Фильтрация газа

   Введение. 

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л. С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси. Полученное им нелинейное дифференциальное уравнение параболического типа впоследствии было названо уравнением Лейбензона.

При выводе указанного уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т.е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный. Принимается также, что фильтрация газа в пласте происходит по изотермическому закону, т. е. температура газа и пласта остается неизменной по времени. Впоследствии один из учеников Л. С. Лейбензона-Б. Б. Лапук в работах, посвященных теоретическим основам разработки месторождений природных газов, показал, что неустановившуюся фильтрацию газа можно приближенно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды, поверхность контакта газа с которой огромна. Однако при рассмотрении фильтрации газа в призабойной зоне неизотермичность процесса фильтрации сказывается существенно вследствие локализации основного перепада давления вблизи стенки скважины. Кстати, на этом эффекте основано использование глубинных термограмм действующих скважин для уточнения профиля притока газа по толщине пласта (глубинная дебитометрия). При рассмотрении процесса фильтрации в пласте в целом этими локальными эффектами допустимо пренебрегать.

1. Теоретическая часть.

Основная формула теории упругого режима (уравнение Л. С. Лейбензона). 

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся уравнением (2.56), которое справедливо для любого сжимаемого флюида 

                                                                     (1)

где m – пористость

η – коэффициент вязкости

к – коэффициент проницаемости

р – давление

ρ – плотность

t – время, по условию так же известно что:  m=const, к=const, η=const. 

Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле: 

                                                                                  (2)    

Преобразуем правую часть уравнения (1). Считая пористость m постоянной и учитывая, что для совершенного газа 

                                                                                               (3)   

получим:

                                                                                       (4)

В результате преобразований получим уравнение относительно только одной неизвестной  функции–давления:     

                                                                                           (5)     

 Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа  называется уравнением Л. С. Лейбензона и представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа. Подчеркнем, что оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают потому, что он входит в уравнение в виде произведения ρт, в котором плотность газа меняется в гораздо большей степени, чем пористость.

Уравнение (5) записано в безындексной форме, справедливой для любой системы координат. В декартовой системе координат уравнение имеет вид: 

                                                                 (6)           

  Уравнение (5) можно записать по-другому, умножив правую и левую части на давление р и учитывая: 

                                                             (7,8) 

или в декартовой системе координат (8).

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р², но коэффициент в правой части kр/(η т₀) - переменный, в него входит искомая функция р(х, у, z, t).

Можно показать, что неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния: 

                                                                                    (9)

и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления η = η (р) и недеформируемости пористой среды (т₀ = const, k = const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа: 
 

       (10) 

Отметим, что одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является линеаризация - сведение его к линейному уравнению Фурье. Рассмотрим теоретическую часть данного решения.

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (5) и (8) линейным, то оно упростится, для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (5) или (8). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложилзаменить переменное давление   Р в коэффициент перед оператором  Лапласа в уравнении (8) на постоянное давление P_k , равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив , получим вместо уравнения (8) уравнение

                                                                        ⁽¹¹⁾

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р² (Х- коэффициент пьезопроводности). Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент א в уравнении (11) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И. А. Чарный предложил свести уравнение (8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение 

                                                                         (12)

  где p_max и p_min - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение (11) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т. е. давление во всем пласте постоянно и равно р_х. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Q_am. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r, t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (11) запишется следующим образом:

                                                                                      (13) 

  Здесь выражение представляет собой оператор Лапласа в полярных координатах относительно квадрата давления для плоскорадиального движения.

  Уравнение (13) надо проинтегрировать при начальном условии

  р² =    при   t = 0,   0 < r < ∞                                                         (14)

  и при граничном условии в удаленных точках

  р² =    при   r = ∞,   t > 0.                                                         (15)

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

                                                                        (16) 

  Использовав равенства Q_m = ρ_ат Q_am,  и сократив на р_атм

  получим:

  Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса: 

                                                                                (17)

  Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (13) должно быть проинтегрировано при условиях (15,16,17).

Приведем здесь еще раз эти соотношения для упругой жидкости и сравним их с соотношениями  для газа:

       упругая жидкость 
 

  совершенный газ 

Решением поставленной задачи для упругой жидкости является основная формула упругого режима:

                                                                       (18)

 Аналогия между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (6.20) давление на р², א - на , - на , получим решение поставленной задачи для газа:

                                                               (19) 

или 

                                                                 (20) 
 
 

Это и есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

Для малых значений аргумента r²/(4א t) можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической: 

                                                                           (21) 

или                                                                   (22) 

Решения (19)-(22) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения Лейбензона. 

Рис. 1. Кривые распределения давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика давления в фиксированных точках пласта (б) 

Формулы (22) и (23) определяют при фиксированных значениях времени t распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации - они очень крутые вблизи скважины (рис.1,а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r = r_с) после начала работы скважины (рис.1,6) 
 

Интерференция скважин в условиях упругого режима.

  Для решения линеаризованного уравнения неустановившейся фильтрации (11) используется метод суперпозиции (метод наложения потоков). Это уравнение-линейное и однородное относительно р², поэтому если p₁(x, у, z, t), р₂(х, у, z, t), ..., р_п(х, у, z, t) определяют распределения давления, вызванные работой первой, второй ... , n-й скважин, и являются решениями уравнения (12), то линейная комбинация их квадратов тоже будет решением уравнения (12).

  При помощи метода суперпозиции можно решать различные задачи, которые используются при проектировании разработки газовых место-' рождений.

  Используя этот метод, выведем формулу для восстановления забойного давления после остановки газовой скважины, и покажем, как по кривой восстановления давления определяются коллекторские свойства пласта.

  Предположим, что газовая скважина в бесконечном пласте эксплуатировалась в течение длительного промежутка времени Tс постоянным дебитом Q_ат и в момент T внезапно остановлена, т. е. приток газа к забою мгновенно прекратился.

  Используя принцип суперпозиции, будем считать, что в момент t = Т в дополнение к добывающей скважине, работающей с дебитом Q_am начала работать нагнетательная скважина с тем же дебитом.

  Тогда:

                                              (24)

  Кроме того, в момент остановки скважины Т выполняется равенство: 

                                                                         (25)

  Вычитая все почленно (24) из (25) получим: 

                        (26)

Если скважина работала до остановки в течение длительного времени Tиt— Т<< Т, то:

  и членом ln(t/Т) можно пренебречь. Тогда имеем:

                                                                (27)

Примем момент остановки T за новое начало отсчета времени: t’ = t — Т, тогда формула (27) запишется в виде:

                                                                      (28)

Кривая восстановления забойного давления приведена на рис.2. Из последней формулы зависимость от ln t' -линейная рис.3.

Рис. 2,3. Кривая восстановления забойного давления после остановки скважины. Зависимость от ln t’

Выделим в правой части формулы (28) член, содержащий ln t:

                                                       (29)

  Очевидно, что представляет собой тангенс угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а OA-отрезок, отсекаемый прямой АВ на оси ординат, равен

                                                                         (30) 

При исследовании газовых скважин на неустановившихся режимах, которые проводятся с целью определения коллекторских свойств пластов, получают значения р_с в разные моменты времени t' после остановки скважины. Эти данные обрабатывают в координатах и ln t' (или lgt').

Экспериментальные точки показаны на рис.3. Обычно на опытной кривой можно выделить прямолинейный участок, по которому определяют значения i = tg α и OA. Зная эти величины, а также дебит скважины до остановки Q_aт, можно определить коэффициент гидропроводности пласта 
 

                                                                                                         (31)

и комплексный параметр 

                                                                                                       (32)

Отметим, что на участке АС опытные точки отклоняются от прямой за счет притока газа в скважину после ее закрытия, который не учитывается в соотношениях (24)-(26), а также за счет некоторых других факторов.

Зависимость (23) можно записать также в виде

                                                                                     (33) 

или                                                                                       (34) 

Кривые восстановления давления после остановки газовых скважин обрабатывают также по методу Хорнера в координатах . Уравнение (34) в этих координатах представляет собой прямую. По углу наклона прямой можно определить коэффициент гидропроводности по формуле (31); экстраполируя ее до оси ординат , получают пластовое давление р_х, которое, как правило, неизвестно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Расчетная часть. 

А). Рассчитать забойное давление при пуске и остановке скважины с интервалом времени , где n =1, 2, 3, 10, 50; T_max= R_k² / 4 X

Исходные данные:

Радиус контура  питания : R_k= 300 м

Суточный дебит  газа скважины: Q_r= 340·10³ м³/сут = 3,94 м³/с

Атмосферное давление: Р_атм= 10⁵ Па

Давление на контуре: Р_к= 13,8·10⁶ Па

Средняя эффективная  нефтенасыщенная толщина: h= 6 м

Коэффициент динамической вязкости газа: η= 0,012·10^-3 Па·с

Радиус скважины: r_c= 0,08 м

Коэффициент пьезопроводности: Х= 0,01 м²/с

Коэффициент проницаемости: к= 0,29·10^-12 м 

T_max = 300² / 4· 0,01 = 2,25· 10⁶ с 

При n=1 

t₁ = T_max / n = 2,25·10⁶/1= 2,25·10⁶ с  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Выводы.

Проанализировав полученные расчетные данные и построив график 1, мы можем сделать заключение о том, что забойное давление после пуска скважины с увеличением времени ее эксплуатации падает, так как уровень газа в стволе скважины постепенно понижается. После же остановки скважины происходит обратный процесс, то есть повышения забойного давления. Такое явление наблюдается и на практике. А отсюда, следовательно, что расчеты выполнены верно.

Среднее значение забойного давления получилось равным:

Р_{с. сред.}=13,642 МПа

Коэффициенты продуктивности при заданных значениях n равны:

При n=1,  К=0,62·10^-12 м³/Па·с

При n=2,  К=7,88·10^-12 м³/Па·с

При n=3,  К=0,60·10^-12 м³/Па·с

При n=10,  К=3,60·10^-12 м³/Па·с

При n=50,  К=0,60·10^-12 м³/Па·с

Исходя из проделанной работы и согласно расчетным данным можно сделать вывод, что при работе одной добывающей скважины коэффициент продуктивности меньше, чем при работе совместно с нагнетательной.

После выполнения ранее проведенных вычислений оценим зависимость коэффициента продуктивности от частоты пульсации забойного давления. В том случае, когда скважина работает и, следовательно, забойное давление постепенно понижается, коэффициент продуктивности низкий.

В случае простоя скважины забойное давление возрастает и с ним коэффициент продуктивности. Отсюда следует, для того, чтобы коэффициент продуктивности был высоким, необходимо периодически останавливать работу скважины на определенное время.  
 
 

Список литературы. 

1. Басниев К. С. «Подземная гидромеханика». Москва. Недра, 1993 г.

2. Желтов Ю. П. «Механика нефтегазоносного пласта». Москва. Недра,1975 г.

3. Лейберзон Л. С. «Движение природных жидкостей и газов в пористой среде». Государственное издательство технико - теорнтической литературы. Москва, 1947 г.

4. Чарный И. А. «Подземная гидрогазодинамика». Государственное

научно – техническое издательство нефтяной и горно – топливной литературы.

Москва, 1963 г.