Формирование математических понятий у младших школьников

                                                                 СОДЕРЖАНИЕ

 Введение……………………………………………………………………………..3

 Глава I. Теоретическое обоснование проблемы формирования математических понятий у младших школьников………………………………………………….…6

 1.1. Психолого-педагогические основы проблемы формирования математических понятий у младших школьников ……………………………….…6

 1.2. Методологические подходы при формировании математических понятий у младших школьников…………………………………………………………………13

  1.3.Сущность  математических  понятий ………………………………………….19

 Выводы по I главе……………………………………………………………….……26

 Глава II.Опытно – экспериментальная работа по формированию математических понятий у учащихся 2 класса ……………………………………………………...   27

 2.1. Выявление исходного уровня сформированности  математических понятий у учащихся 2 класса……………………………………………………………….……28

 2.2. Описание формирующего этапа  опытно – экспериментальной работы…………………………………………………………………………………39

 2.3. Сравнительный анализ результатов исследования……………………….…44

 Выводы  по II главе…………………………………………………………………50

 Заключение……………………………………………………………………….…51

 Список  литературы……………………………………………………………...….54

 Приложение 
 
 
 

                                                   ВВЕДЕНИЕ

   Тема  работы – «Формирование математических понятий у младших школьников».

     Решающее значение для системы школьного математического образования имеет формирующий аспект предмета математики, широкие возможности для формирования математических понятий у младших школьников.

       Проблема формирования понятий  давно привлекает внимание психологов и педагогов (Л. С. Выготский, Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов, Н. А. Менчинская, Ж. Пиаже, П. Я.Гальперин, Л. И. Айдаров, Н. Г. Салмина, К. А. Степанова, В. И. Зыкова). В исследованиях, касающихся формирования понятий, авторы часто обращаются к математике.

   Образование и становление понятий, переход  к ним от чувственных форм отражения  – сложный процесс, в котором  применяются различные приемы и  упражнения  формирования математических понятий: анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, абстрагирование. Понятие – «это мысль, в которой отражаются общие, и притом существенные свойства предметов.»

   Младший школьный возраст синзетивен для  формирования понятийного мышления младших школьников. Учащиеся испытывают трудности в усвоении системы понятий, в том числе и математических, которые в свою очередь служат опорным моментом в познании действительности. Поэтому понятия являются одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета начальной школы, в том числе – и математики.

              Изложенное выше обусловило выбор темы исследования «Формирование математических понятий у младших школьников»

     Цель: Выявить эффективные виды упражнений, направленных на   формирование понятий у младших школьников.

   Объект: Процесс формирования математических понятий младших школьников.

   Предмет: Виды упражнений способствующих формированию математических понятий у младших школьников.

   В соответствии с целью, предметом, объектом можно выделить следующие задачи:

   - Проанализировать психолого-методическую  литературу по проблеме формирования математических понятий у младших школьников.

   - Выявить исходный уровень сформированности математических понятий у младших школьников.

   - Разработать и апробировать систему уроков, направленных на формирование математических понятий с использованием эффективных упражнений.

   Выявить эффективность разработанной системы  уроков.

      Для решения поставленных задач мы использовали методы:

   - Изучение психолого-педагогической, математической, методической литературы по проблеме формирования математических понятий у младших школьников;

   - Констатирующий, формирующий и контрольный этапы эксперимента;

   - Наблюдение за деятельностью учащихся;

   - Беседа с учителями;

   - Анкетирование учителей и учащихся;

   -Тестирование;  Анализ продуктов деятельности учащихся;

   Гипотеза исследования – мы предполагаем, что использование современных видов упражнений, возможности авторских программ, современные информационные технологии значительно повысит:

   - упражнения, направленные на сравнение геометрических фигур;

   - упражнения, направленные на выделение  геометрических фигур;

   - упражнения, направленные на преобразование  величин и их измерений;

   - упражнения, направленные на преобразование  чисел и арифметических действий;

   - упражнения, направленные на классификацию  величин;

   - упражнения, направленные на преобразование  геометрических фигур;

   - упражнения, направленные на выделение  алгебраических понятий.

      Методологической основой нашего исследования являлись положения о психологических особенностях младшего школьного возраста ученых – психологов Н. А. Леонтьева, Л. М. Фридмана; положения формирования математических понятий младших школьников ученых – методистов М.А. Бантовой, Л. П. Стойловой, С. Е. Царевой,  В.В. Давыдова и д.р.

   Базой исследования выступили учащиеся 2 класса Муниципального образовательного учреждения «Куйтунская средняя общеобразовательная школа № 2» п. Куйтун, обучающиеся по программе Н.Б. Истоминой (УМК «Гармония») 
 
 
 
 
 
 
 

Глава I. Теоретическое обоснование проблемы формирования математических понятий у младших школьников.

   1.1. Психолого-педагогические основы проблемы формирования математических понятий у младших школьников

   В этой главе, мы рассмотрим, каким образом  формируются понятия, раскроем  его  сущность и особенности формирования понятия у младших школьников с точки зрения психологии и педагогики.

       В педагогике понятие - это  «форма научного знания, отражающая  объективно существенное в вещах  и явлениях и закрепляемая  специальными терминами или обозначениями.  В отличие от чувственных образов  понятие - это нечто непосредственное, взятое во всем многообразии его качественных его особенностей. Из всего этого многообразия понятие отвлекает существенное и тем самым получает знание всеобщности, в чем и состоит его главная отличительная черта» [52, с.156].

       Понятие - «одна из форм мышления, высший уровень обобщения, характерный  для мышления словесно-логического» [38, С.123].

       Понятием называют также «мысль, представляющую собой обобщение  (и мысленное выделение) предметов  некоторого класса по их специфическим (в совокупности отличительным) признакам» [63, с. 134].

   Понятие- это форма мышления, отражающая общие, существенные признаки предмета; это познание сути явления. Понятие отличается от представлений своей абстрактностью, силой отражения сути явления. Как указывает Усова А.В., понятие – это знание существенных свойств предметов и явлений окружающей действительности, знание существенных связей и отношений между ними. Понятие – мысль, в которой отражаются общие и существенные признаки предметов и явлений действительности.

   Усвоение  понятий в процессе обучения подчинено  определённым закономерностям. Они  не конструируются заново, их содержание дано извне.

   Основные  признаки понятия:

   - содержание: совокупность существенных признаков ряда однородных предметов, отображённых в данном понятии;

   - объём: это совокупность предметов, к которым данное понятие может быть приложено;

   - выражается в термине (однозначное словесное определение), родовом отношении (более широкое понятие, в которое входит данное), видовых признаках (отличительные признаки данного понятия);

   - образуются понятия в результате  мыслительной деятельности с  помощью логических методов обработки информации – анализа, синтеза, сравнения, абстрагирования, обобщения и др.

   Формирование  понятия предполагает, прежде всего, его определение. Определить понятие – значит, в краткой форме выразить самые общие и существенные свойства определяемого предмета, не исчерпывая всех его свойств, сторон, связей. Установление содержания понятия, т.е. точное указание мыслимых в нём существенных признаков, является важнейшей логической операцией, называемой определением. Основной способ определения понятия – через отнесение его  к ближайшему роду и указание видовых отличительных признаков данного понятия. Начинается определение понятия с названия термина, в котором оно существует, затем рода, в которое в качестве вида входит определяемое понятие. Родовое понятие - более широкое понятие, под которое «подводится» определяемое понятие. Далее указываются видовые признаки определяемого понятия.

   А. В. Усова выделяет следующие критерии усвоения понятия:

   -  полнота усвоения содержания  понятия (совокупность признаков);

   - степень усвоения объёма понятия  (количество предметов, подводимых  под данное понятие);

   - полнота усвоения связей и отношений данного понятия с другими;

   - умение отделять существенные  признаки понятия от несущественных;

   - умение оперировать понятиями  в решении определённого класса  задач познавательного и практического  характера;

   - умение классифицировать понятия,  правильно соотносить их друг с другом.

   Выделим уровни усвоения понятий:

   1. Ученик отличает один предмет  от другого, но их отдельные  признаки указывать не может:  «Диффузно-рассеянное» представление  о предмете, явлении.

   2. Ученик может указывать признаки  понятия, но не может отличить существенные признаки от несущественных.

   3. Ученик усваивает все существенные  признаки, но понятие оказывается  ещё скованным единичными образцами,  служившими опорой при формировании  понятий. Понятие ещё не обобщено.

   4. Понятие уже обобщено, не сковано отдельными конкретными образцами, служившими ранее опорой, усвоены существенные связи данного понятия с другими, благодаря чему, ученик свободно оперирует понятиями в решении различного рода задач.

   5. Усвоение понятия характеризуется  становление связей между понятиями различных систем и предметов, т.е. межпредметными связями.

   А. В. Усова предлагает следующий  путь формирования понятия:

   - Конкретно-чувственное восприятие, сопровождаемое анализом;

   - Сравнение, сопоставление наблюдаемых  объектов, выделение в них общих существенных признаков, свойств;

   - Абстрагирование (отделение существенных  от несущественных признаков);

   - Определение понятия, синтез существенных  признаков;

   - Уточнение и закрепление существенных  признаков понятия;

   - Установление связей данного понятия с другими;

   - Применение понятий в решении  задач учебного характера;

   - Классификация понятий;

   - Применение понятий в решении  задач творческого характера;

   - Обогащение понятий (выявление  новых существенных признаков);

   - Вторичное (более полное) определение понятия;

   - Опора на данное понятие при  освоении новых понятий.

   Выделим следующие условия успешного формирования понятий.

   1. Знание учителем содержание и  значения формируемых у учащихся  понятий.

   2. Знание учителем требований, предъявляемых к усвоению понятия, видение методов и приёмов, обеспечивающих быстрейшее выделение его существенных признаков, связей и отношений с другими понятиями.

   3. Мотивировка введения каждого  нового для учащихся понятия.

   4. Организация активной познавательной деятельности на всех этапах формирования понятия.

   5. Организация системы самостоятельной  работы при формировании понятия,  которая должна включать следующие  виды: на выявление существенных  признаков, на отграничение данного  понятия от других, сходных по  камим-либо признакам понятий, на выработку умения применять понятия в решении задач творческого характера, на отделение существенных признаков от несущественных, на установление связей и отношений данного понятия с другими, на классификацию понятий.

   6. Правильное сочетание наглядно-образного, действенно-практического, словесно-теоретического компонентов мышления при формировании понятий.

   7. Установление внутрипредметныъх  и межпредметных связей.

   8. Знание учителем имеющейся у  учащихся понятийной базы и  их жизненного опыта, на который можно опереться при формировании понятий.

   9. Вооружение учащихся соответствующими  мыслительными операциями.

   В психолого-педагогической литературе выделяют следующие этапы формирования понятия:

   1. Постановка целей и задач по  формированию нового понятия.

   2. Создание положительных мотивационных  установок.

   3. Повторение тех действий, которые  составляют способ усвоения нового  понятия.

   4. Организация наблюдения за единичными  предметами и явлениями с целью  выделения общих признаков.

   5. Сравнение выделяемых свойств и признаков в различных предметах.

   6. Выделение существенных и достаточных  признаков и свойств  предметов.

   7. Расширение наблюдения с целью  уточнения общих, существенных, необходимых  и достаточных признаков.

   8. Организация работы  по дифференциации существенных и несущественных признаков формируемого понятия.

   9. Обобщение наблюдения.

   10. Определение понятий. В определении  указывается:

   а) к какой группе, роду принадлежит  данный предмет;

   б) каковы его отличительные признаки.

   11. Организация работы по распознаванию понятия.

   12. Проверка усвоения понятия.

   13. Расширение, уточнение, углубление  понятия; подведение под понятие  различных предметов и явлений,  выведение следствия из факта  принадлежности к данному понятию.

   14. Упражнения по практическому применению понятия и проверка их усвоения.

   15. Расширение и углубление понятий  предполагает дальнейшее изучение  связей и отношений между различными  понятиями одной и той же  науки, а затем и разных наук.

       Проблема формирования понятий  давно привлекает внимание психологов и педагогов (Л. С. Выготский, Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов, Н. А. Менчинская, Ж. Пиаже, П. Я.Гальперин, Л. И. Айдаров, Н. Г. Салмина, К. А. Степанова, В. И. Зыкова). В исследованиях, касающихся формирования понятий, авторы часто обращаются к математике.

   Л. С. Выгодский впервые ввел в психологию деление понятий на научные и  ненаучные - «житейские», при этом он имел в виду не содержание усваиваемых  понятий, а путь их усвоения. Ребенок  застает сложившуюся в обществе систему понятий. Усвоение этой системы всегда происходит с помощью взрослых. До систематического обучения в школе взрослые не ведут специальной работы по формированию понятий у детей. Они обычно ограничиваются лишь указанием на то, верно или неверно ребенок отнес предмет к соответствующему понятию. Вследствие этого ребенок усваивает понятия путем «проб и ошибок». При этом в одних случаях ориентировка фактически происходит по несущественным признакам, но в силу сочетания их в предметах с существенными в определенных пределах оказывается верной. В других - ориентировка происходит на существенные признаки, но они остаются неосознанными. Именно в этой неосознанности существенных признаков Л.С. Выгодский и видел специфику так называемых житейских понятий. Такое усвоение понятий не отражает всех сторон специфически человеческого способа приобретения новых знаний.

       Совсем другое дело, считал Л.  С. Выгодский, когда ребенок попадает в школу. Процесс обучения предполагает переход от стихийного хода деятельности ребенка к деятельности целенаправленной, организованной. Понятия, которые формируются у ребенка в школе, характеризуются тем, что их усвоение начинается с осознания существенных признаков понятия, что достигается введением определения.

      Именно в этой осознанности  существенных признаков Л. С. Выгодский и видел специфику научных понятий. Этот путь, по его мнению, дает возможность ребенку в дальнейшем произвольно и сознательно действовать с понятием.

   Итак, проанализировав психолого-педагогическую литературу, мы пришли к выводу, что формирование понятия предполагает, прежде всего, его определение. Определить понятие – значит, в краткой форме выразить самые общие и существенные свойства определяемого предмета, не исчерпывая всех его свойств, сторон, связей. При формировании математических понятий учитель должен знать:

   1. Основные признаки понятия;

   2. Критерии усвоения понятия;

   3. Уровни усвоения понятий;

   4. Путь формирования понятия;

   5. Этапы формирования понятия; 
 
 

1.2. Методологические подходы к формированию математических понятий у младших школьников

   В настоящее время существует несколько  методик формирования понятий у  младших школьников. В основе каждой методики лежат основные дидактические  принципы обучения, но каждый автор  вкладывает в них свое содержание

     Н. Ф. Талызина, М. Б. Волович указывают, что для усвоения понятий обязательны такие действия:

   1) подведение под понятие;

   2) выбор необходимых и достаточных  признаков для распознавания  объекта;

   3) выведение следствий о принадлежности  и не принадлежности объекта  к понятию.

   Эти действия необходимы при усвоении любых  понятий.

   В.Н. Осинская считает, что для овладения  понятиями необходимы следующие  существенные компоненты:

   1) усвоение определенной системы  знаний о понятии;

   2) овладение специальной операционной  системой действий (подведение под понятие, выбор необходимых и достаточных признаков для распознавания объекта, выведение следствий);

   3) установление системы понятий  и их родовидовых отношений  внутри системы, взаимосвязи их  признаков;

   4) раскрытие генезиса понятий.

     Понятия должны формироваться не изолированно друг от друга, а выступать как элементы системы, находящиеся друг с другом в определенных отношениях.

       Ж. Пиаже считал, что дети до  подросткового возраста не способны  к понятийному мышлению. До этого  возраста ребенок использует различные интеллектуальные образования, функционально заменяющие понятия.

       В.В. Давыдов считает, что «овладеть  понятием - это значит не только  знать признаки предметов и  явлений, охватываемых данным  понятием, но и уметь применять  понятие на практике, уметь оперировать им» [50, с. 81].

   П.Я. Гальперин выдвинул теорию о поэтапном  формировании математических понятий. В соответствии с этой теорией  формирования математических понятий  осуществляется через шесть этапов:

   1. Первый этап - создание мотивации;

   2. Второй этап - формирование схемы  ориентировочной основы деятельности. Выделяют три типа построения  структуры обучения, которые зависят  от полноты ориентирования учеников.

   3. Третий этап обучения сводится  к выполнению действия в материальной  или материализованной форме.

   4. На четвертом этапе происходит  формирование действия с помощью  устной речи без опоры на  материальные или материализованные  средства (все операции алгоритма,  предписания проговариваются вслух  по мере их выполнения). Такая  система обучения разрешает ученику следить за ходом выполнения действия, обеспечивает единство предметной (внешней) и умственной (внутренней) деятельности. Со временем громкое произношение начинает снижать производительность обучения, поэтому она должна постепенно переходить в произношение «про себя».

   5. Пятый этап - формирование действия  с помощью внутренней речи (операции  проговариваются про себя, действие  начинает сокращаться и автоматизироваться).

   6. Шестой этап - этап интериоризации  действия, то есть формирование действия во внутренней речи. Действие становится внутренним процессом, максимально автоматизируется, становится актом мышления.

      Обучение, проведенное на основе  этой теории, показало, что дети  способны усваивать абстрактные  понятия, обобщенные знания уже в первом классе начальной школы, причем в условиях массового обучения (Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов, Л. И. Айдарова, Н. Г. Салмина, В. П. Сохина).

   Существует  два пути формирования понятий: индуктивный  и дедуктивный. Индуктивный путь (от частного к общему) — восхождение от фактов к общим закономерностям. В традиционной системе обучения математике предпочтение отдается индуктивному пути формирования понятий. Так, В.Л. Дрозд отмечает, что «важнейшим из требований к методике введения начальных математических понятий является формирование математических понятий через рассмотрение реальных, житейских ситуаций, хорошо знакомых детям из повседневной жизни». М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова считают, что «при ознакомлении учащихся с математическими понятиями лучше всего использовать метод беседы. Система упражнений в этом случае должна вести детей от частных фактов к общему выводу, к «открытию» той или иной закономерности, т.е. здесь целесообразна эвристическая беседа, обеспечивающая индуктивный путь рассуждения». Эти же авторы выдвигают ряд требований к системе упражнений при индуктивном пути формирования понятия: