Эволюция развития теории уравнений и способов их решения
Tallinna Mustamäe Humanitaargüumnaasium
Иван Рыбкин
ЭВОЛЮЦИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБОВ ИХ РЕШЕНИЯ
(с древних времен до
Исследовательская работа
Руководитель: Шуткова Е.П.
Tallinn
2013
Resümee 3
Введение 4
1. Исторический экскурс 5
1.1 Египет 5
1.2 Древний Вавилон 7
1.3 Индия 8
1.3.1 Формула решений – корней квадратного уравнения 8
1.3.2 Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное 9
1.4 Греция 10
1.5 Задача о жизни Диофанта 11
1.6 Обозначения неизвестных в разные времена 12
2. Теоретическая часть 13
2.1 Линейное уравнение 13
2.2 Квадратное уравнения 14
2.3 Диофантово уравнение 14
2.3.1 Пифагоровы тройки 14
2.3.2 Диофантово уравнение 15
2.4 Современные способы
решения квадратных уравнений 1
2.4.1 Теорема Виета 16
2.4.2 Дискриминант 17
2.4.3 Сумма коэффициентов 18
2.5 Кубическое уравнение 18
2.6 Уравнение четвертой степени 18
2.6.1 Теорема Ферма 19
2.7 Уравнение степени n 21
2.8 Системы уравнений 21
3. Исследование 23
3.1. Анкета к исследовательской работе 23
3.2 Ответы к анкете 25
3.1 Результаты исследования и их анализ 27
Анализ первого задания 27
Анализ второго задания 27
Анализ третьего задания 28
Анализ четвертого задания 28
Заключение 31
Источники 32
Приложение 1. Сводная таблица уравнений и систем уравнений. 33
Приложение 2. Дополнительные диаграммы. 33
Resümee
Minu uurimistöö teema on ”Võrrandite teooriate areng ja nende lahendamine muinasajast kaasajani.“ Mind huvitab kõik, mis on seotud ajalooga. Matemaatika on üks olulisemaid ja vanimaid õppeaineid koolis. Matemaatika on rakendusteadus ja ma arvan, et on väga tähtis teada tema ajalugu. Õpilased ei mõtle ajaloo peale, nad lihtsalt õpivad, mida annavad õpetajad. Ma tahan juhtida rohkem tähelepanu selle aine ajaloole, mille me tutvume kogu elu. Minu esimene uurimistöö 8. klassis oli ka seotud matemaatika ajalooga.
Võrrandid pälvisid minu tähelepanu, sest igal õppeaastal me puutume nendega kokku ja saame teada midagi uut nende struktuuri ja lahendamise kohta. Aga me ei tea, millal üldse tekkisid võrrandid, millal inimesed hakkasid kasutama „x“ nagu „tundmatu.“
Oma uurimises ma tahan teada kuidas õpilased suhtuvad matemaatikasse. Kas õpilastel on baasteadmised? Kuna ruutvõrrandite lahendamiseks on olemas erinevad võimalused, siis otsustasin just nende kohta ülesanded koostada. Mind huvitas see, milliseid võimalusi nad eelistavad kasutada ruutvõrrandite lahendamiseks? Igal õpilasel on selliste ülesannete lahendamiseks omad eelistused. Kas valikud, mida õpilased teevad, sõltuvad õpetajast? Kas olemas mõlemad huvitavad sõltuvused või äraarvamata küsitluse tulemused, kuidas või inimese faktor.
Hüpotees:
Õpilased lahendavad võrrandeid kasutades neid võimalusi, mida eelistavad kasutada õpetajad.
Uurimistöö eesmärk:
Kas 9. klasside õpilased on omandanud ruutvõrrandite lahendamise teooria, mida on käsitletud tundides?
Kokkuvõttes:
See, millise võimaluse õpilased valivad ruutvõrrandi lahendamiseks, sõltub aineõpetajast vähesel määral. Valdavalt kasutavad õpilased diskriminandi valemit. Kuid tuleb mainida ka Viete`i teoreemi kuna seda kasutab kolmandik õpilastest.
Üheksanda klassi õpilased on omandanud ruutvõrrandite lahendamise oskused vajalikul määral. Testülesanded näitasid, et õpilastel on raskusi graafiliste võimaluste rakendamisel, kuid seda põhjendab asjaolu, et nad olid just alustanud antud teema omandamist matemaatika tundides.
Введение
Меня всегда интересовала история математики, а с учетом того, что математика одна из древнейших наук, это становится еще интереснее. Я считаю, что очень важно знать историю предмета. Ведь эта наука, без которой сложно представить нашу жизнь. Математика присутствует везде, где есть человек. Моя первая исследовательская работа в восьмом классе так же была связана с историей математики.
Важной частью математики являются уравнения. Они привлекли мое внимание потому, что мы каждый год с ними сталкиваемся и узнаем что-то новое про них. Ученики воспринимают уравнения как должное, не задумываются о их возникновени. Хорошо, если учитель объяснит немного о появлении уравнения. Вот я и решил более подробно изучить историю уравнений.
Цели моего исследования:
- Ознакомить учеников с историей развития теории уравнений, и узнать что им известно об уравнениях дополнительно.
- Определить, как ученики усвоили материал связанный с решением квадратных уравнений.
Гипотеза: я предполагаю, что тот способ, которым чаще пользуется учитель, будет популярен и у его учеников. Так же возможен вариант предпочтения учениками более легкого способа, что тоже вполне логично.
Исторический экскурс
История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с
уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне.
1.1 Египет
Отрицательные числа были египтянам и многим другим, более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).
Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был
изобретен метод ложного положения.
В папирусе Ахмеса (2000 лет до н.э)15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор. Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча»
Задача из сборника Ахмеса:
«Куча и её седьмая часть ('подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти кучу».
Запись задачи нашими знаками:
Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех
столбцах:
Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как делается», другими словами: «Делай, как люди делают».
Смысл решения Ахмеса легко понять. Делается предположение, что. куча есть 7; тогда ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.
Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного результата, 19, не хватает еще 19 - 16=3. Ахмес находит от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение умножить нельзя. Но от 8 есть 2, от восьми 1. Ахмес видит, что и первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив и значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо умножить на 2 + + .
Умножение числа 7 на смешанное число 2 + + Ахмес заменяет умножением смешанного числа 2 + + на 7. В третьем столбце выписаны: часть искомой кучи есть 2 + + , удвоенное это число 4 + + и учетверенное: . Сумма этих трех чисел, равная числу 16 + + , есть произведение первоначального предположения 7 на 2 + + . Итак, куча равна 16 + + . В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение для кучи 16 + + и его части 2 + + . В сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением: «Будет хорошо». Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах = b.
Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.
У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод
был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий (1669-1739) называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:
Зело бо хитра есть сия часть,
Яко можеши ею все класть
Не токмо что есть во гражданстве,
Но и высших наук в пространстве,
Яже числятся в сфере неба,
Якоже мудрым есть потреба.
Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми».
Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».
1.2 Древний Вавилон
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
x2 + x = , x2 + x = 14
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
1.3 Индия
Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттаим», составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Арибхаттой В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений.
Индийские учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).
1.3.1 Формула решений – корней квадратного уравнения
Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу для решения квадратного уравнения ax2 + bx = c умножением всех членов на а прибавлением к обеим половинам уравнения
.
В Индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это даёт:
.
Индийские математики часто давали задачи в стихах, например, задача о лотосе:
Над озером тихим, с полмеры над водой,
Был виден лотоса цвет.
Он рос одиноко, и ветер волной
Нагнул его в сторону – и уж нет
Цветка над водой.
Нашёл его глаз рыбака
В двух мерах от места, где рос.
Сколько озера здесь вода глубока?
Тебе предложу я вопрос.
( Ответ:)
1.3.2 Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное
В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячелетиях до н. э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени. Вот одна из них.
«Площади двух своих квадратов я сложил:
Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5».
Соответствующая
система уравнений в
(1) |
Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была известна, получает:
Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор приходит к квадратному уравнению:
Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время, автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом. Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его «Арифметики»:
Задача. Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208.
Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:
Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, получает (в современных обозначениях):
Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант производит устно), получаем x = 2 + 10; у = 10 —2.
Далее,
х2 + у2 = (z + 10)2 + (10 — z)2 == 2z2 + 200.
Таким образом,
2z2 + 200 = 208,
откуда
z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.
В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения («фальшивое правило»).
1.4 Греция
В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Методы, которые не связаны с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своей книге «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений. Его книги с описанием способов решения полных квадратных уравнений до нашего времени не сохранились.
Язык алгебры – уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на
язык алгебраический», - писал великий И. Ньютон в своем учебнике алгебры, который называется «Всеобщая арифметика». Под алгебраическим языком понимают язык уравнений и неравенств. Большинство текстовых задач решается именно этим способом. Посмотрим на примере, как выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический.
1.5 Задача о жизни Диофанта
На родном языке: |
На языке алгебры: |
Путник! Здесь прах погребен |
х |
Часть шестую его представляло |
|
Двенадцатая часть протекла |
|
Седьмую в бездетном |
|
Прошло пятилетие; он |
5 |
Коему рок половину лишь |
|
И в печали глубокой |
4 |
Скажи, сколько лет жизни достигнув, |
х = +++ 5 ++ 4 |
1.6 Обозначения неизвестных в разные времена
Надо заметить, что обозначение неизвестного привычными для нас переменными x, y, z и другими буквами латинского алфавита, появилось не сразу. Некоторые примеры обозначения приведены на следующем рисунке:
Рис.1(Обозначение неизвестных в разное время)
2. Теоретическая часть
Уравнение — это равенство вида
или, в приведённой форме
Основные свойства
С алгебраическими выражениями, входящим в уравнения можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:
- В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
- В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
- Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
- Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
Уравнения, которые являются результатом этих операций являются эквивалентными начальному уравнению, т.е имеют тоже самое решение.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
2.1 Линейное уравнение
Линейное уравнение- уравнение, обе части которого определяются линейными функциями. Общий вид простейшего случая имеет вид
Числа а и b являются коэффициентами
линейного уравнения: а - коэффициент
при переменной, b - свободный член.
Получили название линейных из-за того, что определяют прямую линию на плоскости или в пространстве.
2.2 Квадратное уравнения
Квадратное уравнение - уравнение общего вида:
Числа a, b, c - его коэффициенты, причем a также называется квадратичным коэффициентом, b - линейным, c - свободным членом. Квадратное уравнение всегда имеет один или два корня – различных или совпавших или не имеют действительных корней. Они обозначаются как x1 и x2 или, если речь идет об обоих корнях одновременно, то x1;2 В некоторой литературе встречается еще и такое обозначение: x+ и x-
2.3 Диофантово уравнение
Уравнение вида
где P — целочисленная функция (например многочлен с целыми коэффициентами), а переменные x, y принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.
:
при решениями этого уравнения являются пифагоровы тройки.
2.3.1 Пифагоровы тройки
В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел (x, y, z) удовлетворяющих соотношению Пифагора:
При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами.
Пифагоровы тройки известны
очень давно. В архитектуре
2.3.2 Диофантово уравнение
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые
числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + x другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:
или же
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
2.4 Современные способы решения квадратных уравнений
2.4.1 Теорема Виета
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту ,взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену :
Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням.
Существует так называемое Мнемоническое правило:
Познакомили поэта
С теоремою Виета,
Оба корня он сложил —
минус p он получил,
а корней произведенье
дает q из уравнения.
Виет дал в своих
трудах основы общей теории алгебраических
уравнений,
почему и получил почетное имя отца современной
алгебры. Виет первый
ввел буквенные обозначения не только
для неизвестных (что иногда
делали его предшественники), но и для
данных величин, то есть для
коэффициентов уравнений.
Поэтому, благодаря трудам
Виета открылась возможность
выражения
свойств уравнений и их корней общими
формулами. Виет нашел общие
методы решений уравнений второй, третьей
и четвертой степени,
унифицировал методы, найденные раннее
Ферро и Феррари, а также вывел
общеизвестные теперь формулы суммы и
произведения корней квадратного
уравнения (формулы Виета).
2.4.2 Дискриминант
Дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx +c есть выражение D = b2- 4ac.
- Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
Напомним, что дискриминант D квадратного трёхчлена ax2 + bx +c равен b2 – 4ac. При этом выполняется следующее:
- при корней два (два различных действительных корня) и они вычисляются по формуле
(1)
- при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих действительных корнях), кратности 2:
- при действительных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
Кроме того
- Дискриминант многочлена равен
- В частности, дискриминант многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано), равен
- частный случай: формула половинного коэффициента
x1;2 =
2.4.3 Сумма коэффициентов
Сумма коэффициентов – используется тогда, когда сумма коэффициентов, стоящих при переменных равна 0.
В случае, когда сумма коэффициентов равна нулю без изменения знаков: x1= 1; x2 =
В случае, когда для получения нуля в сумме коэффициентов требуется изменить знак при коэффициенте b, то x1= -1; x2=
2.5 Кубическое уравнение
Кубическое уравнение — алгебраическое уравнение третьей степени , канонический вид которого
Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду:
y3 + py + q = 0,
поделив его на a и подставив в него замену x = y - При этом коэффициенты будут равны:
2.6 Уравнение четвертой степени
Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.
Людовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 г., но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 году, вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Кардано (автор формулы корней для уравнения третьей степени ) в книге «Великое искусство».
То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа до смерти на дуэли, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была теорема Абеля.
2.6.1 Теорема Ферма
Великая теорема Ферма (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.
Теорема утверждает, что:
Для любого натурального числа уравнение не имеет натуральных решений , и .
Для случая эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.
В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:
„Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.“(Перевод с латыни)
Несколько позже сам
Ферма опубликовал