Функциональные пространства

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО  АНАЛИЗА И ПРКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

 

 

 

 

 

Курсовая работа по теме:

 «Функциональные пространства»

 

 

 

 

 

 

 

Проверил :доцент.                                         Выполнила: ст. 315 гр. ФФМИ

Смирницкий Ю.А.                                                                  Иванников В.С.

 

 

Подпись                                                                                      Подпись

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курск 2013

 

Содержание.

1. Пространство ;
2. Пространство ;
3. Пространство .

 

Пространство  L_1.

Определение и  основные свойства пространства L₁.

Пусть X — некоторое пространство с мерой ; при этом мера самого X может быть конечной или бесконечной. Будем считать меру ϻ полной (т. е. любое подмножество любого множества меры нуль измеримо). Рассмотрим совокупность всех функций f, суммируемых на X. Поскольку линейная комбинация суммируемых функций суммируема, эта совокупность, с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа, образует линейное пространство. Это пространство мы обозначим L₁(X,) или, короче, просто L₁ Введем в L₁ норму, положив:

           (1)

Ясно, что при  этом

 

и

.

 

Однако для  того чтобы выполнялось и последнее  неравенство нормы, а именно,

,

нужно считать, что  функции, эквивалентные друг другу  на X, не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства L₁. В частности, нулевой элемент в L₁— это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду. При этом выражение (1) будет обладать всеми свойствами нормы. Итак, мы приходим к следующему определению.

Определение 1. Пространством L₁ называется нормированное пространство, элементами которого служат классы эквивалентных между собой суммируемых функций; сложение элементов в L₁ и умножение их на числа определяются как обычное сложение и умножение функций, а норма задается формулой

.

 

В L₁, как и во всяком нормированном пространстве, с помощью формулы

 

вводится расстояние. Сходимость последовательности суммируемых функций в смысле этого расстояния называют сходимостью в среднем. Пространство L₁можно считать состоящим из комплексных функций (комплексное L₁) или из одних только действительных (действительное L₁). Весьма важен для многих вопросов анализа следующий факт. Теорема 1. Пространство L₁полно.

Доказательство. Пусть {} — фундаментальная последовательность в L₁, т. е.

при п, т .

Тогда можно найти  такую возрастающую последовательность индексов {}, что

.

Из этого неравенства  и теоремы Б. Леви вытекает, что  ряд

 

сходится почти  всюду на X. Но тогда и ряд

 

сходится почти  всюду на X к некоторой функции

 

Таким образом, фундаментальная последовательность в L₁ содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

Покажем теперь, что подпоследовательность {} сходится к той же функции и в среднем. В силу фундаментальности последовательности {}, при любом фиксированном для всех достаточно больших k и имеем

 

Согласно теореме  Фату в этом неравенстве можно  перейти к пределу под знаком интеграла при . Получаем

 

откуда следует, что  и что . Но из того, что фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу, следует, что и сама она сходится к тому же пределу.

Теорема доказана.

 Всюду полные  множества в .

Для всякой функции  , суммируемой на X, и любого существует такая простая суммируемая функция ,что

 

 

Далее, поскольку  для простой суммируемой функции, принимающей значения , на множествах ,, интеграл определяется как сумма ряда

 

(при условии  его абсолютной сходимости), ясно, что всякую простую суммируемую  функцию можно представить как  предел  (в среднем) последовательности простых функций, принимающих лишь конечное число значений. Итак, в пространстве всюду плотны функции, каждая из которых принимает лишь конечное число значений (т. е. представляет собой конечную линейную комбинацию индикаторов).

Пусть R— метрическое пространство с введенной в нем мерой, удовлетворяющей такому условию (выполненному для меры Лебега в евклидовом пространстве и во многих других практически интересных случаях): все открытые и все замкнутые множества в R измеримы, и для любого измеримого множества и любого найдётся такое открытое(M , что

                          .                               (2)

Тогда верна следующая  теорема:

Теорема 2. Множество всех непрерывных функций всюду плотно в

Доказательство. В силу сказанного выше достаточно доказать, что всякая простая функция, принимающая конечное число значений, является пределом, в смысле сходимости в среднем, последовательности непрерывных функций. Далее, так как всякая суммируемая простая функция, принимающая конечное число значений, есть линейная комбинация индикаторов измеримых множеств конечной меры, то достаточно провести доказательство для этих последних. Пусть М — измеримое множество в метрическом пространстве R и. Тогда из условия (2) сразу следует, что для любого найдутся замкнутое множество и открытое множество такие, что

и .

Определим теперь функцию , положив:

 

Эта функция равна 0 при  и равна 1 при . Она непрерывна, так как каждая из функций и непрерывна и их сумма нигде не обращается в 0. Функция не превосходит 1 на и равна 0 вне этого множества. Следовательно,

 

 

откуда и вытекает утверждение теоремы.

Ясно, что пространство зависит и от выбора пространства X, и от выбора меры в нем. Например, если мера сосредоточена в конечном числе точек, то будет просто конечномерным пространством. В анализе основную роль играют пространства бесконечной размерности, но содержащие счетное всюду плотное подмножество. Для того чтобы охарактеризовать такие пространства введем еще одно понятие, относящееся, собственно, к общей теории меры.

Определение 2. Мера называется мерой со счетным базисом, если существует такая счетная система A={А_п} измеримых подмножеств пространства X (счетный базис меры ), что для всякого измеримого и всякого найдется такое , что

.

В частности, мера имеет счетный базис, если ее можно представить как лебегово продолжение меры m, определенной на некотором счетном полукольце . В самом деле, в этом случае кольцо (очевидно, счетное) и представляет собой искомый базис. Отсюда видно, например, что счетный базис имеет мера Лебега на отрезке, поскольку для нее за исходное полукольцо можно принять совокупность полуинтервалов с рациональными концами.

Произведение   двух мер со счетными базисами также обладает счетным базисом, ибо конечные суммы произведений элементов из базиса меры на элементы из базиса меры образуют, как легко проверить, базис меры . Поэтому мера Лебега на плоскости (а также и в n-мерном пространстве) имеет счетный базис.

Пусть

                          (3)

есть счетный  базис меры . Легко видеть, что, расширяя систему множеств (3), можно образовать новый счетный базис этой меры

                          (4)

замкнутый по отношению  к операциям вычитания и взятия конечных сумм и пересечений, т. е. являющийся кольцом.

Теорема 3. Если мера имеет счетный базис, то в существует счетное всюду плотное множество функций.

Доказательство. Покажем, что счетное всюду плотное множество в образуют конечные суммы(5):

 

где — рациональные числа, a — индикаторы элементов счетного базиса меры .

Счетность такого множества очевидна; покажем, что  оно всюду плотно в . Как мы уже показали, множество ступенчатых функций, принимающих лишь конечное число значений, всюду плотно в . Так как любую такую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать функцией того же вида, но принимающей лишь рациональные значения, достаточно показать, что любую ступенчатую функцию f, принимающую значения

(все рациональны)

на множествах

 

можно сколь угодно точно аппроксимировать в смысле метрики  функциями вида (5). Согласно сделанному замечанию можно без ограничения общности предполагать, что базис меры является кольцом.

По определению  счетного базиса меры ц, при любом  в нем существуют такие множества , что

.

Положим

 

и определим , положив

 

Легко видеть, что  при достаточно малом  мера

 

сколь угодно мала и, следовательно, интеграл

 

сколь угодно мал  при достаточно малом .

В силу сделанных  нами предположений относительно базиса меры , функция есть функция вида (5).

Теорема доказана.

Для того частного случая, когда X есть отрезок числовой прямой, а — мера Лебега, счетное всюду плотное множество в можно получить и проще, например, взяв множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Оно всюду плотно (даже в смысле равномерной сходимости) в множестве непрерывных функций, а эти последние образуют всюду плотное множество в.

 

Пространство .

Определение и  основные свойства.

 Пространство представляет собой, как мы видели, полное нормированное (т. е. банахово) линейное пространство. Однако оно не является евклидовым: определенную в нем норму нельзя задать с помощью какого-либо скалярного произведения. Это вытекает из «теоремы о параллелограмме». Например, для интегрируемых на отрезке [0,2] функций, g = sin х соотношение

 

в не выполняется.

Функциональное  пространство, не только нормированное, но и евклидово, можно построить, взяв совокупность функций с интегрируемым квадратом. Введем соответствующие определения. Будем сперва рассматривать действительные функции f, определенные на некотором пространстве X, с заданной на нем мерой . Все функции предполагаются измеримыми и определенными на X почти всюду. Эквивалентные между собой функции не различаются.

Определение 1. Функция f называется функцией с интегрируемым квадратом на X, если интеграл

 

существует (конечен). Совокупность всех таких функций  мы обозначим  или, короче, .

 Установим  основные свойства функций с  интегрируемым квадратом.

1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция.

Это непосредственно  вытекает из неравенства

 

и свойств интеграла  Лебега.

Следствие. Всякая функция f с интегрируемым квадратом на пространстве с конечной мерой интегрируема.

В самом деле, достаточно, положив g(x) 1, воспользоваться свойством [1].

2. Сумма двух функций из также принадлежит .

 Действительно,

 

в силу свойства [1] каждая из трех функций, стоящих справа, интегрируема.

3.Если и — произвольное число, то .

 Действительно, если , то

 

Свойства [2] и [3] означают, что линейные комбинации функций из снова принадлежат ; при этом, очевидно, сложение функций из и умножение их на числа удовлетворяют всем условиям, перечисленным в определении линейного пространства. Таким образом, совокупность   функций с интегрируемым квадратом есть линейное пространство.

Определим теперь в  скалярное произведение, положив

 

Ясно, что все  требования, входящие в определение  скалярного произведения, а именно:

при этом выполнены. В частности, выполнение условия  (4) обеспечивается тем, что мы условились не различать эквивалентные между собой функции (за нулевой элемент, таким образом, принимается совокупность всех функций на X, эквивалентных).

Итак, введя для  функций с интегрируемым квадратом  операции сложения и умножения на число, а также скалярное произведение, мы приходим к следующему окончательному определению.

Определение 2. Евклидовым пространством называется линейное пространство, состоящее из классов эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, в котором скалярное произведение определено формулой

 

В , как и во всяком евклидовом пространстве, выполнены неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника, которые в данном случае имеют вид

 

и

 

В частности, при  и неравенство Коши — Буняковского превращается в следующую полезную оценку:

 

Норма в  определяется формулой

 

а расстояние между  элементами и g — формулой

 

Величину

 

называют также средним квадратичным уклонением функций f и друг от друга.

Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики  пространства называется сходимостью в среднем квадратичном. Если нет опасности спутать эту сходимость со сходимостью в , определенной в предыдущем параграфе, мы и здесь будем пользоваться более коротким термином «сходимость в среднем».

Теорема 1. Пространство при   полно. Доказательство. Пусть {} — фундаментальная последовательность в , т. е.

при п, т .

Тогда в силу оценки (1) получаем

 

т. e. последовательность {} фундаментальна и в метрике пространства . Повторяя рассуждения, которые были проведены при доказательстве полноты пространства выберем из {} подпоследовательность {},сходящуюся почти всюду к некоторой функции f. В неравенстве

 

справедливом  для членов этой подпоследовательности при всех достаточно больших и , можно, используя теорему Фату, перейти к пределу при . Получим

 

откуда следует, что  и что Для завершения доказательства остается, как и в теореме 1 для , воспользоваться тем, что, если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся, то и сама она сходится к тому же пределу.

 

Случай  бесконечной меры.

Мы рассматривали  только что функции с интегрируемым  квадратом, определенные на некотором пространстве X конечной меры. При этом условие использовалось довольно существенно. Именно, сначала мы прибегли к нему, доказывая, что всякая функция с суммируемым квадратом суммируема и в первой степени, а затем — при выводе неравенства (2), на которое опиралось доказательство полноты пространства . Если рассматривать функции на множестве бесконечной меры (например, на всей прямой с лебеговой мерой на ней), то не всякая функция из будет содержаться в . Например, функция  не интегрируема на всей прямой, а ее квадрат интегрируем. Далее, в случае имеет место неравенство (1), означающее, что из сходимости последовательности функций в следует их сходимость в . При это тоже неверно: например, последовательность функций на прямой

 

сходится к 0 в  пространстве функций с суммируемым квадратом на прямой, но не сходится ни к какому пределу в . Однако теорема о полноте пространства остается справедливой и при .

Докажем это утверждение. Предположим, что все пространство X можно представить как счетную сумму множеств конечной меры. Пусть

 

— такое представление  и пусть {} — фундаментальная последовательность в . Таким образом, для каждого существует такое N, что

 

Введем обозначение

 

Тогда в силу свойства -аддитивности интеграла Лебега,имеем

 

Для каждого конечного М и подавно

 

Совокупность  функций с интегрируемым квадратом  на каждом Х_п представляет собой полное пространство. Положив

 

 (где сходимость понимается как сходимость в пространстве , мы можем перейти к пределу при в неравенстве (3). Получаем

 

 

Так как это  неравенство выполнено для всех М, то в нем можно перейти к пределу при . Таким образом, имеем

 

 

Положив

 

 мы можем последнее неравенство переписать в виде

 

Отсюда вытекает как принадлежность f к , так и сходимость последовательности {} к .

Всюду плотные множества в .Теорема об изоморфизме.

Итак, пространство функций с интегрируемым квадратом есть полное евклидово пространство. За исключением вырожденных случаев, размерность этого пространства бесконечна.

С точки зрения различных применений в анализе  важно выяснить, когда пространство сепарабельно, т. е. содержит счетное всюду плотное множество. Ранее мы установили, что для пространства сепарабельность вытекает из существования у меры счетного базиса. Нетрудно убедиться, что это условие гарантирует и сепарабельность . Действительно, каждую функцию из можно приблизить, с любой точностью, функциями, каждая из которых равна 0 вне некоторого множества конечной меры. Далее, те же рассуждения, которые были проведены при доказательстве теоремы 3 для , показывают, что в совокупности таких функций можно выбрать счетное всюду плотное множество.

Итак, если мера имеет счетный базис, то пространство есть полное сепарабельное евклидово пространство. Иначе говоря, оставляя в стороне тот случай, когда имеет конечную размерность, мы получаем следующий результат: если мера имеет счетный базис, то есть сепарабельное гильбертово пространство.

В силу теоремы  об изоморфизме гильбертовых пространств, это означает, что все такие  изоморфны между собой. В частности, каждое такое изоморфно пространству числовых последовательностей со сходящейся суммой квадратов. Последнее можно рассматривать как , когда X счетно, а определена на всех его подмножествах и равна 1 для каждой точки. Ниже мы будем рассматривать только , отвечающие мерам со счетным базисом. В случаях, когда это не может вызвать недоразумений, каждое такое пространство мы будем обозначать просто .

Поскольку пространство представляет собой, как мы выяснили, реализацию гильбертова пространства, на можно перенести все те понятия и факты для абстрактного гильбертова пространства.

В частности, согласно теореме Рисса всякий линейный функционал в гильбертовом пространстве записывается в виде скалярного произведения

 

где а — фиксированный вектор из . Поэтому всякий линейный функционал в имеет вид

 

где — фиксированная функция с интегрируемым квадратом, на X.

 

Пространство .

Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на функций. Норму введём так:

 

Первая и вторая аксиомы  нормы проверяются тривиально. Проверим третью аксиому. По свойству модуля для  любого имеем

 

Следовательно, . Неравенство сохранится, если взять левой его части. В результате получаем неравенство треугольника для нормы в ; для полученного нормированного пространства мы сохраним прежнее обозначение.

Покажем теперь, что сходимость по норме в  есть равномерная сходимость. Пусть дана последовательность , и пусть она сходится к , т.е. . Это означает следующее: для любого существует номер такой, что при любых справедливо неравенство

 

 и тем более  для всех . Итак, сходимость по норме в - равномерная.

Посмотрим, как выглядит в  (в вещественном случае) окрестность Для этого построим графики функций  . Эти два графика и отрезки прямых ограничивают - полоску(полоску шириной вокруг графика ), которая и служит -окрестностью  точки .

В  лежат те элементы , графики которых лежат строго между графиками элементов и .

 

Список литературы.

1. Треногин В.А., Функциональный анализ, Москва «Наука» ,1980г.,496 с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, Москва «Наука»,1976г., 542с.