Функції обмеженої варіації
Сумський державний
Кафедра математики
КУРСОВА РОБОТА
з математичного аналізу
на тему: «Функції обмеженої варіації»
Студента 3 курсу 432 групи
напряму підготовки 0402 фізико-математичних наук
Спеціальності 6.040200 Математика*
Суденка Олександра Миколайовича
Керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент
Погребний Валерій Данилович
Національна шкала ___________________________
Кількість балів: ________ Оцінка: ECTS _________
Члени комісії: __________ ____________________
(підпис)
__________ ____________________
(підпис)
м. Суми – 2011 р.
План
ВСТУП…………………………………………………………………
1. Визначення функції обмеженої варіації……………………………………....4
2. Класи функцій обмеженої варіації…………………………………………….6
3. Властивості функцій обмеженої варіації…………………………………..…9
4. Критерії для функцій обмеженої варіації……………………………………12
5. Неперервні функції обмеженої варіації……………………………………...14
6. Спрямні криві………….....……………...……………………
7. Теорема Жордана……………………………………………………………
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………….22
Вступ
Варіація функції, одна з найважливіших характеристик функції дійсної змінної. Нехай функція f (x) задана на деякому відрізку [a, b]; її зміною, або повною варіацією, на цьому відрізку називається верхня грань сум
при будь-якому розбитті
відрізка [a, b] на скінченне число частин. Геометрично зміна неперервної функції f (x) являє собою довжину проекції кривій на вісь ординат, враховуючи кратність покриття (теорема Банаха). Варіацію функції f (x) на відрізку [а, b] прийнято позначати символом
Якщо варіація функції звичайна, тоді така функція називається функцією з обмеженою зміною (функцією з кінцевою зміною, або функцією обмеженої варіації). Функції з обмеженою зміною були визначені й уперше вивчалися К. Жорданом (1881). Багато важливих функцій належать до функцій з обмеженою зміною, наприклад, монотонні функції, задані на відрізку, функції з кінцевим числом максимумів і мінімумів, функції, що задовольняють рівняння Ліпшица. Будь-яка функція з обмеженою зміною на відрізку [а, b] має не більш ніж скінченну множину точок розриву, і в тому числі першого роду, інтегровна по Ріману і є різницею двох неспадних функцій (К. Жордан). Межа збіжної послідовності функцій з рівностепеневими обмеженими змінами є функція з обмеженою зміною. Функції з обмеженою варіацією мають майже всюди кінцеву похідну, яка інтегровна по Лебегу (теорема А. Лебела).
1. Функції обмеженої варіації.
Функцій, що будуть розглядатися в даній курсовій роботі були введені Жорданом (С. Jordan). Цей клас функцій відіграє основну роль у багатьох питаннях математичного аналізу.
Нехай функція визначена в деякому кінцевому проміжку де . Розкладемо цей проміжок на частини довільним чином за допомогою точок ділення:
З абсолютних величин приростів функції, що відповідають окремим частковим проміжкам, складемо суму:
(1)
Запитання полягає в тому, чи буде
множина чисел, що відповідає різним
способам поділу відрізку
на частини, обмеженою зверху.
Якщо суми (1) в їх сукупності обмежені зверху, то говорять, що функція на проміжку має обмежену варіацію. При цьому точну верхню грань цих сум називають повною варіацією функції на вказаному проміжку і позначають символом:
Можна використовувати це поняття і у випадку функції необмеженої варіації, але тоді повна варіація буде рівною .
Відповідно до визначення точної верхньої грані, в обох випадках, вибираючи проміжки, що належать , можна досягнути довільного наближення суми до повної варіації . Іншими словами, можна вибрати таку послідовність відрізків, що повна варіація була границею для послідовності відповідних сум .
Інколи ставиться запитання про обмеженість варіації функції на нескінченному проміжку, наприклад, на проміжку . Функція має обмежену варіацію на проміжку , якщо вона є функцією обмеженої варіації на будь-якому проміжку , і повні варіації обмежені в їх сукупності. В усіх випадках ми маємо на увазі, що
Відзначимо, що в цих визначеннях ніякої ролі не відіграє питання про безперервність функції .
Прикладом функції з обмеженою зміною в кінцевому або нескінченному проміжку може бути будь-яка обмежена монотонна функція. Якщо проміжок кінцевий, то це відразу випливає з того, що
так що й . Для проміжку , очевидно
розуміючи під , як звичайно, .
Дамо тепер приклад безперервної функції, яка, однак, не буде функцією з обмеженою зміною. Покладемо
і розглянемо, наприклад, проміжок [0, 1]. Якщо за точки ділення цього проміжку прийняти точки
то, легко переконатися
2. Класи функцій з обмеженою зміною.
Ми вже згадували про те, що монотонна функція має обмежену варіацію. Можна в такий спосіб розширити цей клас функцій:
1. Якщо функція , задана в проміжку , так, що цей проміжок може бути розкладений на кінцеве число частин
у кожній з яких монотонна *, то вона має на обмежену зміну.
Розбивши довільним чином
так що
Так як довільна сума не перевершує цього числа, то воно і буде повною зміною функції.
2. Якщо функція на проміжку задовольняє умову
де , і — будь-які точки проміжку *, то вона має обмежену зміну, причому
Це випливає з нерівності
Зокрема,
3. Функція буде на проміжку функцією з обмеженою варіацією, якщо вона має на ньому обмежену похідну: (де ).
Справді, за теоремою про середній у цьому випадку
так що виконана умова Ліпшица (3).
На підставі цього зауваження можна, наприклад, стверджувати про обмеженість варіації функції
на будь-якому кінцевому проміжку, тому що похідна цієї функції
обмежена.
Великий клас функцій з обмеженою зміною:
4. Якщо на кінцевому (або навіть на нескінченному) проміжку подати у вигляді інтеграла зі змінною верхньою межею:
де передбачається абсолютно інтегрувальною * на цьому проміжку, то має на ньому обмежену варіацію. При цьому
Нехай — кінцевий проміжок; тоді
звідки й випливає наше твердження.
Якщо ж мова йде про нескінченний проміжок , то достатньо відмітити, що
Зауваження. Можна довести, що як і у випадку кінцевого, так і у випадку нескінченного проміжку насправді має місце
точна рівність
Якщо ж функція на проміжку інтегрувальна, але не абсолютно, та повна варіація нескінченна. Ми не будемо зупинятися на цьому, але пояснимо лише останню частину зауваження прикладами.
Нехай
Тоді, наприклад, для
але ми показали, що інтеграл цей — не абсолютно збіжний. Аналогічно розкладемо проміжок [0, 2] точками
для відповідної суми , буде
звідки й випливає, що
Аналогічно цьому легко показати, що функція
на проміжку має необмежену варіацію.
3. Властивості функцій з обмеженою зміною.
Проміжок ,на якому розглядаються всі функції, вважається кінцевим.
1. Будь-яка функція з обмеженою зміною обмежена.
Насправді, при маємо
звідки
2. Сума, різниця й добуток двох функцій і з обмеженою варіацією також є функціями з обмеженою зміною.
Нехай Тоді
і підсумовуючись по значкові ,
звідки випливає
Покладемо тепер і нехай
[див. вл. 1]. Очевидно, що
звідки вже легко одержати, що
3. Якщо і — функції з обмеженою зміною і
то і — функція з обмеженою варіацією.
За допомогою властивості 2, досить довести обмеженість зміни функції Маємо
так що
4. Нехай функція визначена в проміжку і . Якщо функція має обмежену варіацію на проміжку , то вона має обмежену зміну й
на кожному із проміжків і , і навпаки. При цьому
(5)
Нехай має обмежену зміну на . Розкладемо на частини кожний із проміжків і :
(6)
цим буде розбитий на частини й ввесь проміжок . Складемо суми окремо для проміжків і :
відповідна сума для проміжку буде
Таким чином
і, отже, кожна із сум і порізну обмежена, тобто функція виявляється з обмеженою зміною на проміжках і . Вибираючи частини (6) так, щоб суми і , прямували до відповідної повної варіації, то отримаємо
Припустимо тепер, що має обмежену варіацію на кожному із проміжків і . Зробимо довільне розбиття проміжку на частини. Якщо точка с не входить до складу точок розбиття, то ми її додатково введем, тому сума лише збільшиться. Зберігаючи позначення, будемо мати
Звідси відразу випливає обмеженість варіації на проміжку і нерівність:
Нарешті, з (7) і (8) випливає (5).
З доведеної теореми, зокрема, випливає:
5. Якщо на проміжку функція має обмежену зміну, то для повна варіація
буде монотонно зростаючою (і обмеженою) функцією від .
Дійсно, якщо то
так що
(9)
(тому що за визначенню повної варіації воно не може бути від’ємним числом).
Тепер стає зрозумілим, що визначення повної варіації на нескінченному проміжку вираз (2) може бути поданий в наступній формі:
4. Критерії для функцій з обмеженою зміною.
Нехай функція визначена на кінцевому або нескінченному проміжку .
6. Для того щоб функція мала на проміжку обмежену варіацію, необхідно і достатньо, щоб на цьому проміжку існувала монотонно зростаюча і обмежена функція , така, що в будь-якій частині ,
проміжку приріст функції за абсолютною величиною не перевищував відповідного приросту функції :
Функцію , яка володіє цією властивістю,будемо називати мажорантою для функції .
Необхідність випливає з того, що для функції з обмеженою варіацією роль мажоранти може відіграти, наприклад, функція
монотонно зростаюча і обмежена в силу властивості 5. Нерівність
випливає із самого визначення повної варіації функції.
Достатність для випадку кінцевого проміжку випливає з нерівності
а для нескінченного — отримуємо граничним переходом.
Дуже важливою є інша форма критерію:
7. Для того щоб функція мала на проміжку обмежену варіацію, необхідно й достатньо, щоб вона подавалася на цьому проміжку у вигляді різниці двох монотонно зростаючих і обмежених функцій:
Необхідність. У силу властивості 6, для функції з обмеженою зміною існує монотонно зростаюча й обмежена мажоранта . Покладемо
так що (10) виконується. Залишається переконатися в монотонності функції але при
за визначенням мажоранти.
Достатність випливає з того, що при наявності рівності (10) функція
буде мажорантою, або
Із приводу теореми 7 зробимо додаткове зауваження.
Так як функції і обмежені, те шляхом додавання до них однієї й тієї ж сталої завжди можна досягти того, щоб вони стал додатніми. Аналогічно, додаючи до функцій і яку-небудь зростаючу, але обмежену функцію (наприклад, ), прийдемо до розкладання виду (10), де обидві функції будуть вже строго зростаючими.
Установлена в 7 можливість зведення функцій з обмеженою зміною до монотонних функцій не повинна створювати в ілюзій відносно «простоти» приведення функцій з обмеженою зміною: адже нескінченно варіююча функція
також допускає подання її у вигляді різниці двох монотонних функцій.
Проте, саме у зв'язку з виставою (10), деякі властивості монотонних функцій переносяться й на функції з обмеженою варіацією. Так, якщо згадати, що для монотонної обмеженої функції при будь-якому існують односторонні границі
то, застосовуючи цю властивість до кожної з функцій і , будемо мати властивість 8.
8. Для функції з обмеженою варіацією на проміжку у будь-якій точці цього проміжку існують кінцеві односторонні границі.
5. Неперервні функції з обмеженою варіацією.
9. Нехай на проміжку задана функція з обмеженою варіацією. Якщо у деякій точці неперервна, то в цій же точці неперервна і функція
Припустимо, що і доведемо, що неперервна у точці справа. Для цього візьмемо довільне , розіб’ємо проміжок точками
на частини так, щоб
Спираючись на неперервність функції , можна припустити при цьому, що уже настільки близький до , що виконується нерівність
(при необхідності, можна було б вставити ще одну точку ділення, при цьому сума лише збільшиться). Тоді з (12)випливає, що
тоді
і
Звідси
отже, враховуючи довільність вибору ,
Аналогічно доводиться, що (при )
тобто що неперервна зліва.
З доведеної теореми випливає такий наслідок:
10. Неперервну функцію обмеженої варіації можна подати у вигляді різниці двох неперервних зростаючих функцій.
Насправді, якщо повернутися до доведення властивості 7 (зокрема необхідності) і в якості монотонної мажоранти взяти саме функцію
неперервну в силу 9, то й отримаємо необхідне розкладання.
На закінчення покажемо, що для неперервної функції у визначенні повної варіації:
supremum можна замінити границею як і у випадку, коли повна варіація скінченна, так і у випадку, коли вона нескінченна.
11. Нехай функція неперервна на проміжку . Розклавши цей проміжок на частини точками
і склавши суму
будемо мати
де .
Як ми вже відзначали, сума не зменшується від додавання нової точки поділу **. З іншого боку, якщо ця нова точка належить проміжку між і , то збільшення суми , що виникає з появою цієї точки, не перевершує подвоєної варіації функції на проміжку .
Помітивши це, візьмемо яке-небудь число
і знайдемо суму * таку, що
Нехай ця сума відповідає наступному способу поділу:
Виберемо тепер таке , що
як тільки (в силу рівномірної неперервності функції ). Доведемо, що для будь-якого способу поділу, якому відповідає , буде
(15)
Насправді, маючи такий спосіб поділу (I), складемо новий спосіб (II), що виходить із (I) додаванням усіх точок . Якщо способу (II) відповідає сума , то
З іншого боку, спосіб (II) отримуємо із (I) шляхом m-кратного додавання по одній точці. Так як кожне додавання призводить до збільшення суми , менш ніж на , то
Звідси, а також із (16) і (14), випливає, що
Отже, при виконується (15); але, оскільки завжди
то дійсно має місце (13), що й треба було довести.
6. Спрямні криві.
Поняття функції з обмеженою варіацією застосовується при дослідженні спрямлюваності кривої лінії, у зв'язку з чим дане поняття й було вперше введене Жорданом.
Нехай крива ( ) задана параметричними рівняннями
(17)
де функції і неперервні. Припустимо при цьому, що крива не має точок поділу.
Обравши за вершини вписаної в криву ламаної точки кривої, що відповідають значенням параметра
отримаємо таке значення периметра ламаної
Довжина розглянутої дуги кривої визначається як точна верхня грань множини всіх периметрів . Якщо ця грань скінченна, крива називається напрямною.
7. Теорема Жордана.
Для спрямлювальності кривої (17) необхідно і достатньо, щоб функції і мали обмежену варіацію на проміжку .
Необхідність. Якщо крива напрямна і має довжину , то на будь-якому підпроміжку (18) проміжка маємо
звідки, у силу очевидної нерівності
випливає, що
так що функція , дійсно, має обмежену варіацію. Аналогічний висновок застосовний і до функції .
Достатність. Припустимо, що обидві функції і мають обмежену варіацію. Через очевидну нерівність
можна стверджувати, що всі числа обмежені зверху, наприклад, числом
А звідси, за доведеним вище, слідує спрямлювальність кривої ( ).
Додамо ще два важливі зауваження.
З вище доведеного слідує, що вся довжина кривій (17) задовольняє нерівності
Розглядаючи дугу , що відповідає проміжку зміни параметра, використаємо дану нерівність на проміжку , де, . Тоді
Так як при нескінченно малому обидві варіації справа, а з ними і , також нескінченно малі, то ми приходимо до висновку: для неперервної спрямлювальної кривої дуга є неперервною функцією параметра.
Так як ця функція монотонно зростає від 0 до довжини кривої, то, яке б не було натуральне число , дану криву можна подати розділеною на частин довжини . Якщо площина покрита сіткою квадратів зі стороною , то кожна зі згаданих частин не може зустріти більше чотирьох таких квадратів. Таким чином, сума площ усіх квадратів, що зустрічають нашу криву, у всякому разі не перевищує і може бути зроблена як завгодно малою: крива має площу рівну нуль.
Наслідок: область, обмежена спрямлювальною кривою (або декількома такими кривими), має площу.
Висновок
Отже, в даній курсовій роботі було розглянуто важливий клас функцій – функції обмеженої варіації.
Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом. Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був запроваджений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є 2π-періодичних функцій класу збігаються в кожній точці дійсної осі. Однак у подальшому функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різних галузях математики, особливо в теорії інтеграла Стільтєса.
Розглянуто класи функцій обмеженої варіації, властивості, було подано змістовне їхнє означення, критерій для розпізнавання таких функцій. Досліджувались неперервні функції обмеженої варіації, а також монотонні функції, спрямні криві, а також теорема Жордана для спрямлювальних кривих.
Функції з обмеженою зміною використовуються в теорії інтеграла Стільтєса,теорії тригонометричних рядів, у геометрії і мають дуже важливе значення при розв’язанні різних задач математичного аналізу.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
- Александров П.С., Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 3 изд., М. — Л. — 1938.
- Вайнберг М.М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение. — 1979. — С. 128.
- Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. – М.: ГТТИ. – С. 1934.
- Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука. – 1974.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том III/ - СПб.: Лань. — 1997. — С. 672.
6. Фролов Н.А. Теория функций действительного переменного. Учебное пособие для пединститутов. Изд-во 2-е. — М.: Учпедгиз. — 1961.