Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе

ВВЕДЕНИЕ

Изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей продиктовано самой жизнью. Современной России нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях и производственной деятельности. Вероятностный характер многих явлений действительности во многом определяет поведение человека. Дети должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать разнообразную, порой противоречивую информацию, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать степень риска и шансы на успех.

Изучение комбинаторики и теории вероятностей влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Ее идеи, метода и результаты не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи. Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются более сложным закономерностям, невозможно полноценно работать в физике, химии, биологии, управлять производственными процессами. А, следовательно, данная тема актуальна и нуждается в рассмотрении.

На различных олимпиадах задания предполагающие нахождение вероятности встречаются часто. Так же всем учащимся девятого класса предстоит сдавать экзамен по математике, а среди предлагаемых заданий имеются такие, в которых необходимо найти вероятность некоторого события. Решением данной проблемы может служить создание элективного курса по изучению элементов комбинаторики и теории вероятностей. Курс должен сформировать соответствующие практические ориентиры, вооружать учащихся, как общей вероятностной интуицией, так и конкретными способами оценки данных.

Цель исследования моей курсовой работы: проанализировать содержание учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики, теории вероятностей», разработка элективного курса  «Элементы комбинаторики и теории вероятности». Программа курса своим содержанием сможет привлечь тех учащихся, которым интересна математика и её приложения и которым захочется глубже и основательнее подготовится к сдаче экзаменов.

Объектом изучения являются элементы комбинаторики и теории вероятностей, а предметом методика изучения этих тем в школьном курсе.

Курсовая работа состоит из одной главы, которая подразделяется на два пункта: «Анализ содержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики и теории вероятностей»» и «Технология элективного курса». Последний пункт подразделяется ещё на два подпункта: «Пояснительная записка» и «Содержание занятий элективного курса». В пункте «Анализ содержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики и теории вероятностей»» рассматриваются учебные пособия различных авторов. Говоря о каждом учебнике, рассматривается структура изложения по данной теме. Пункт «Технология элективного курса» содержит пояснительную записку к элективному курсу «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», в которой излагаются цели и задачи курса, формы работы, формы контроля, ожидаемые результаты, примерное распределение аудиторной нагрузки по темам. После рассматривается каждое занятие в отдельности. Вначале дается методическая рекомендация к занятию, а после содержание самого занятия.

1 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ

1.1  Анализ содержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики и теории вероятностей»

Концепция введения комбинаторики, теории вероятностей и статистики, предложенная авторами учебников и учебных пособий несколько различна. Авторы разных пособий по разному подходят к изучению теории вероятности: в одних учебниках на первый план выдвигаются вероятностные понятия, в других - статистические, в третьих - все понятия рассматриваются отдельно, не прибегая к перемешению.

1. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев «Вероятность и статистика».

Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности. Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводятся статистическое определение вероятности, а затем и классическое.

В пункте «вероятность и комбинаторика», рассматриваются правило умножения, правило вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте «точка тоже бывает случайной» речь идет о геометрическом определении вероятности.

В последнем пункте «сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.

2. Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев «Алгебра для 8 класса», «Алгебра для 9 класса», «Алгебра и математический анализ 11 класс» под редакцией С. И. Шварцбурд.

В 8 классе дана большая глава «Элементы теории множеств».

В 9 классе есть глава «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». Эта глава состоит из двух параграфов. В §1 «Основные понятия комбинаторики» рассказывается о правилах суммы и произведения, а также о размещениях, перестановках и сочетаниях. Во §2 «Понятие вероятности события» говорится о частоте и вероятности (даётся статистическое определение вероятности события), затем об опытах с конечным числом равновозможных исходов, затем речь идёт об исходах и событиях, потом о подсчёте вероятностей в опытах с равновозможными исходами (классический подход), и заканчивается глава параграфом операции над событиями и алгебраические действия с вероятностями.

В 11 классе изучаются 2 главы: «Элементы комбинаторики», «Элементы теории вероятностей». Глава «Элементы комбинаторики» содержит 3 параграфа. В §1 «Множества, кортежи, отображения» рассматриваются множества и операции над ними, отображения множеств, разбиение множеств на подмножества, кортежи, декартово произведение множеств. В §2 «Основные законы комбинаторики» изучение правил суммы и произведения вводятся на языке теории множеств. В §3 «Основные формулы комбинаторики» рассматриваются размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Глава «Элементы теории вероятностей» содержит два параграфа. В §1 «Вычисление вероятностей» изучается вероятность событий, алгебра событий, теоремы сложения. В §2 «Независимые испытания» уделяется внимание геометрической вероятности, условной вероятности, независимым случайным событиям, формуле Бернулли и закону больших чисел.

Материал изложен глубоко и предназначен для учащихся в классах с углубленным изучением математики.

3. «Математика 5 класс», «Математика 6 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ш. Шарыгина; «Математика 7 класс», «Математика 8 класс», «Математика 9 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева.

5 класс  начинается с комбинаторики, где  на конкретных задачах и примерах  рассматривается решение комбинаторных  задач методом перебора возможных  вариантов. Этот метод иллюстрируется  с помощью построения дерева  возможных вариантов. Примеры и  задачи очень простые, позволяющие  на этапе знакомства с комбинаторными  задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных  вариантов.

В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.

В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт «Опрос общественного мнения», где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни

6 класс  начинается с повторения таблиц  и диаграмм. Повторяют уже изученные  столбчатые диаграммы и более  подробно рассматривают круговые (для представления соотношения  между частями целого).

Далее идут два параграфа по комбинаторике: «Логика перебора» и «Правило умножения». Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.

Завершается учебник главой «Вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие частота и вероятность случайных событий.

7 класс  начинается с рассмотрения основных  статистических характеристик: среднее  арифметическое, мода, размах, опять  же с множеством примеров из  жизни. В одном из параграфов  снова обращаемся к решению  комбинаторных задач, которые решаются  с помощью рассуждений. Рассматриваются  перестановки. И заключительная  глава продолжает рассматривать  вероятность и частоту случайных  событий.

В 8 классе сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7 классе, и вводится новая характеристика - медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом. Рассматриваются геометрические вероятности.

В учебнике 9 класса рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики. Рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического представления результатов - полигоны. Вводятся понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

В учебнике рассматриваются три примера статистических исследований, это реальные примеры близкие школьнику. Это вопросы: «Как исследуют качество знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?», «Куда пойти работать?». Учащийся видит применение знаний по статистике в реальных жизненных ситуациях.

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г  «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9». В 7 классе учащиеся знакомятся с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, мода, медиана, размах). Упражнения к параграфу можно разделить на 2 группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умений проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.

В 8 классе изучается следующий материал: статистические исследования, рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований – полигонами и гистограммами.

Наибольший объем материала приходится на 9 класс. Здесь есть два параграфа:

§1. «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:

• Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.
• Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.
• Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.
• Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

§2. «Начальные сведения из теории вероятностей».

Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.

5. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика. 5 класс», «Математика. 6 класс»; А.Г. Мордкович «Алгебра» (Часть 1. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Часть 2. Задачник для 9 класса общеобразовательных учреждений).

В 5 классе последняя глава «Введение в вероятность» содержит два параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.

В 6 классе авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.

9 класс: §1 посвящён множествам и операциям над ними. Следующий параграф посвящён комбинаторике. Начинается он с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки.

§3 посвящен статистике. Рассматривается группировка информации в виде таблиц. В этом разделе вводится много новых терминов, и авторы, оформили их в виде таблицы, где кроме определений идет еще и описание этих терминов. Дальше рассматривается таблица распределения и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана).

В §4 говорится о простейших вероятностных задачах. Даются определения вероятности, случайного, достоверного и невозможного события.

Вводится классическое определение вероятности.

Следующий параграф «Экспериментальные данные и вероятности событий», в котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится определение статистической вероятности.

6. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений».

В этом учебнике как приложение к главе 1 «Простейшие функции. Квадратные корни» даётся материал о множествах и операциях над ними.

Затем в дополнении к главе 4 «Системы рациональных уравнений» изложен материал о вероятности события (даётся определение вероятности, а также невероятных и достоверных событий), перестановках, размещениях и сочетаниях (даны определения и примеры).

1.2 Технология элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

1.2.1 Пояснительная записка

Данный элективный курс разработан в рамках предпрофильной подготовки для ориентации учебно-воспитательного процесса на удовлетворение потребностей учащихся в углублении их знаний, умений и навыков по математике и готовит обучающихся к переходу в старшем звене на профильный уровень обучения. Он предназначен для учащихся 9 класса обучающихся по учебнику Макарычева и рассчитан на 14 часов.

Цели и задачи курса:

• Способствовать подготовки учащихся к вступительному экзамену по математике;
• Способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции;
• Развитие интереса школьников к предмету;
• Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный вывод;
• Создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания.

В процессе изучения курса учащиеся должны:

• Получить знания о комбинаторике и основных элементах теории вероятностей;
• Овладеть умениями решать задачи практического характера.

В ходе изучения курса деятельность учащихся будет включать в себя:

• Участие в дискуссиях;
• Работа в группах по решению конкретной задачи;
• Индивидуальная, самостоятельная работа;
• Исследовательская деятельность.    

Формы контроля.

• Индивидуальное домашнее задание;
• Выступление с докладами;
• Защита исследовательской работы.

Ожидаемые результаты.

В результате изучения данного курса учащиеся должны:

• Знать основные понятия теории вероятностей и комбинаторики;
• Уметь вычислять вероятности событий, пользуясь различными определениями вероятности и формулами;
• Уметь интерпретировать полученные результаты;
• Уметь обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства;
• Уметь находить информацию по интересующей теме;
• Уметь выступать перед публикой.

Таблица 1.2.1.1 - Примерное распределение аудиторной нагрузки по темам (14часов)

1.2.2 Технология проведения занятий элективного курса

Методические рекомендации  к проведению занятия №1.

Форма проведения первого занятия по теме «Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов. Правила произведения и суммы» комбинированная. Первый час занятия следует провести в форме беседы. Необходимо дать понятие о таком разделе математики, как комбинаторика, познакомить учащихся с типами комбинаторных задач  и привести примеры нескольких комбинаторных задач для привития интереса к данному разделу. Следует указать примеры задач, где учитывается порядок элементов в комбинации и не учитывается. Закрепление знаний по первой части занятия следует осуществить через решение задач направленных на формирование умений учащихся систематическому перебору, составлению комбинаций с учетом и без учета порядка. Второй час необходимо посветить формированию знаний о правилах суммы и произведения. Объяснение темы следует провести в форме беседы. Требуется ввести правило суммы и произведения, сформулировать их на языке множеств и ввести эти же правила в случае пересекающихся множеств. Закрепление знаний следует осуществить через самостоятельную работу учеников с последующей коллективной проверкой.

Перед озвучиванием домашнего задания учащихся нужно разбить на 3 равносильные группы. Затем каждой группе дается одна из тем: перестановки (без повторений и с повторениями), размещения (без повторений и с повторениями), сочетания (без повторений и с повторениями). На следующем занятие каждая группа должна рассказать свою тему остальным группам с использованием презентации по единой схеме: определение → вывод формулы (доказательство) → пример.

Содержание занятия №1. «Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов. Правила произведения и суммы».

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому- химику при рассмотрении различных возможных типов связи атомов в молекулах, биологу при изучении различных возможных последовательностей чередования аминокислот в белковых соединениях, конструктору вычислительных машин, агроному, рассматривающему различные возможные способы посевов на нескольких участках, диспетчеру при составлении графика движения.

Различают следующие типы комбинаторных задач:

• Задачи, в которых требуется перечислить все решения.

Пример:

Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

• Задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию.

Пример:

Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

• Задачи, в которых требуется подсчитать число решений.

Пример:

Сколькими способами можно расположить в электрической цепи 7 различных приборов?

Процесс навыков подсчета комбинаторных объектов можно расчленить на три этапа в зависимости от времени обучения и методов подсчета:

• подсчет методом непосредственного перебора;
• подсчет с использованием комбинаторных принципов;
• подсчет с использованием формул комбинаторики.

Каждый из этих этапов готовит почву для формирования навыков следующих этапов. Поэтому на начальном этапе с учащимися нужно обязательно рассмотреть бесформульные методы.

Перебор всех возможных вариантов

Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий, поэтому на первом месте должна стоять задача по формированию навыков систематического перебора.

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входит Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.

Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Тут же необходимо пояснить учащимся, что в данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов, и привести пример задачи, где учитывается порядок элементов в комбинации.

Пример 2. Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Антон, 2-е – Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Следующая система задач направлена на формирование умений учащихся систематическому перебору, составлению комбинаций с учетом и без учета порядка. При работе учащиеся должны дать ответ на вопрос упорядоченная выборка или нет?

Задачи:

1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ и рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель.

2. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?

3. Стадион имеет 4 входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов? Существенен ли порядок?

4. В магазине продают кепки трех цветов: белые, красные и синие. Кира и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Перечислите их.

Второй этап формирования вычислительных навыков в решении комбинаторных задач связан с формированием правил суммы и произведения. Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+4=11 способами).

На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, A∩B=Ø, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A∩B=Ø =>

Может случиться также что множества А и В пересекаются, то ест содержат общие элементы.

В объединение двух множеств входят элементы каждый из которых входит или в множество А, или в множество В. Нетрудно догадаться, что элементы которые входят в состав и А, и В, будут отмечены единожды. Из этих утверждений делаем вывод что объединение двух множеств составляет разницу от суммы элементов каждого множества и количества общих элементов, или: