Санкт-Петербургский  Университет Аэрокосмического Приборостроения

Курсовая  работа

Функции косвенной полезности и расходов потребителя: определение  и свойства 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург

2012 год

Оглавление 

Поведение потребителя

      Модель  поведения потребителя описывает осуществляемый им на рынке выбор набора благ. Принимая решение о покупке конкретного набора благ , потребитель (экономический агент) исходит из:

1. представленной неоклассической функцией системы собственных (индивидуальных) предпочтений;
2. системы цен на рассматриваемые в модели (включенные в набор) благ ;
3. величины дохода М, которым он располагает в момент выбора.

   Экономико-математическая модель, описывающая потребительский  выбор (поведение потребителя), представляет собой  экстремальную задачу следующего вида:

                           (1)

Оптимальное решение задачи (1) при заданных значениях  цен  и дохода М – вектор представляет индивидуальный спрос потребителя. Последний очевидным образом определяется ценами приобретаемых благ и величиной наличного дохода, выступающими в качестве параметров (экзогенных переменных) оптимизационной задачи (1). Соответственно, мы можем говорить о функции индивидуального спроса, как зависимости, которая системе цен на блага и величине дохода M ставит в соответствие наиболее предпочтительный для потребителя (т.е. обеспечивающий максимальный из достижимых уровней полезности) набор благ .

      Предположение о неоклассических свойствах  функции полезности гарантирует наличие следующих свойств у функции индивидуального спроса :

1. Стоимость оптимального набора благ равна величине имеющегося у потребителя дохода, т.е. .
2. Нулевой однородности по ценам и доходу, т.е. для любого положительного числа имеет место равенство .
3. В точке потребительского выбора предельная норма замены благ совпадает с экономической нормой замены, которая представляет собой задаваемую ценами альтернативную стоимость блага i, выраженную в единицах блага j, т.е. .

Функция косвенной полезности

      Введенное выше определение функции индивидуального  спроса позволяет нам сконструировать еще одну функциональную зависимость, которая оказывается полезной в экономическом анализе поведения потребителя. Это так называемая функция косвенной полезности (indirect utility function), переменными которой, как и в случае функции индивидуального спроса, выступают цены благ и доход потребителя (M), а зависимой переменной (скалярной!!!) является максимальный уровень полезности, доступный потребителю при данных значениях цен и дохода. Формально функция косвенной полезности определяется как значение целевой функции экстремальной задачи (1) в точке оптимального решения¹, т.е. , где есть множество доступных потребителю по стоимости наборов благ.

      Как следует их определения функции  косвенной полезности, она характеризует  уровень полезности, потенциально доступный потребителю с его индивидуальными предпочтениями, представленными функцией полезности , при заданной системе цен и доходе М. Функция , характеризуя полезность потребителя, оправдывает использование термина косвенной полезности по двум причинам:

• Во-первых, в отличие от обычной функции полезности , которая имеет своим значением полезность произвольного набора благ , характеризует наибольший уровень полезности, достижимый для потребителя при заданных значениях цен благ и дохода. Однако данный максимальный уровень полезности достижим только потенциально и поэтому характеризует получаемую потребителем полезность косвенно (потребитель может выбрать из числа доступных ему наборов неоптимальный).
• Во-вторых, аргументами функции косвенной полезности выступают отнюдь не объемы присутствующих в наборе благ, а цены на них и величина имеющегося у потребителя дохода. В силу этого обстоятельства можно трактовать как полезность (потенциальную, поскольку речь идет о достижимом максимуме) дохода M для потребителя при системе цен .

   При фиксированном значении дохода представление  функции косвенной полезности точно также, как и в случае функции полезности , возможно через линии уровня (кривые безразличия). Кривая безразличия функции косвенной полезности описывает для фиксированного уровня дохода M множество векторов/систем цен , при которых для потребителя достижим заданный полезности u. В связи с этим ее называют кривой безразличия систем цен (price indifference curves). Формальное определение кривой безразличия систем цен выглядит следующим образом: . Соответственно, для кривой безразличия систем цен определяются два множества: верхний и нижний контуры. По своему определению верхний контур представляет собой множество всех систем/векторов цен, при которых потенциально достижимый потребителем уровень полезности не ниже u. Соответственно, нижний контур есть множество всех систем/векторов цен, при которых потенциально достижимый потребителем уровень полезности не превышает u. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Свойства  функции косвенной  полезности

      Очевидно, что свойства определенной выше функции  косвенной полезности должны быть тесно  связаны со свойствами порождающих ее функций, а именно: полезности и индивидуального спроса . Нетрудно показать, что функция косвенной полезности обладает следующими свойствами:

1. Неубывания по доходу потребителя и невозрастания по ценам благ, т.е. при любых значениях цен и дохода выполнены следующие соотношения: если , то ; и, если , то .
2. Нулевой однородности по ценам и доходу, т.е. для любого положительного числа справедливо равенство.
3. Квазивыпуклости²  по ценам , т.е. при любых значениях множества выпукло.
4. Непрерывности по переменным при , .

Доказательство:

1.   Возрастание по доходу следует  из того, что для любых двух  значений дохода  и таких, что , имеем . Невозрастание по ценам благ вытекает из того, что для любых двух векторов цен и , различающихся только по компоненте i таким образом, что , имеем .

2.   Очевидно в силу того, что пропорциональное  изменение цен и дохода не  приводит к изменению бюджетного  множества  .

3.   Рассмотрим  и такие, что , и их выпуклую комбинацию . Покажем, что , что будет равносильно тому, что для всех x, таких что . Соответствующие каждой системе цен бюджетные множества выглядят следующим образом:

.

      Покажем, что любой набор  принадлежит либо множеству B, либо множеству , либо их пересечению. Иными словами, требуется доказать, что .

      Предположим, что это не так, то есть существуют наборы x такие, что , но при этом и . Последние два неравенства можно записать в эквивалентной форме: и . Суммируя эти неравенства, получим , что противоречит исходному предположению.

      Теперь  осталось показать, что  . По определению . Поскольку , то . В свою очередь так, как и , откуда и следует требуемое неравенство .

4.   Следует из свойства (3).

      Отличие карты кривых безразличия функции  полезности от карты кривых безразличия функции косвенной полезности состоит в том, что если в первой более удаленные от начала координат кривые соответствуют большим значениям полезности, то во второй  в силу свойства невозрастания по ценам (свойство 1) ситуация прямо противоположная – более удаленная от начала координат кривая имеет более низкий уровень полезности. Тем самым имеет место следующее включение нижних контуров функции косвенной полезности: (см. рис.1).

      Рис. 1 Кривые цен  безразличия

В силу того, что функция косвенной полезности при фиксированных ценах благ является неубывающей по доходу потребителя, а в случае, если система его предпочтений является локально ненасыщаемой (что и имеет место в случае неоклассической функции полезности), - монотонно возрастающей, то график зависимости максимально достижимой потребителем полезности от величины дохода имеет вид, аналогичный представленному на рис. 2.

      Рис. 2. Зависимость косвенной полезности от дохода при фиксированных ценах 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Функция расходов потребителя

      Тот факт, что косвенная полезность потребителя, представляющая собой максимум полезности, достижимый им при заданных ценах на блага, представляет собой монотонно возрастающую зависимость от величины наличного дохода, означает существование обратной зависимости, которая заранее известному уровню полезности u ставит в соответствие минимальную величину дохода, необходимую потребителю для получения при фиксированных ценах благ полезности в размере u.

      Формальное  определение функции расходов (expenditure function) вводится через модель поведения потребителя в несколько отличной от (1) постановке, хотя при этом для описания принимаемого потребителем решения используются те же самые переменные. Как и в (1) речь идет о выборе потребителем набора благ, который от собирается приобрести на рынке по заранее известным ценам . Однако в этом случае выбор осуществляется, исходя из заранее известного уровня полезности u, который по соображениям экономической рациональности требуется достичь с минимальными расходами. Таким образом, в данном случае поведение потребителя описывается экстремальной задачей, в которой целевой функцией выступает минимизация расходов, а ограничением служит определяемое через неоклассическую функцию полезности достижение заданного уровня благосостояния (благополучия, полезности). Сама экстремальная (оптимизационная) задача выглядит следующим образом:³

                          (2)

Порождаемая оптимизационной задачей (2) функция  расходов потребителя определяется как зависимость следующего вида: ,

где - оптимальное решение задачи (2), т.е. набор благ, обеспечивающий потребителю получение полезности u и с минимальными расходами при ценах . Таким образом, функция расходов представляет собой зависимость, аргументами которой выступают цены представленных на рынке благ и требуемый потребителю уровень полезности u, а значением – минимальный размер дохода, необходимого потребителю для достижения полезности u при ценах .

      Функция расходов обладает рядом свойств, которые определяются свойствами функции полезности и вектора оптимального решения задачи (2).

Утверждение. Пусть функция полезности непрерывна на множестве и описывает заданное на X локально ненасыщаемое отношение предпочтения потребителя o. Тогда функция расходов :

1. линейно однородна по ценам благ;
2. строго возрастает по переменной u и не убывает по ценам рассматриваемых благ, т.е. переменным ;
3. вогнута по ценам ;
4. непрерывна по ценам и полезности u.

Доказательство.

      1. Очевидно, что пропорциональное  изменение цен не влечет за  собой изменения области допустимых  планов задачи (2) (множества наборов  благ, полезность которых не ниже  заданного уровня u). В силу же того, что целевая функция задачи (2) линейна по ценам рассматриваемых благ, то таковой является и функция расходов.

      2. Первая часть утверждения очевидны  образом вытекает из того факта,  что множество допустимых планов  задачи (2) строго убывает по «u», т.е. если , то . Доказываемое утверждение следует из того, что: (а) минимальное значение функции на множестве не превышает минимального значения этой же функции, достигаемого на любом из его подмножеств; (б) описываемое функцией полезности отношение индивидуального предпочтения o локально ненасыщаемое.

      3. Пусть векторы  и представляют собой сочетания векторов цен и потребительского выбора, которые минимизируют расходы потребителя на достижение уровня полезности u, т.е. при системе цен минимум расходов на получения уровня полезности u обеспечивается набором благ , а при системе цен p, соответственно, набором x. Пусть система цен представляет собой выпуклую комбинацию векторов цен и p, т.е. . Тогда по определению функции расходов для вектора цен существует свой набор благ такой, что . Подставив в последнее равенство определение , получим следующее равенство: . В силу того, что набор благ не минимизирует расходы потребителя на достижение заданного уровня полезности u, т.е. и , имеем .

      4. Непрерывность функции расходов  по ценам вытекает из того, что  вогнутая по p зависимость. Непрерывность по уровню полезности u гарантирует следующая теорема.

Теорема: Рассмотрим параметрическую задачу максимизации вида: , в которой непрерывная функция с компактной областью значений. Допустим, что непрерывное точечно-множественное отображение и при любых значениях множество допустимых планов непусто и компактно. Тогда:

(а)  является непрерывной функцией ;

(б) Точечно-множественное  отображение параметра  в множество оптимальных планов параметрической задачи оптимизации является полунепрерывным сверху, причем в случаях, когда множество оказывается одноточечным, соответствующая функция будет непрерывной.

      При рассмотрении цен и требуемого потребителю  уровня полезности в качестве переменных величин  представляет собой векторозначную функцию, значением которой выступает вектор (набор) благ, обеспечивающий потребителю минимум расходов на достижение уровня полезности u при системе цен p. Функция называется функцией индивидуального спроса Хикса. Ее также принято называть функцией компенсированного спроса.

      Такое название подразумевает следующую  трактовку зависимости  . Значением функционала ММР является минимальный уровень дохода, требуемый потребителю для того, чтобы при системе цен p достичь уровня полезности u. Соответственно, минимальный уровень дохода есть ничто иное как значение функции расходов . В связи с этим, рассматривая функцию индивидуального спроса как зависимость, определяемую ценами и доходом потребителя, выступает в качестве функции, позволяющей определить величину дохода, которая обеспечит потребителю неизменный уровень получаемой полезности при изменении цен, т.е. скомпенсирует изменение цен. Функция индивидуального спроса Хикса представляет собой теоретическую конструкцию в силу того, что в качестве переменной содержит непосредственно ненаблюдаемый уровень полезности u. Однако сама по себе она полезна для теоретического анализа.

Утверждение: Если функция имеет своим значением набор благ, минимизирующий расходы потребителя на достижение уровня полезности u при системе цен p, а функция расходов дифференцируема по ценам , то тогда имеет место равенство:

                   .

Доказательство:

      Пусть для вектора  ММР имеет решение в точке , т.е. . Определим функцию следующим образом: . Очевидно, что по своему построению функция неотрицательна для любого заданного уровня полезности u и достигает своего минимума, равного нулю, в точке , т.е. . Поскольку функция расходов дифференцируема по ценам, то необходимые условия минимума в точке заданы следующей системой равенств:

                   . 
 
 
 
 
 

Взаимосвязь между функциями  косвенной полезности и расходов

      Пусть набор благ является решением задачи (1) при заданном уровне дохода , т.е. . Рассмотрим ММР, в которой требуемая потребителю полезность задана на уровне . Нетрудно видеть, что в случае выполнения условий неоклассической модели потребительского выбора значение соответствующей функции определяется набором благ , т.е. (см. рис. 3). При этом очевидна справедливость следующих соотношений:

1. Для системы цен минимальная величина расходов потребителя, позволяющая достичь уровень полезности равен , т.е. .
2. Для системы цен максимальный уровень полезности, доступный потребителю при наличии дохода в размере , равен u, т.е. .
3. Функция спроса Маршалла при уровне дохода совпадает с функцией спроса Хикса, соответствующей полезности , т.е. .
4. Функция спроса Хикса, соответствующая уровню полезности u, совпадает с функцией спроса Маршалла при доходе, равном .

          Последнее соотношение означает, что функция спроса Хикса, имеющая в качестве аргумента ненаблюдаемую переменную полезности u, может быть вычислена через функцию спроса Маршалла, у которой все аргументы являются наблюдаемыми. Условие совпадения двух функций спроса состоит в том, что значение дохода должно быть минимальным для достижения заданного значения полезности u.

Уравнение Роя. Если функция косвенной полезности дифференцируема по всем переменным при ; и >0, причем , то справедливо следующее равенство

             .

Доказательство.

Пусть набор благ максимизирует полезность потребителя при системе цен и доходе . Обозначим обеспечиваемый уровень полезности через . Согласно выше установленным соотношениям имеем

                   ,       (3)

а также  . Последнее равенство означает, что независимо от системы цен для потребителя, имеющего доход, величина которого является минимальной для достижения уровня полезности при установленных ценах, максимальное значение достижимой полезности равно . В силу того, что последнее соотношение представляет собой тождество, мы можем продифференцировать его по переменным . В результате получим следующее равенство .

Воспользовавшись  леммой Шефарда и соотношением (3), получаем

             .

Равенство доказано, поскольку оно справедливо  для всех сочетаний цен и дохода и .

Стоимостная функция полезности

      Введенная выше функция расходов потребителя  имеет своим аргументом уровень получаемой полезности. Проблематичность выбора количественной переменной, характеризующей полезность, существенно осложняет применение функции расходов в эмпирических исследованиях. В связи с этим логично попытаться тем или иным способом «исключить» полезность из числа аргументов, заменив ее другой, более «осязаемой» переменной.

      Принятые  в рамках неоклассических предпосылок  свойства функции полезности гарантируют нам единственность ее значения для каждого набора благ и разбиение всего множества наборов благ на непересекающиеся подмножества - кривые безразличия. Каждое из этих множеств соответствует некоторому, отличному от других, значению полезности . Поскольку в ММР, генерирующей функцию расходов, множество эффективных допустимых наборов благ⁴ совпадает с , то необходимости явного задания конкретного значения полезности можно избежать, если считать известным или зафиксировать набор благ, полезность которого равна . Последнее будет означать, что потребитель должен выбрать такой набор, который:

• по предпочтительности будет не хуже некоторого заранее известного набора ;
• минимизировать расходы потребителя на получение уровня полезности, обеспечиваемого набором .

Таким образом ММР можно записать в  следующей форме:

                          (4)

где - заранее заданный вектор (набор) благ.

      Для задачи (4), как и для задачи (2) можно  определить функцию расходов, отличную только тем, что скалярная переменная полезности в ней заменена на векторную (n-мерную) . Она примет следующий вид:

      Нетрудно  видеть, что функция  для фиксированного набора благ полностью воспроизводит свойства функции расходов по переменной цен, а именно:

• монотонно не убывает по ценам благ ;
• линейно однородна по ценам благ;
• вогнута по ценам благ;
• непрерывна по .

      Менее очевиден тот факт, что в случае фиксированных цен на блага  , рассматриваемая как зависимость объемов благ , представляет собой функцию полезности.Это обусловлено тем, что функция расходов строго возрастает по переменной полезности ввиду того, что описываемое функцией полезности отношение предпочтения o является локально ненасыщаемым. Поэтому при фиксированном векторе цен функция представляет собой монотонно возрастающее преобразование функции полезности и тем самым сама является функцией полезности. Функция всем наборам благ, находящимся на одной кривой безразличия с вектором , ставит в соответствие в качестве оценки полезности минимальную величину дохода, обеспечивающую потребителю получение полезности, которой обладает набор .

      Функцию называют стоимостной формой функции полезности или просто стоимостной функцией полезности (money metric utility function) или функцией минимального дохода (minimum income function).

      Аналогичным образом для косвенной полезности вводится определение стоимостной  функции косвенной полезности (money metric indirect utility function). Ее формальное определение выглядит следующим образом:

                   .

Значением функции  выступает минимальная величина дохода, которая потребуется потребителю при системе цен для того, чтобы обеспечить тот максимальный уровень полезности, который был ему доступен при системе цен при наличии у него дохода в размере M единиц. Также, как и в случае со стоимостной функции полезности , функция воспроизводит свойства функции расходов по переменной (переменные и M фиксированы). В свою очередь при заданном векторе цен эта функция представляет собой зависимость от и M, которая просто является монотонно возрастающим преобразованием функции косвенной полезности и, соответственно, сама является таковой. Таким образом, стоимостная функция косвенной полезности в качестве оценки уровня максимального уровня полезности, доступного потребителю при ценах и доходе M, использует минимальный доход, требуемый для сохранения потребления на том же уровне полезности при системе цен . Общая черта функций и состоит в том, что и одна и другая в качестве переменных используют наблюдаемые переменные, тогда как лежащие в их основе исходные зависимости в числе своих аргументов содержат ненаблюдаемые переменные полезности (u и , соответственно).