролитические  ванны для моделирования  электронных пучков 

     а— мелкая плоская ванна;

     б — мелкая наклонная ванна;

     1 — анод;

     2 — фокусирующий электрод;

     3 — диэлектрик.

     Если  теперь электродам пушки, имеющим потенциалы катода и анода, придать форму соответствующих эквипотенциалей, то созданное ими поле сформирует требуемый электронный пучок. На практике обычно не требуется изготавливать электроды, на всем протяжении совпадающие с рассчитанной эквипотенциалью. Достаточно выдержать их форму вблизи границы пучка.

     Если  заданы напряжение Ua, ток пучка I, а также его поперечный размер на выходе из пушки, то тогда расчет пушки сводится к определению расстояния анод— катод d. Площадь катода SК легко определить по заданным размерам пучка, что позволяет оценить плотность тока на катоде j.

     Далее из (3.1)

     и искомое

      (3.3)

     Следует иметь в виду, что наличие отверстия  в аноде пушки приводит, как можно видеть, к образованию типичной рассеивающей линзы-диафрагмы (аксиально-сим метричной или цилиндрической).

     В первом случае ее фокусное расстояние равно:

       (3.4)

     во  втором:

       (3.5)

     Полагая, что напряженность поля справа от анода Еb равна нулю, и находя Еа дифференцированием выражения (3.2), находим:

     fa = -3d (3.4а)

     fa = -1,5d (3.5а)

     Следовательно, рассматриваемые пушки будут  давать на выходе, если не принимать дополнительных мер, расходящиеся пучки с углами расхождения γ, определяющимися из выражений:

       (3.4б)

     (для  аксиально-симметричного пучка);

       (3.5б)

     (для  ленточного пучка), где rа — радиус анодного отверстия, а xа—половина высоты анодной щели.

     Поэтому такие пушки применяют обычно в комбинации с поперечно-ограничивающей (фокусирующей) системой, действие которой может начинаться непосредственно с катода.

     Отметим, что в пушках с параллельным потоком  плотность тока в пучке равна  плотности тока на катоде, а сам  катод по всей площади подвергается бомбардировке ионами остаточных газов, что снижает его долговечность.

     Рис.5 Характерная картина  поля в пушках Пирса. а — для ленточного пучка; б — для аксиально-симметричного пучка. 
 

     Рис. 6 Схематический вид  электродов пушек  Пирса, формирующих ленточный (а) и цилиндрический пучки (б). 1 — пучок; 2 — фокусирующий электрод; 3 — анод. 

     Электронные пушки способны создать на выходе параллельные, либо сходящиеся или расходящиеся электронные пучки. При этом, проходя через анодное отверстие пушки, пучки вы ходят из области действия ее поля и попадают в пролетный канал, потенциал, в области которого U будем считать постоянным и равным потенциалу анода пушки ,следовательно, в пучке будут действовать только силы взаимодействия между электронами самого пучка, т. е. он будет двигаться в поле, созданном собственным объемным зарядом.

     Очевидно, что это поле будет приводить к расширению пучка, и, кроме того, потенциал на его границе не будет равен потенциалу внутри пучка. Оценим действие пространственного заряда в основных типах пучков, начиная с более простого случая — ленточного пучка. 
 
 

     3.1. Формирование параллельного ленточного  пучка. 
 

     Электронная пушка, формирующая параллельный ленточный  пучок, может быть создана путем  использования части плоскопараллельного  потока, который характеризуется  соотношениями:

     U = Az4/3,

     j = 2,33×10-6U3/2/z2

     где z — продольная координата, отсчитываемая  от катода (рис. 5-1);

     А = Ua/d4/3при z = d, U =Ua.

     Рис. 7. Параллельный ленточный  пучок электронов. Граничные условия 

     Если  из такого потока вырезать слой толщиной 2уп, то для со хранения характера движения электронов в этом слое необходимо, чтобы на его границах выполнялись условия при у = 0:

     U = Az4/3, dU/dy = 0

     Для определения формы фокусирующих электродов, которые обеспечивали бы требуемое распределение потенциала вдоль границы потока, необходимо решить задачу Коши для уравнения Лап ласа в области, внешней к потоку, при начальных условиях (5-3). Искомое решение может быть найдено аналитическим продолжением функции U = Az4/3 в плоскость комплексного переменного z + iy = rеiq (см. § 2-3):

     Это выражение позволяет определить форму эквипотенциальных поверхностей в области, внешней к потоку, а следовательно, и форму фокусирующих электродов. Так, эквипотенциальная поверхность U = 0 определяется соотношением;

      ;  ;  %,

     т. е. эквипотенциальная поверхность  нулевого потенциала представляет собой  плоскость, наклоненную к границе  потока под углом 67,5°. Форма эквипотенциальных  поверхностей с другим значением  потенциала определяется соотношением:

     и приводится на рис. 8.

     Рис. 8. Форма эквипотенциальных  линий, получающихся в результате расчета  внешней задачи для  параллельного ленточного пучка электронов и потенциалов: —0,25 Ua (кривая 1); —0,1 Ua (2); —0,05 Ua (3); 0 (4); 0,25 Uа (5); 0,5 Uа (6); Ua (7) 

     Если  прикатодному фокусирующему электроду и анодному электроду придать форму найденных эквипотенциален и задать для каждой соответствующий потенциал, то будет обеспечено получение параллельного электронного потока конечной толщины 2уп, при этом ширина пучка (размер в направлении оси х) предполагается бесконечной.

     С определенным приближением полученные результаты могут быть использованы и для электронных потоков конечной ширины, в том случае когда хп >> 2уп и краевые эффекты не оказывают значительного влияния. Когда уп и хп имеют примерно одинаковую величину, необходимо определять систему электродов, которая обеспечивала хотя бы приближенное выполнение граничных условий рассмотренного выше вида вдоль обеих граничных плоскостей (хz и yz). Эта задача существенно сложнее рассмотренной выше.

     При заданных значениях Ua, d, уп и хп величина тока в ленточном потоке найдется из закона «степени 3/2»: