Содержание 

Тема формирование понятия  числа в начальном  курсе математики 
 

Глава 1. Теоретические  основы формирования понятий в процессе обучения школьников

      1.1. Определение  понятия,  виды определений

      Общеизвестно, что наибольшие трудности в начальной  школе испытывают дети, проявляющие  интеллектуальную пассивность. В этой связи, одной из основных задач школы  является стимулирование роста умственных способностей ребенка путем передачи учащимся не только эмпирических знаний и практических умений, но и «высоких» форм общественного сознания, к числу которых относятся научные понятия.

      Вопрос  о понятиях является традиционным при  исследовании понятийного мышления. Это связано с тем, что понятие является одной из познавательных форм, характерной для интеллектуальной деятельности человека, которую нередко определяют как понятийное отражение действительности.

      Понятие - форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты¹.

      В последние годы принято деление  понятий на две категории: строгие, имеющие ясное содержание и резкий объем, и нестрогие понятия, не обладающие ясным содержанием и резким объемом.

      Понятие может рассматривается как:

      а) логическая форма мышления;

      б) мера знания;

      в) эффект понимания значения словесного знака;

      г) элемент теоретического мышления;

      д) операциональное образование.

      Наиболее  распространенным является его определение  как формы мысли, представляющей собой отражение предметов и  явлений со стороны их существенных признаков. 

      Определить  понятие - это значит перечислить  его существенные свойства. Определение понятия - это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т. е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию.

      Рассмотрим  виды определений. Они могут быть как явные и неявные. Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в них выражено четко и однозначно. Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного разделяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст.

      Все определения, которые применяются  в математике и других науках, делятся  на номинальные и реальные, в зависимости  от того, что определяется - знаковое выражение (термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им. С помощью номинального определения вводится новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значение уже введенного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выражений.

      С помощью реальных определений фиксируются характеристические свойства самих определяемых объектов. Деление определений на номинальные и реальные не связано с их формальной структурой. Одно и то же определение можно представить и как номинальное, и как реальное. Например, пусть дано реальное определение: «Пятиугольник – есть плоская геометрическая фигура, ограниченая пятью сторонами». Это же определение можно переформулировать как номинальное: «Пятиугольником называется плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами».

      В математике начальных классов часто  применяются контекстуальные определения, в которых определение нового неизвестного термина, понятия выясняется из смысла прочитанного, сводится к указанию содержащих его контекстов («больше», «меньше», «равно»). Индуктивными называются определения, которые позволяют из сходных объектов (теории) путем применения к ним конкретных операций получать новые объекты. Например, по индукции вводитcя определение натурального числа в математике.

      Если определения исходных понятий даются посредством исходных понятий некоторой теории через ее аксиомы, то это аксиоматические определения. При аксиоматическом построении математической теории некоторые понятия остаются неопределенными (например, точка, плоскость и расстояние в аксиоматике А.Н. Колмогорова). Определением этих понятий можно считать систему аксиом, описывающих их свойства.

      Классическими определениями называются определения  через род и видовое отличие. Их можно рассматривать как частный  вид номинальных определений. В  них определяемое выделяется из предметов  некоторой области, которая при  этом явно упоминается в определении (род), путем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например:

      «Квадрат - прямоугольник с равными сторонами».

      «Ромб - параллелограмм, у которого все  стороны равны».

      «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны».

      «Прямоугольник  есть параллелограмм с прямым углом».

      Широкое распространение в школьном курсе  математики получили генетические (конструктивные) определения, т.е. такие определения, в которых описывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Генетические определения представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия.

      Например: «Сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра»; «Шар – это геометрическое тело, образованное вращением полуокружности вокруг диаметра».

      Определения, связанные с выделением такого типа объектов через установление между  ними отношений равенства, равнозначности, тождества, получили название определений через абстракцию. В таком определении данное математическое понятие определяется как семейство классов эквивалентности по некоторому отношению эквивалентности.

      Остенсивные определения - определения значений слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). Постепенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям приходят вербальные понятия. Вербальные понятия – это понятия, когда значения неизвестных выражений определяются через выражения, значения которых известны. 
 
 
 

      Определение называется корректным , если выполняются два условия:

      а) отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов (“Решение уравнения - это то число, которое является его решением”); 
б) отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого. 

      1.2. Объем и содержание понятий

      Каждое  понятие может быть рассмотрено  по содержанию и объему.  Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются  в систему взаимосвязанных понятий.

      Содержание  понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия.

      Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие.

      Например, понятие «треугольник» соединяет  в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие «уравнение» соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).

      Существенные  свойства (характеристические) - это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характеристики объектов, принадлежащих понятию. Мы имеем понятие о некоторой вещи, если знаем и можем словесно выразить, какие условия необходимы и вместе с тем достаточны для ее однозначного определения. Однако, не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и принимают за содержание понятия.

      Содержание  понятия раскрывается с помощью  определения, объем - с помощью классификации. Так, содержанием понятия квадрата является совокупность условий «быть четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные углы». Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сторонами и равными углами.

      Содержание  понятия четко определяет его  объем, и наоборот, объем понятия  вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием  и объемом  понятия существует в некотором смысле обратная  связь:  с  увеличением содержания  понятия “параллелограмм” (диагонали взаимно перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

      сли объем одного понятия содержится в объеме другого понятия, то второе понятие  называется родовым по отношению к первому понятию, а первое называется видовым по отношению ко второму. Например,  понятие “ромб” является  родовым по отношению к понятию “квадрат”. Введение понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем: 
1)указывается род, в который входит определяемое понятие; 
2)указываются видовые отличия и связь между ними.

      Например, «Ромб - это параллелограмм, две смежные  стороны которого равны». Родовым  понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон).

      По  отношению объемов различают  следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения, объем одного понятия содержится в объеме другого понятия. 

      1.3. Этапы формирования понятий и приемы их выполнения

      Понятия формируются в процессе обучения и именно их определения являются главным показателем сформированности понятия. 

      Процесс формирования понятий у детей  одними из первых в нашейстране исследовали  Л.С. Выготский и Л.С. Сахаров. [38] С  помощью методики «двойной стимуляции»  они установили, что формирование понятий у ребенка проходит через три основные ступени:

      1. Образование неоформленного, неупорядоченного  множества отдельных предметов,  их синкретического сцепления,  обозначаемого одним словом. Эта  ступень в свою очередь распадается  на три этапа: выбор и объединение предметов наугад, выбор на основе пространственного расположения предметов и приведение к одному значению всех, ранее объединенных предметов.

      2. Образование понятий - комплексов  на основе некоторых объективных  признаков. Комплексы такого рода  имеют четыре вида: ассоциативный (любая внешне замеченная связь берется как достаточное основание для отнесения предметов к одному классу), коллекционный (взаимное дополнение и объединение предметов на основе частного функционального признака), цепной (переход в объединении от одного признака к другому так, что одни предметы объединяются на основе одних, а другие — совершенно иных признаков, причем все они входят в одну и ту же группу), псевдопонятие (внешне - понятие, внутреннее — комплекс).

      3. Образование настоящих понятий. Здесь предполагаются умение ребенка выделять, абстрагировать элементы и затем интегрировать их в целостное понятие вне зависимости от предметов, которым они принадлежат. Эта ступень включает следующие стадии: стадия потенциальных понятий, на которой ребенок выделяет группу предметов по одному общему признаку; стадия истинных понятий, когда абстрагируется ряд необходимых и достаточных признаков для определения понятий, а затем они синтезируются и включаются в соответствующее определение.

      Факты, полученные Л.С. Выготским и Л.С. Сахаровым, согласуются с данными швейцарского ученого Ж. Пиаже [151], считавшего, что при формировании представлений и понятий необходимо учитывать возрастные особенности ребенка. Индивидуальный разброс в умственных показателях детей зависит от ряда условий, к числу которых относятся следующие: условия жизни, природные задатки, качество преподавания, личности учителей и родителей.

      Л.С. Выготский полагал, что в развитии житейских и научных понятий  имеется много общего, но основное внимание он обратил на рассмотрение существенных различий этого процесса. Главным из них можно считать его направленность. Житейские или спонтанно возникающие в жизни ребенка понятия зарождаются при его столкновении с реальными вещами, содержание которых объясняется ему взрослыми, и лишь постепенно ребенок оказывается способным дать словесно-логическое объяснение тех отношений, благодаря которым существует данное понятие. Спонтанное понятие формируется у ребенка, можно сказать, «снизу вверх». Научное понятие начинается с его словесного общего определения, которое лишь затем связывается с опытом ребенка. Такое понятие формируется «сверху вниз». Однако, научные понятия становятся возможными у детей лишь тогда, когда развитие спонтанных понятий достигает известного уровня.

      Рассмотрим  другие точки зрения других авторов  на этапы формирования понятий.

      Так, М.Б. Волович предлагает осуществлять формирование математических понятий, используя теорию поэтапного формирования умственных действий:

      1 этап. Создание ориентировочной основы действий. Учащиеся записывают определения в краткой схематичной форме;

      2 этап. Организация пошагового контроля. Распознавание объектов, принадлежащих  объему понятия; фиксирование  всего хода распознавания; выведение следствий;

      3 этап. Самостоятельное распознавание объектов, принадлежащих объему понятия и выведение следствий; использование кратких записей.[36].

      В.А. Далингер выделяет следующие этапы  формирования математических понятий:

      1) рассмотрение примеров объектов, входящих в объем понятия;

      2) введение термина, обозначающего  понятие;

      3) рассмотрение примеров, не входящих  в объем понятия;

      4) формулировка определения понятия;

      5) сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных  признаков понятия;

      6) систематизация знаний.[58].

      Этапы формирования математических понятий  по Г.С. Саранцеву:

      1) мотивация введения понятия;

      2) выделение существенных свойств  (признаков) понятия;

      3) усвоение логической структуры  определения;

      4) применение понятия;

      5) установление связей данного понятия с другими понятиями. [150]. СБ. Суворова рассматривает следующие этапы:

      1) подготовка к формализации; создание  наглядно-интуитивных представлений  об объектах, принадлежащих некоторому  классу;

      2) раскрытие содержания понятия,  создание представлений об объеме понятия, усвоение терминологии и символики;

      3) обучение применению понятия  в простейших, но достаточно характерных  случаях;

      4) включение понятия в систему  содержательных связей с другими понятиями.

      О.Б. Епишевой.[68]. выделены три этапа  формирования математических понятий: подготовительный, основной и этап закрепления.

      На  первом этапе используются методические приемы создания проблемной ситуации, в результате изучения которой происходит выявление, анализ и сравнение общих  и существенных признаков некоторых объектов:

      1) наблюдение, в результате которого  выделяются общие и существенные  признаки наблюдаемых объектов;

      2) опыт или практическая работа  исследовательского характера, накапливающая  данные для индуктивного умозаключения;

      3) отыскание ярких практических примеров, показывающих необходимость изучения нового понятия;

      4) моделирование (обозначения), когда  необходимые признаки отделяются  от предметов и фиксируются  с помощью схем, символов, слов;

      5) варьирование несущественных признаков  предметов или явлений при сохранении существенных признаков, что создает основу для их обобщения;6) обзоры изученного или исторические обзоры, показывающие корни нового в старом или аналогии нового со старым;

      7) решение задач, в ходе которого  появляется необходимость введения нового понятия (подводящие задачи).

      На  втором этапе проводится работа над  определением понятия. Для этого  используются методические приемы, помогающие учащимся усвоить определение:

      1) применение приемов определения,  в первую очередь приема определения через ближайший род и видовые отличия;

      2) формулировка определения, введения  термина и символа, обозначающих  понятие, их мотивировку;

      3) рассмотрение частных и общих  случаев, если они имеются;

      4) упражнения на применение приема  определения нового понятия (на выделение общих и существенных свойств понятия, на усвоение родовых и видовых признаков и связей между ними, на варьирование существенных и несущественных свойств понятия, на подведение под понятие, на приведение примеров и контрпримеров, на выведение следствий из определения, на доказательство равносильности разных определений одного понятия, на отыскание ошибок в определениях).

      На  третьем этапе используются следующие  методические приемы:

      1) включение нового понятия в  существующую классификацию или классификация данного понятия, упражнения на классификацию и систематизацию понятий;

      2) теоретические обобщения, устанавливающие  логические связи с другими  понятиями;

      3) составление "родословной"  понятия;

      4) упражнения на обобщение и  специализацию понятий, на "узнавание" понятий (на чертеже), на замену одного понятия другими;

      5) решение задач на применение  новых понятий;6) повторение на  последующих уроках определения  понятия.

      На  этапе "образования понятия" необходимо уделять большое внимание формированию у учащихся умений по работе с определениями. При этом обратить внимание школьников на логическую структуру определения и выделить существенные признаки, входящие в определение, характер их связи.

      Анализируя  причины устойчивых ошибок при усвоении математических понятий, В.А. Далингер[57] указывает, что они являются следствием:

      а) психологических факторов (ослабление внимания, памяти, мышления);

      б) несовершенства организации процесса обучения;

      в) недостатков программ, учебников по математике;

      г) несформированность у учащихся на нужном уровне семантики и синтаксиса математического языка.

      Формирование  у обучаемых обобщенных абстрактных  образов, отражающих различные классы математических объектов, к сожалению, на практике решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы. Н.Ф. Талызина отмечает, что " правильно воспроизводя определение понятий, т.е. осознавая их содержание, учащиеся не умеют пользоваться ими при ориентировке в предметной действительности, при решении задач на применение этих понятий".[167, с. 13] Качество же усвоения понятия определяется тем, что может делать ученик с этим понятием.[там же, с. 16] Таким образом, критерием знания служит действие, его ценность. Понятие неразрывно связано с действиями, как в процессе своего становления, так и в процессе функционирования. Заметим, что процесс усвоения идет как процесс решения задач. "Действие нельзя усвоить, не выполняя его, а выполнение действия предполагает адекватную ему задачу. Таким образом, процесс усвоения постоянно носит проблемный характер. Выполняемые действия с признаками понятий и служат инструментом построения понятий, его порождения. Понятие -продукт собственных действий учащихся." [там же] Второе важное замечание касается того, что математические понятия (как и любые другие) не могут быть усвоены без усвоения целой системы мыслительных действий, начальных логических знаний и умений.

      Таким образом, обобщая и систематизируя исследования психологов и методистов по проблеме формирования математических понятий, мы приходим выводу:

      1) Существуют различные подходы  к определению понятия в философии, логике, психологии, педагогике;

      2) Под понятием мы будем понимать  форму мышления, отражающую и  фиксирующую существенные признаки  вещей и явлений окружающей  действительности;

      3) Под процессом формирования понятия мы будем понимать деятельность учащихся, направленную на усвоение и применение понятия, осуществляемую под руководством учителя;

      4) В психолого-педагогической литературе  описаны различные способы формирования  понятия, но нет универсального. Способ формирования понятия будем определять в зависимости от содержания понятия, общего развития учащихся, их предшествующего опыта и объема знаний;

      5) Понятие может быть полноценно  усвоено тогда, когда оно применяется  на собственном опыте и не дается учащимся как "готовое знание

      6) В процессе формирования математических  понятий мы будем выделять  следующие этапы:

      а) мотивация введения понятия;

      б) создание проблемной ситуации (выявление, анализ и сравнение

      общих и существенных признаков объектов);

      в) усвоение логической структуры определения;

      г) применение понятия;

      д) установление связей данного понятия  с другими понятиями;

      е) применение понятия в решении  творческих задач.

Глава 2. Опытно-экспериментальная  работа по формированию понятия числа на уроках математики

      2.1. Методические особенности  формирования понятия  числа в начальном   курсе математики

      2.2. Исследование исходного  уровня сформированности  понятия числа  у учащихся начальной  школы 

      2.3. Методические  рекомендации по формированию понятия числа у учащихся начальной школы

      Любые математические понятия должны выглядеть  в глазах учащихся убедительными  и необходимыми. Для этого полезно  руководствоваться следующими методическими  принципами, предлагаемые Ю.М.Колягиным, Г.Л. Луканкиным:

      1. При введении нового понятия по возможности опираться только на известные учащимся понятия.2. По возможности включать новые понятия в систему уже известных понятий.3. При введении новых понятий по возможности опираться на конкретные модели, связанные с реальной действительностью.4. Мотивировать не только введение самих понятий, но и целесообразность соответствующих определений.5. По возможности соблюдать строгость и систематичность изложения, не допускать математически некорректных толкований, четко отличать мотивировку или иллюстрацию от доказательства, причем это требование должно относиться в равной мере, как учителю, так и к учащимся [88,с 10]. В широком смысле абстракция означает возможность рассматривать предметы и процессы с какой-либо одной точки зрения, отвлекаясь от других сторон.