Электростатика

Тема:

            Электростатика

 

§ 1. Электрический  заряд и его дискретность 

   Электродинамика – раздел учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов или макроскопических  заряженных тел.

   Еще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть, притягивает легкие предметы. Английский врач Джильберт (конец XVI в.) назвал тела, способные после натирания притягивать легкие предметы, наэлектризованными.

   Существует только два типа электрических зарядов: заряды, подобные возникающим на стекле, потертом о кожу (их назвали положительными), и заряды, подобные возникающим на эбоните, потертом о мех (их назвали отрицательными}. Одноименные заряды друг от друга отталкиваются, разноименные – притягиваются.

  Электрический заряд дискретен, т. е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда е. ( ). Электрон ( ) и протон ( ) являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.

   Все  тела в природе способны электризоваться, т. е. приобретать электрический заряд. Всякий процесс заряжения сводится к разделению зарядов, при котором на одном из тел (или части тела) появляется избыток положительного заряда, а на другом (или другой части тела) – избыток отрицательного заряда. Общее количество зарядов обоих знаков, содержащихся в телах, не изменяется: эти заряды только перераспределяются между телами.

В 1843 г. английским физиком  М. Фарадеем (1791 —1867), был установлен фундаментальный закон природы:

     Закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.

     В зависимости  от концентрации свободных зарядов  тела делятся на проводники, диэлектрики  и полупроводники.

     Проводники — тела, в которых электрический заряд может перемещаться по всему его объему.

    Диэлектрики – тела, в которых практически отсутствуют свободные заряды.

    Полупроводники занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.

   Указанное деление тел является весьма условным.

   Единица электрического заряда – кулон (Кл) – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с.

 

   В истории развития  физики имела место борьба  двух теорий: дальнодействия и близкодействия. В теории дальнодействия принимается, что электрические явления определяются мгновенным взаимодействием зарядов на любых расстояниях. Согласно теории близкодействия, все электрические явления определяются изменениями полей зарядов, причем эти изменения распространяются в пространстве от точки к точке с конечной скоростью. Применительно к электростатическим полям обе теории дают одинаковые результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Переход же к явлениям, обусловленным движением электрических зарядов, приводит к несостоятельности теории дальнодействия, поэтому современной теорией взаимодействия заряженных частиц является теория близкодействия.

 

   Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

   Закон  Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

                                                                      

 

                                                           

                                      

     В векторной форме  закон Кулона имеет вид

                                                           

где k коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

 

В СИ коэффициент пропорциональности равен

                                                          

 Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде:

                                                        

 

Величина  называется электрической постоянной; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна

                                                 

или

                                                 

где фарад - единица  электрической  емкости.

 

 

§2.Электростатическое поле, его характеристики.

   Если в пространство, окружающее  электрический заряд, внести другой  заряд, то на него будет действовать  кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле. В данном случае говорят об электрическом поле – поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды.

  Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

 

                                                      .

в вакууме    

                                                 ,

 

                                                           .

 

 Направление вектора  совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.                                                                                                                    

                                                                           

                                                       +           

                                                               

                                                                      

 

   Единица напряженности электростатического  поля – ньютон на кулон (Н/Кл) : 1 Н/Кл – напряженность такого  поля, которое на точечный заряд  1 Кл действует с силой в  1 Н; 1 Н/Кл =1 В/м. 

   Графически электростатическое  поле изображают с помощью  линий напряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора .

                                                         

                                                                                                      

 

 

 

 

 Линиям напряженности приписывается  направление, совпадающее с направлением  вектора напряженности. Так как  в каждой данной точке пространства  вектор напряженности имеет лишь  одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются.

 

 

 

 

 

 

  Рассмотрим определение значения  и направления вектора напряженности  в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов

  К кулоновским  силам применим рассмотренный  в механике принцип независимости  действия сил, т.е. результирующая  сила  , действующая со стороны поля на пробный заряд , равна векторной сумме сил – приложенных к нему со стороны каждого из зарядов

                                                           

  и , где - напряженность результирующего поля, а напряженность поля, создаваемого зарядом . Получим

                                                            

Формула выражает принцип суперпозиции электростатических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

                                                                                             

                                                                      А           

                                                                              

 

 

                                                                    

 

§3. Электрический диполь

    Электрический  диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.

          Q                         Q

         

                                           

 

     Вектор  , направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя.

    Вектор, совпадающий   по  направлению  с   плечом  диполя   и   равный произведению  заряда  на плечо , называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом.               

                                                       

Согласно принципу суперпозиции, напряженность  поля диполя в произвольной точке

                                                     

где и - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.

 

 

 

 

 

 

§4. Теорема  Гаусса 

     Чтобы с  помощью линий напряженности  можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой. Число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора . Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль которой образует угол с вектором , равно , где – проекция вектора на нормаль к площадке dS .

 

                                                         

                                                      

                                                     

                                                           

                                              

       Величина  называется потоком вектора напряженности через площадку dS. Единица потока вектора напряженности электростатического поля 1 .

