Функції комплексної змінної та їх похідні
Міністерство освіти і науки,МОЛОДІ ТА СПОРТУ України
Кіровоградський державний педагогічний університет
ІМЕНІ Володимира Винниченка
Кафедра математики
ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ТА ЇХ ПОХІДНІ
Курсова робота
з математики
Остапенко Ю.В.
студентки 34 групи
фізико-математичного факультету
спеціальність: 6.040201 математика*
Науковий керівник:
Романов Володимир Олександрович
Кіровоград 2012
Зміст
Вступ……………………………………………..……….……
1. Огляд основних понять і фактів теорії комплексних
чисел
1.1. Основні поняття і факти....…………….………….………………....
2. функції комплексної змінної ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. Множина точок у площині
2.1. Поняття функції……………………………………………….....
2.3.Властивості функцій,неперервних на
замкненій обмеженій множині……....................…
2.4. Ціла лінійна функція…………………………………..........
2.5. Дробово-лінійна функція………………………….............
3. Похідна та її найпростіші властивості
3.1. Поняття похідної…………………………………………......
3.2. Поняття аналітичної функції…………………….………..........…
3.3. Диференціювання степеневого ряду…………………………...….....…..….
3.4. Ряд Тейлора………………………..…………………………….
Висновки…………………………………………………………
Список
літератури……………………………………………………
АНОТАЦІЯ
Стор. 63, рис. 14, табл. 1, бібліогр. 11
Комплексна, теорія, похідна,теорема, формула, функція, змінна.
Реферат присвячено теорії функцій комплексної змінної та їх похідним. Детально розглядаються основні функції та поняття.
Наводяться докладні розв'язання типових задач з теми, що демонструють використання на практиці результатів теорії. При цьому велика увага приділяється не тільки розгляданню "технічних прийомів", але й дослідженню умов застосовності тієї чи іншої теореми або формули. Кількість розібраних прикладів змінюється в залежності від обсягу та важливості теми.
Ця робота може бути корисною для тих, хто цікавиться математичними науками і не тільки. Оскільки на даному етапі теорія функцій комплексної змінної є невід’ємною частиною математичного апарату і напряму використовується у гідромеханіці, теорії фільтрації, теорії пружності, теплотехніці, гідротехніці, електротехніці, радіотехніці, електронній оптиці та ін.
АННОТАЦИЯ
Стр. 63, рис. 14, табл. 1, библиогр. 11
Комплексная, теория, производная, теорема, формула, функция, переменная.
Реферат посвящен теории функций комплексной переменной и её производным. Детально рассматриваются основные функции и понятия.
Наводятся подробные
решения типичных задач из темы,
которые демонстрируют
Эта работа может бать полезной для тех, кто интересуется математическими науками и не только. Поскольку на данном этапе теория функций комплексной переменной является неотъемлемой частью математического аппарата и направления используется в гидромеханике, теории фильтрации, теории упругости, теплотехнике, гидротехнике, электротехнике, радиотехнике, электронной оптике и др.
ANNOTATION
Page 63, рic. 14, тab.1, bibl. 11
Complex, theory, derivate, theorem, formula, function, variable.
An abstract is devoted the theory of functions of complex variable and their derivates. Basic functions and concepts are examined in detail.
The detailed decisions of typical tasks from a theme, which demonstrate the use in practice of results of theory, are pointed. Thus large attention is spared not only consideration of "technical receptions" but also research of terms of applicability of that or other theorem or formula. The amount of the taken apart examples changes depending on a volume and importance of theme.
This work can be useful to those, who is interested in mathematical sciences and not only. As on this stage a theory of functions of complex variable is inalienable part of mathematical vehicle and direction utillized in hydromechanics, theory of filtration, theory of resiliency, heating engineering, hydraulic engineering, electrical engineering, radio engineering, to the electronic optics and other.
Вступ
Актуальність теми. У даний час комплексні числа не менш вживані ніж дійсні числа як в суто математичних дослідженнях так і у різноманітних застосуваннях у фізиці і техніці.
Сьогодні теорія функцій
комплексної змінної є невід’
Об’єкт дослідження: теорія функцій комплексної змінної.
Предмет дослідження: функції комплексної змінної та їх похідні.
Мета дослідження: викладення матеріалу українською мовою.
Завдання:
- зібрати матеріал;
- навести приклади;
- доступно викласти матеріал;
Методи дослідження: поставлені у роботі задачі розв’язувались на основі теорії функції комплексного змінного, а також аналізу наукової літератури.
Основні поняття: комплексне число, збіжний ряд, відкрита множина, скінченна границя функції, нескінченна границя, неперервна функція на множині, комплексна змінна, похідна комплексної змінної.
1. Огляд основних понять і фактів теорії комплексних чисел
1.1.Основні поняття і факти
Комплексним числом називається число виду
z = х + іу,
де х та у - дійсні числа, і - уявна одиниця, яка задовольняє рівність і2 = -1. Числа х та у називаються відповідно дійсною і уявною частиною комплексного числа z і позначаються
х = Re z, у = Im z.
Якщо y = 0, то комплексне число z = х + i0 = x є дійсне. Якщо у ≠ 0, то z = х+ + іу - число уявне, причому при х = 0 воно суто уявне.
Два комплексних числа z1 = х1 + іy1 і z2 = х2 + iy2 називаються рівними, якщо х1 = х2 і y1 = у2. Комплексне число z = х + іу дорівнює нулю тільки тоді, коли х = 0 і у = 0.
Сумою z1 + z2 двох комплексних чисел z1 = x1 + іу1 та z2 = х1 + іу1 називається комплексне число
z1 + z2 = (x1 + х2) + і (y1 + y2),
а добутком z1z2 - число
z1z2 = (x1x2 - y1y2) + і (x1y2 + х1y1).
З означення суми випливає:
Re (z1 + z2) = Re z1 + Re z2,
Im (z1 + z2) = Im z1 + Im z2.
Для комплексних чисел справедливі такі закони:
1) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (асоціативний закон додавання);
2) z1 + z2 = z2 + z1 (комутативний закон додавання);
- (z1z2)z3 = z1(z2z3) (асоціативний закон множення);
- z1z2 = z2z1 (комутативний закон множення);
- (z1+z2)z3 = z1z3 +z2z3 (дистрибутивний закон множення відносно додавання).
Якщо кожному комплексному числу z=х+іу поставити у відповідність у площині ХОУ точку (x; у) з координатами х та у (рис. 1), то між множиною всіх комплексних чисел, і множиною всіх точок площини буде встановлено взаємно однозначну відповідність. Тому далі замість слова «число z» часто говоритимемо «точка z» і навпаки.
Число z = х + іу називається афіксом точки (х; у). Точку (0; 0) називатимемо початком. Площина, точки якої зображають комплексні числа, називається комплексною числовою площиною, або просто комплексною площиною. Вісь абсцис при цьому називається дійсною віссю, а вісь ординат - уявною віссю. Такі назви осей природні, оскільки точки осі абсцис зображають дійсні числа, а точки осі ординат, крім точки (0; 0), зображають числа суто уявні.
Комплексне число z = х + іу можна також зображати вектором, початок якого лежить у точці (0; 0) а кінець - у точці (х; у). Дійсна і уявна частини числа z = х + іу при цьому будуть компонентами зображувального вектора. Довжина цього вектора, що дорівнює , називається модулем комплексного числа z = х + іу і позначається |z|:
|z|=
а кут φ, на який треба повернути навколо початку додатну частину дійсної осі до збігу з цим вектором, називається аргументом числа z і позначається Аrg z:
φ = Аrg z.
При цьому кут φ вважається додатним, якщо обертання додатної частини дійсної осі навколо початку відбувалося проти годинникової стрілки, і від'ємним, якщо це обертання відбувалося за годинниковою стрілкою. Кожне комплексне число z має модуль, причому 0 ≤ |z| < + ∞. Число нуль є єдине комплексне число, модуль якого дорівнює нулю.
Аргумент має кожне комплексне число z, відмінне від нуля, причому - ∞ < Аrg z < -+- ∞. Аргумент числа нуль не визначений. Якщо модуль комплексного числа визначений однозначно, то Його аргумент визначений з точністю до сталого доданка виду 2kπ (k = 0, ±1, ±2,...). Серед нескінченної множини значень Аrg z є одне значення, яке належить проміжку ] -π; π]. Це значення аргументу називають головним значенням і позначають arg z. Таким чином,
Arg z = arg z + 2kπ (k= 0, ±1, ±2, ...), де -π < arg z < k.
Для обчислення головного значення аргументу числа z = х + іу корисні рівності:
arg z = arctg
arg z = arctg
arg z = arctg
Дійсна і уявна частини
Re z = |z|cos Arg z, Imz = |z|sin Arg z,
а саме число z може бути записане у вигляді:
z = |z| (cos Arg z + і sin Arg z)
Ця форма,запису комплексного числа z називається тригонометричною. Звичайна форма запису у вигляді z= х + іу називається алгебраїчною. Оскільки
|z|=
то
|Re z| =
|Im z=
|z|≤|Rez| + |Imz|,
тобто модуль як дійсної, так і уявної частин комплексного числа z не перевищує модуля цього числа, а модуль числа z не перевищує суми модулів його дійсної та уявної частин. Обчисливши добуток двох комплексних чисел
z1 = | z1| (cos Arg z1 + i sin Arg z1)
z2 = | z2|(cos Arg z2 + і sin Arg z2),
дістанемо:
z1z2 = |z1||z2||cos (Arg z1 + Arg z2) + і sin (Arg z1 + Arg z2)|.
Звідси знаходимо:
| z1 ∙z2 |=| z1|| z2|.
тобто модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку їх модулів, і
Arg (z1 ∙ z2) = Arg z1 + Arg z2,
тобто аргумент добутку двох комплексних чисел дорівнює сумі аргументів співмножників.
Ця властивість модуля і аргументу добутку двох комплексних чисел за індукцією легко поширюється на добуток n комплексних чисел. Справедливі рівності:
|z1
Arg (z1
Зокрема, якщо z1= z2 = ... = zn = z ≠ 0, то
|zn| = |z|n, Arg(zn) = n Arg z,
тому
(|z|(cos Arg z + і sin Arg z))n-|z|n(cosn Arg z+isin n Arg z).
Ця рівність називається Формулою Муавра.
Візьмемо два комплексних
z1 = х1 + iу1 і z2 = х2 + іу2.
Відповідні
їм точки площини сполучимо
Оскільки довжина однієї сторони трикутника менша за суму довжин двох інших його сторін і більша за їх різницю, то звідси, спираючись на геометричний зміст модуля комплексного числа, маємо:
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, |z1 + z2 ≥ ||z1| -|z2|,
тобто модуль суми двох комплексних чисел не перевищує суми модулів цих чисел, але не менший від модуля різниці цих модулів. Знак рівності тут матимемо лише в тих випадках, коли точки z1, z2 і початок лежать на одній прямій. Нерівність для модуля суми двох комплексних чисел за індукцією легко поширюється на суму п доданків:
|z1+z2+…+zn| ≤ |z1|+|z2|+…|zn|.
Різницею z1 - z2 двох комплексних чисел z1 = x1 + іу1 i z2 = х2 + іу2 називається число z, що є розв'язком рівняння
z1 = z + z2.
Такий розв'язок існує, він єдиний і дорівнює числу (x1 - x2) + i(y1 - y2). Отже,
z1 - z2 = (x1 - х2) + i (y1 - y2).
Звідси
Re (z1 - z2) = Re z1-Re z2 , Im (z1 - z2) = Im z1 - Im z2.
З рівності
|z1-z2|=|(x1-x2)+iy1-y2|=
робимо висновок, що модуль різниці двох комплексних чисел дорівнює відстані між точками, що відповідають цим числам. У зв'язку з цим рівняння кола радіуса r з центром у точці z0 = х0 + іу0 матиме вигляд
|z - z0| = r.
А точки z = х + iy, для яких |z - z0| < r, лежать всередині круга радіуса r з центром у точці z0
Часткою двох комплексних чисел z1 = x1 + іу1
і z2 = х2 + iy2 ≠ 0 називається число z, що є розв’язком рівняння
z2 = zz2.
Цей розв'язок існує, він єдиний і дорівнює комплексному числу
Таким чином,
За означенням маємо:
звідки
і, отже,
тобто модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці їх модулів, і
тобто аргумент частки двох комплексних чисел дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.
Коренем n-го степеня з комплексного числа z називається комплексне число ζ, яке є розв'язком рівняння
ζn=z
де z - задане комплексне число, п - натуральне число. Такий розв'язок існує. Більше того, при z≠0 існує n різних комплексних чисел ζ0, ζ1, …, ζn-1 таких, що
Ці числа, що позначаються символом , обчислюються за формулою
(k = 0, 1, 2, ..., n-1),
де є додатне значення кореня . Геометрично ці n значень виразу зображаються вершинами деякого правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса центром у початку.
Число = х - іу називається спряженим відносно числа z = х + іу. Оскільки = х + іу = z, то і - взаємно спряжені числа. Для них справедливі рівності:
|
і якщо z не є дійсним від'ємним числом, то
arg
Для від'ємного z маємо:
arg z- arg
Точки і в комплексній площині розташовані симетрично відносно дійсної осі.[3]
2. функції комплексної змінної та їх властивості. Множини точок у площині
2.1. Поняття функції.
Нехай дано множину Е комплексних чисел. Якщо кожному числу z Е за певним законом поставлено у відповідність одне або кілька комплексних чисел ω, то кажуть, що на множині Е визначено функцію комплексної змінної, і пишуть ω = f (z). Множина Е при цьому називається областю визначення, або областю існування функції, z - незалежною змінною, або аргументом, ω - залежною змінною, або функцією. Якщо кожному числу z Е ставиться у відповідність тільки одне число ω, то функція ω = f (z) називається однозначною; в противному випадку вона називається многозначною. Далі здебільшого матимемо справу з однозначними функціями.
Позначимо через F множину всіх значень функції ω = f (z) для z Е. Зобразимо комплексні числа z з множини Е у вигляді точок комплексної площини (z), а комплексні числа с ω з множини F - у вигляді точок площини (ω). Відповідні множини точок позначатимемо тими ж буквами Е і F. Отже, функція ω - f (z) встановлює відповідність між точками множин Е і F. У цьому випадку кажуть, що функція ω = f (z) здійснює відображення множини Е точок площини (z) на множину F точок площини (ω).
Припустимо, що функція ω = f (z) однозначна. Тоді кожній точці z з множини Е вона ставить у відповідність одну і тільки одну точку з множини F. При цьому дві або кілька точок множини Е можуть бути поставлені у відповідність одній точці з множини F.
Наприклад, однозначна функція ω = z2, яка визначена в усій площині, двом різним точкам z1 = -2 і z2 = 2 ставить у відповідність одну точку ω = 4.
Візьмемо довільну фіксовану точку ω з множини F і поставимо їй у відповідність ті точки множини Е, яким функція ω = f (z) поставила у відповідність точку ω. Цим самим на множині F визначається функція z = φ (ω), яка називається оберненою функцією відносно функції ω = f (z) і часто позначається так: z = f-1 (ω). Функція ω = f (z) при цьому називається прямою функцією. Ясно, що коли пряма функція ω = f (z) однозначна, то обернена функція z = f-1 (ω) може бути як однозначною, так і многозначною. Наприклад, для функції ω = 2z + 1 обернена функція z = f-1(ω)= = однозначна, а для функції ω = z2 обернена z f-1 (ω) = многозначна (двозначна). Для того щоб обернена функція z = f-1 (ω) була однозначною, необхідно і достатньо, щоб пряма функція ω = f (z) кожним двом різним точкам з множини Е ставила у відповідність, дві різні точки множини F, тобто щоб функція ω = f (z) відображала множину Е на множину F взаємно однозначно.
Функція ω - f (z), яка визначена на множині Е, називається обмеженою на цій множині, якщо існує число С > 0 таке, що |f (z) | ≤ С для всіх z Е.
В теорії функцій комплексної змінної найчастіше розглядатимемо функції, які визначені не на довільній множині, а на спеціальних множинах, що їх буде розглянуто в наступних пунктах.
2.2. Поняття області.
Нехай Е - множина точок комплексної площини. Точка z0 Е називається внутрішньою точкою множини Е, якщо досить малий окіл цієї точки цілком належить множині Е. Множина Е називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою для неї. Відкрита множина називається областю, якщо довільні дві її точки можна сполучити ламаною, яка цілком належить цій відкритій множині. Область позначатимемо буквою D. Точка z0, в довільному околі якої є точки як належні області D, так і не належні їй, називається межовою точкою області D. Множина всіх межових точок області D називається межею цієї області. Область D разом із своєю межею називається замкненою областю і позначається D. Неважко показати, що межа області і замкнена область є замкнені множини. Точка, в досить малому околі якої немає жодної точки області D, називається зовнішньою точкою цієї області.
Наведемо приклади, які пояснюють введені нами поняття,
а) Е - множина точок, що містяться у кругах | z-1| < < 2 і 1| 2 - 3i | < 1.
Кожна точка цієї множини є внутрішня для неї, тому Е - відкрита множина. Проте Е - не область, оскільки дві її точки z = 1 і z = 3і не можна сполучити ламаною, яка б цілком належала Е.
б) Е - множина точок z, які задовольняють нерівності
Це множина точок, що містяться між двома променями, які виходять з початку і утворюють з додатним напрямом дійсної осі кути, що дорівнюють і . Вона є областю, причому необмеженою.
Межу цієї області утворюють два промені: arg z = та arg z = .
в) Е - множина точок z, які задовольняють нерівності
l<|z - і\<2.
Це множина всіх точок, які містяться між двома колами радіусів 1 і 2 із спільним центром у точці z = і; вона називається круговим кільцем і є обмеженою областю. Межа цієї області складається з двох кіл: | z - -і | = 1 і | z - і | = 2.
г) Е - множина точок, які задовольняють нерівності
0<|z- 1|≤2.
Ця множина є замкнений круг радіуса 2 з центром у точці z = 1, з якого виключено точку z = 1 - центр цього круга. Е не є відкритою множиною, а тому і не є областю, оскільки точки кола |z- 1| = 2 належать цій множині, не будучи її внутрішніми точками.
д) Е - множина точок, які задовольняють нерівності
0 ≤ Rez ≤ 1.
Е - це смуга, обмежена
уявною віссю і прямою, яка паралельна
уявній осі і міститься праворуч від неї
на віддалі, що дорівнює одиниці. E не є відкрита множина і,
отже, не є областю, оскільки точки уявної
осі, не будучи внутрішніми точками множини Е, належать цій множині. Проте Е є замкнена необмежена
область. Справді, множина точок z, які задовольняють нерівності
Нарешті, зауважимо, що вся комплексна площина є приклад необмеженої області, у якої немає межових точок.
2.3. Властивості
функцій, неперервних на
Функція, неперервна на замкненій обмеженій множині, має ряд властивостей, яких, взагалі кажучи, не має функція, неперервна на довільній множині. Доведемо три з цих властивостей.
Теорема 2. Функція, неперервна на замкненій обмеженій множині, обмежена на цій множині.
Доведення. Застосовуючи для доведення метод міркування від супротивного, припустимо, що неперервна на замкненій обмеженій множині F функція f (z) не обмежена на ній. Тоді для натурального числа п знайдеться точка zn F така, що | f (zn) | > п.
Оскільки F - обмежена множина, то zn - обмежена послідовність. За теоремою Больцано - Вейєрштрасса знайдеться підпослідовність , яка збігається до деякої точки z*. Точка z* є гранична для F, і оскільки F - замкнена множина, то z* F. В силу неперервності функції f (z) в точці z* послідовність f ( ) збігається до f(z*) і, отже, обмежена. З другого боку, | f ( ) | > nk і, отже, f ( ) - необмежена послідовність. Ця суперечність доводить справедливість твердження теореми.
Теорема 3. Якщо функція f (z) неперервна на замкненій обмеженій множині F, то знайдуться дві точки z* і z**, які належать F і такі, що для довільного z F справедливі нерівності
|f(z*)| ≤ |f(z) |≤ |f(z**)|.
при цьому |f (z*)| називається мінімумом, a |f(z**)| - максимумом модуля функції f (z) на множині F.
Доведення. Доведемо існування точки z** F, для якої справедлива нерівність
|f(z) |≤ |f(z**)|
для довільної точки z F. Доведення другої частини теореми проводиться аналогічно. За теоремою 2 функція f (z) обмежена на F. Введемо позначення:
M = sup|f(z)|.
Якщо існує точка z** F, для якої | f (z**) | = М, то нерівність (3.2) доведено. Припустимо, що така точка z** F не існує. Тоді функція
будучи неперервною на замкненій обмеженій множині F, за теоремою 2 обмежена на ній, тобто
Звідси
і, отже,
що суперечить означенню числа М як точної верхньої межі функції |f(z)| на замкненій обмеженій множині F. Теорему доведено.
Теорема 4. Функція f (z), неперервна на замкненій обмеженій множині F, рівномірно неперервна на ній, тобто для довільного числа ε > 0 знайдеться число δ > 0, яке залежить тільки від ε і таке, що для довільних точок z' і z", які належать F і для яких |z' - z" | < δ.
Доведення. Припустивши супротивне, переконаємося в існуванні такого числа ε0 > 0, що при довільному δ > 0 нерівність буде справедлива принаймні для однієї пари точок z' і z" F, | z' - z" | < δ. Візьмемо послідовність чисел δn > 0, яка збігається до нуля. Знайдуться точки z'п і z"n такі, що
Оскільки zn F, то zn - обмежена послідовність і за теоремою Больцано - Вейєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай →z* (k →∞). З нерівності випливає, що →z* (k →∞). Точка z*, будучи граничною для замкненої множини F, належить до цієї множини. В силу неперервності функції f (z) в точці z* маємо:
звідси
що суперечить нерівностям:
Теорему доведено. Оскільки кусково-гладка дуга і обмежена замкнена область є обмежені замкнені множини, то функції, неперервні на цих множинах, мають властивості, які сформульовано в теоремах 2-4 цього пунк
2.4. Ціла лінійна функція.
Розглянемо три функції
ω = z + c, (3.3)