Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

ЭММ конфликтных управленческих ситуаций и их анализ с использованием аппарата теории игр

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………….…….….4

1. ЭММ конфликтных управленческих ситуаций и их анализ с использованием аппарата теории игр ……………………………………………………..……6

1.1 Понятие игровых моделей и их использование для решения управленческих задач ……………………………………………………...………………….6

1.2 Решение матричной игры в чистых стратегиях. Платежная матрица ..…12

1.3 Решение матричной игры в смешанных стратегиях …………………...…17

1.4 Игры с природой. Матрица рисков………………………………….……..21

2. Практическая часть………………………………………………...…………27

2.1 Задача 10………………………………………………………..…………….27

2.2 Задача 17……………………………………………………………………...30

2.3 Задача 27…………………………………………………………...…………34

Заключение…………………………………………………………………….…40

Список используемых источников………………………………………….….41

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем стимулирования. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений.

Это имеет большое значение при решении задач в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключении договоров с иностранными партнерами на любых уровнях. Так, с её помощью можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линий городского транспорта, задачу планирования порядка организации эксплуатации месторождений полезных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверке статистических гипотез.

Уже в момент ее зарождения, которым считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение”, многие предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эти прогнозы нельзя было считать излишне смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при принятии решений во взаимосвязанных ситуациях, что характерно для большинства актуальных проблем в экономических и социальных науках.

Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами.

Первые работы по теории игр отличались упрощенностью предположений и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для практического использования. За последние 10 – 15 лет положение резко изменилось. Бурный прогресс в промышленной экономике показал плодотворность методов игр в прикладной сфере. В экономике, например, оказался недостаточным аппарат математического анализа, занимающийся определением экстремумов функций. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных и максиминных решений. Следовательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

В последнее время эти методы проникли и в управленческую практику. Вполне вероятно, что теория игр наряду с теориями трансакционных издержек будет восприниматься как наиболее экономически обоснованный элемент теории организации. Всё это обуславливает актуальность данной темы курсового проекта.

Целью курсовой работы является обоснование эффективности применения теории игр в принятии управленческих решений. Основными задачами являются:

- рассмотрение основных понятий игровых моделей и их использования для решения управленческих задач;

- рассмотрение порядка решения управленческих задач в чистых и смешанных стратегиях;

- решение управленческих задач в случае игры “с природой”.

1. ЭММ КОНФЛИКТНЫХ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ И ИХ АНАЛИЗ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА ТЕОРИИ ИГР

1.1. Понятие игровых моделей и их использование для решения управленческих задач

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях — отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

В настоящий момент, если говорить об экономическом контексте, речь идет уже не только о применении теоретико-игровых методов к ставшим достаточно традиционными проблемам организации промышленности, но и ко всему многообразию экономической проблематики. На микроуровне- это модель процесса торговли (модели торга, модели аукционов). На промежуточном уровне агрегации изучаются теоретико-игровые модели поведения фирм на рынках факторов производства (а не только на рынке готовой продукции, как в олигополии). Теоретико-игровые модели возникают в связи с различными проблемами внутри фирмы. Наконец, на высоком уровне агрегации, с международной экономикой связаны модели, в которых, в частности, стратегическое взаимодействие рассматривается в контексте монетарной политики. Аппарат теории игр и теории равновесия послужил основой для создания современных теорий международной торговли, налогообложения, и общественных благ, монетарной экономики, теории производственных организаций [1].

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными [3].

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой — стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению [2]. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.

Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр.

Таким образом, теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Цель теории игр – помочь понимать и предсказывать экономические феномены.

Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл [1].

Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта.

Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.

Игра - это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры.

Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры - это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей). В дальнейшем будем рассматривать только такие игры, в которых выигрыш выражается количественно: стоимостью, баллами и т.д.

Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Стратегией игрока называется совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основное предположение, исходя из которого, находят оптимальные стратегии, состоит в том, что противник, по меньшей мере, так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на:

- конечные;

- бесконечные.

Всякая игра состоит из отдельных партий. Партией называется каждый вариант реализации игры определенным образом. В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы.

Ходом называется выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. Ходы бывают двух видов:

- личные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Например, в шахматах каждый ход является личным.

- случайные. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора, например с применением таблицы случайных чисел [5].

Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число игроков. Если в игре игроки объединяются в две группы, преследующие противоположные цели, то такая игра называется игрой двух лиц (парная игра).

В зависимости от количества стратегий в игре они делятся на:

- конечные

- бесконечные.

В зависимости от взаимоотношений участников различают игры:

-бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), их также называют некооперативные;

- коалиционные, или кооперативные.

По характеру выигрышей игры делятся на игры:

- с нулевой суммой;

- с ненулевой суммой.

Игрой с нулевой суммой называется игра, в которой общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш).

В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи.

По виду функции выигрыша игры делятся на:

- матричные;

- биматричные;

- непрерывные;

- выпуклые;

- сепарабельные и др.

Матричной игрой (при двух участниках) называется игра, в которой выигрыши первого игрока (проигрыши второго игрока) задаются матрицей [5].

В биматричных играх выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются видом аналитического выражения платежной функции.

По количеству ходов игры делятся на:

- одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода игрока);

- многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры в свою очередь бывают: а) позиционные, б) стохастические, в) дифференциальные и др.

В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией.