      Для произвольной  замкнутой поверхности S поток  вектора  через эту поверхность , где интеграл берется по замкнутой поверхности S.

      Вычисление напряженности  поля системы электрических зарядов  с помощью принципа суперпозиции  электростатических полей можно  значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.

 

 

                                                                              

                                                                     

                                                                    

                                                                          

 

                                                                

 

 

 

 

 

  Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре              

 

 

                             .

 Этот результат справедлив  для замкнутой поверхности любой  формы.                                                           

 

 

                                                            

 

 

 

 

 

                                                    

                                                              

                                                             

Таким образом, для поверхности  любой формы, если она замкнута и  заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора  будет равен , т. е.

                                      

Теорема Гаусса для электростатического  поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять  единичный точечный положительный  заряд, то элементарная работа сил поля на пути равна , где – проекция вектора на направление элементарного перемещения. Тогда можно записать

                                                    .

Интеграл  называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

 

Рассмотрим применение теоремы  Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме:

1. Поле равномерно заряженной  бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость  заряжена с  постоянной поверхностной плотностью ( – заряд приходящийся на единицу поверхности).

        

 

 

                                              S

                                   

                                                                     

 

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен . Согласно теореме Гаусса , , откуда

                                             

2.Поле   двух   бесконечных   параллельных разноименно заряженных  плоскостей

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными  зарядами  с поверхностными   плотностями и .

 

                                                      

 

 

                              

 

 

 

 

                                                 

Поле таких плоскостей найдем как  суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке  верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей  поля  вычитаются   (линии   напряженности

направлены   навстречу   друг   другу),   поэтому здесь   напряженность   поля  E = 0.   В   области между   плоскостями   результирующая напряженность .

Таким образом, результирующая напряженность  поля в области между плоскостями  описывается формулой , а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

3.Поле равномерно заряженной  сферической поверхности.

 Сферическая поверхность радиуса  R с общим зарядом Q заряжена  равномерно с поверхностной плотностью  .

 

 

 

 

     

                                                                                    

                                                                                 

                                                                   

                                                                   

 

 

                                                                       

 

Благодаря равномерному распределению  заряда по поверхности поле, создаваемое  им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности  направлены радиально. Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса откуда

                                             ( ).

При r>R поле убывает с расстоянием  r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен ниже.

                   

                      

 

 

 

 

 

                                                         

 

 

                                                                    

                                                          

                                               

                                              

 Если r' < R, тo замкнутая поверхность  не содержит внутри зарядов,  поэтому внутри равномерно заряженной  сферической поверхности электростатическое  поле отсутствует (Е = 0).

4.  Поле объемно заряженного  шара.

   Напряженность поля вне  равномерно заряженного шара описывается формулой :

                                            ( ),

 а внутри его  изменяется линейно с расстоянием  согласно выражению     ( ).

График зависимости  Е от r приведен ниже.

 

                        

 

 

 

 

 

                                                 

 

 

                                                                 

                                                           

 

 

 

 

§5.Работа перемещения заряда в электростатическом поле.

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд  , то сила, приложенная к заряду, совершает работу.

                                                                             

 

                                                                                           2

                                                  1                 

                                                                            

                                                                   

                                                                  

 

                                                                      

 

 

 

                                                           

                                                                     

 Работа силы  на элементарном перемещении dl равна                                                                    

                         .

 

Так как  , то .

Работа   при   перемещении   заряда     из точки 1 в точку 2

                  

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями  начальной 1 и конечной 2 точек.

Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.

                                                      .

  Силовое поле, обладающее свойством

                                                      ,

называется потенциальным. Из обращения  в нуль циркуляции вектора  следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах или же уходят в бесконечность.

Формула               

                                              

 справедлива только для электростатического  поля.

 

§5. Потенциал электростатического  поля и его связь с напряженностью

Тело, находящееся в электростатическом поле обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается  работа. Работу сил электростатического  поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд  в начальной и конечной точках поля заряда Q:

                               ,

 

откуда следует, что потенциальная  энергия заряда в поле заряда Q равна

                                            .

 

Работа определяется с точностью  до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность ( ) потенциальная энергия обращается в нуль (U = 0), то С = 0 и потенциальная энергия заряда , находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна

                                               .

Для одноименных зарядов  и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой n точечных зарядов , то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности.

Потенциальная энергия U заряда , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

                                            .

Вытекает, что отношение U/ не зависит от и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

                                            

Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

                                         .

Работа, совершаемая силами электростатического  поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

                                   ,

  Разность потенциалов двух  точек 1 и 2 в электростатическом  поле определяется работой, совершаемой  силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

                                  ,

                                  ,

                                         ,

 

                                         .

 

Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Единица потенциала – вольт (В): 1 В  есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В=1 Дж/Кл).

   Работа по перемещению  единичного точечного положительного  заряда из одной точки в  другую вдоль оси х при условии,  что точки расположены бесконечно  близко друг к другу и  , равна . Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

                                                        ,

где символ частной производной  подчеркивает, что дифференцирование  производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор :

                                               ,

где , , – единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что

                                              , или

т. е. напряженность  поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.