В реальных конфликтных ситуациях каждый из игроков сознательно стремится найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве допустимых для партнера ответных действий, но, не ведая о том, какое же конкретное решение будет выбрано им в данный момент. В этом в равной мере проявляется неопределенность ситуации для партнеров.

Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называются стратегическими.

Однако в экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры [7]. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином «природа» всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда статистиком, а соответствующую игру - статистической) приходится принимать решение. Например, выбор определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т.п. Здесь в качестве второго игрока выступает: в первом примере — в буквальном смысле природа; во втором — уровень спроса; в третьем — размеры ожидаемой прибыли.

В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает: если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх «природа», будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия, либо реализовывать такие состояния, которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

1.2. Решение матричной игры в чистых стратегиях. Платежная матрица

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, в которой имеется два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой [6]. Игра состоит из двух ходов:

игрок А выбирает одну из возможных стратегий , ,

игрок В выбирает одну из возможных стратегий , .

Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно и .

Цель игрока А - максимизировать величину , а игрока В - минимизировать эту величину.

Матрица, составленная из величин ,, , называется платежной матрицей, или матрицей игры.

(1)

Каждый элемент платежной матрицы ,, равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию , , а игрок В выбирал стратегию , .

Пример 1. В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1,2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действия):

(записать 1), (записать 2), (записать 3);

у второго игрока также три стратегии: , ,

Таблица 1. Платежная матрица.


0	-1	-2
1	0	-1
2	1	0

Задача первого игрока - максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока - минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока. Платежная матрица имеет вид

Задача каждого из игроков — найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны, и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию , , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш:

(2)

Величина - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия обеспечивающая получение выигрыша , называется максиминной.

Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше .

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии , в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию при которой его проигрыш будет минимальным и составит

(3)

Величина - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия , обеспечивающая получение проигрыша Д называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше .

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство

Если , т.е. (4)

то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Если , то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы , соответствующий паре оптимальных стратегий называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры [6].

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

нижняя цена игры.

верхняя цена игры.

Так как, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого игрока - , второго - . Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией [5].

Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов. Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, «крестики-нолики» и т.д.

Существует такое понятие, как мажорирование (доминирование) стратегий. Мажорирование представляет отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы:

А=

Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преимущество его третьей стратегии перед второй, поскольку при первой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -2 (вторая стратегия) и -0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее можно исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

А=

С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду: А= (0 0,5).

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается в проигрыше (0,5 - выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка [7].

Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.

В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно - пока не известно. И вряд ли будет известно в обозримом будущем, поскольку число стратегий в шахматах так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Как только седловая точка в такой игре найдена - она превращается в набор планомерных шагов.

1.3. Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. и, то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, называется смешанной.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

- игра без седловой точки;

- игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

- игра многократно повторяется в сходных условиях;

- при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

- допускается усреднение результатов игр.

В игре, матрица которой имеет размерность , стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей , с которыми игрок применяет свои чистые стратегии [7]. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых выполняются условия

(5)

Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы, для координат которых выполняются условия

(6)

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен:

(7)

Теорема 2 (Неймана. Основная теорема теории игр). Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: .

Применение первым игроком оптимальной стратегии должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры [2]. Поэтому выполняется соотношение:

(8)

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

(9)

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий. Таким образом, принцип мажорирования можно применить и в смешанных стратегиях.

Если элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов других строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных комбинаций соответствующих элементов других строк, то эту стратегию можно исключить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистых стратегий [2].

В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим матрицу игры:

А=

Для первых двух чистых стратегий игрока 1 возьмем частоты их применения (вероятности) равными 0,25 и 0,75.

Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклой комбинацией первой и второй чистых стратегий, взятых с частотами 0,25 и 0,75 соответственно, т.е. смешанной стратегией:

24 × 0,25 + 0 × 0,75 = 6 > 4; (1.30)

0 × 0,25 + 8 × 0,75 = 6 > 5. (1.31)

Поэтому третью стратегию игрока 1 можно исключить, используя вместо нее указанную выше смешанную стратегию.

Аналогично, если каждый элемент некоторого столбца больше или равен некоторой выпуклой линейной комбинации соответствующих элементов некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть из матрицы). Например, для матрицы

А=

третья стратегия игрока 2 мажорируется смешанной стратегией из первой и второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и 0,5:

10 × 0,5 + 0×0,5 = 5 < 6; (1.33)

0 × 0,5 + 10 × 0,5 = 5 < 7. (1.34)

Таким образом, исходная матрица игры эквивалентна матрице следующего вида:

А=

Стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы, называются дублирующими [3].

Если все элементы строки платежной матрицы больше соответствующих элементов строки, то стратегия игрока А называется доминирующей над стратегией. Если все элементы j-гo столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-гo столбца, то j-ая стратегия игрока В называется доминирующей над k-ой стратегией.

Рассмотрим пример 2 , в котором игра представлена платежной матрицей:

Все элементы стратегии А₂ меньше элементов стратегии А₃, т.е. А₂ заведомо невыгодна для первого игрока и ее можно исключить.

Все элементы А₄ меньше А₃, исключаем А₄.

Для второго игрока: сравнивая В₁ и В₄, исключаем В₁; сравнивая В₂ и В₄, исключаем В₂; сравнивая В₃ и В₄, исключаем В₃. В результате преобразований получим матрицу: