Функция туралы

Мазмұны 

   Кіріспе

1. Функция туралы жалпы мағлұмат

   2. Тізбек.

   2.1. Тізбек анықтамасы

2.2. Тізбек  жинақтылығының функциясы

   2.3. Тізбек жинақтылығының есептеу  қасиеттері.

   2.4. Тізбек жинақтылығын есептеуді  түрлі әдіс тәсілдері.

   Қорытынды

   Пайдаланған әдебиеттер

Кіріспе 

     Жинақтылық, — белгілі бір математикалық  объектінің шегі болатындығын көрсететін математикалық анализдің негізгі  ұғымдарының бірі. Осы мағынада тізбектің жинақтылықтығы, қатардың жинақтылықтығы, шексіз көбейтіндінің жинақтылықтығы, үздіксіз бөлшектің жинақтылықтығы, интегралдық жинақтылық, т.б. жөнінде айтуға болады.

     Мысалы, қатарының жинақтылықтығы — қатардың жеке қосындылары тізбегінің , n=1,2, ...) шекті шекке (қатардың қосындысы  деп аталатын) жинақтылықтығы; шексіз көбейтінділерінің жинақтылықтығы — нөлге тең емес шекті көбейтінділерінің шекті шегінің жинақтылықтығы, т.б. Қандай да бір математикалық объектінің жинақтылық қасиеті математиканың теориялық мәселелері мен математика қолданылатын жерлерде елеулі рөл атқарады. Мысалы, кейбір шамалар мен функциялар жинақы қатарлар көмегімен өрнектеледі.

     Мұндай  қатарлар қарастырылатын шамалар мен  функциялардың жуық есептеулері  үшін қолданылады. Қатарлар мен интегралдар теориясында абсолют жинақтылық ұғымының маңызы зор. Егер қатары жинақы болса, онда қатары абсолют жинақы қатар деп, ал егер қатары жинақы болып, қатары шашыраңқы болса, онда қатары шартты жинақы қатар деп аталады. Жинақтылық ұғымы әр түрлі теңдеулерді (алгебралық, дифференциалдық, интегралдық) шешуде (Мысалы, теңдеулердің сандық шешімдерін табу кезінде) үлкен рөл атқарады. Егер М жиынының әрбір x0 нүктесі үшін болса, онда әрбір нүктенің жинақтылығы жөнінде айтуға болады. Егер болса, онда тізбегі М жиынындағы f(х) функциясына бірқалыпты жинақталады деп аталады. Функцияның үздіксіздік қасиеті және интеграл астындағы функцияның шекке көшу мүмкіндігі бірқалыпты жинақтылық кезінде де сақталады. Интегралдық теңдеулер, т.б. теориясында орташа квадраттық жинақтылық ұғымы кеңінен қолданылады. Мысалы, [a, b] кесіндісіндегі тізбегінің f(x) функциясына орташа квадраттық жинақтылықтығы түрінде көрсетіледі.

  Ықтималдық теориясындағы кездейсоқ шамалардың тізбегі үшін ықтималдығы 1-ге тең жинақтылық және ықтималдық бойынша жинақтылық ұғымдары енгізіледі. Ежелгі дәуір математиктері (Евклид, Архимед) аудандар мен көлемдерді табу үшін шын мәніндегі шексіз қатарларды пайдаланған. “Жинақтылық” терминін шотланд математигі және астрономы Дж. Грегори (1638 — 1675) қатарлар үшін қолданды (1668). 18 ғ-да жинақтылық ұғымы шашыраңқы қатарларды талдауда кеңінен қолданыла бастады (Л.Эйлер). Қатарлардың жинақтылықтығын зерттеудің дәлірек әдістері 19 ғ-да жасалды (О.Коши, Н.Абель, Б.Больцано, К.Вейерштрасс, т.б.). Бірқалыпты Жинақтылық ұғымы Н.Абельдің (1826), Ф.Зейдельдің (1847 — 48) және Дж. Стокстің (1848) еңбектерінде тұжырымдалды. Функциялар теориясының, функционалдық анализдің және топологияның дамуына байланысты жинақтылық ұғымы одан әрі кеңейтілді.

      Функцияның  жинақтылығы кең тараған тақырыптардың  бірі болғандықтан, оны зерттеу қазіргі  кезде өзекті. Өйткені функция  жиі кездесетін есептердің бірі.

   Функцияның  жинақтылығын зерттеу маңызды болып  келеді.

      Жұмысымыздың  басты мақсаты функция жинақтылығын зерттеп, анықтамаларын тәжірибе жүзінде  дәлелдеу.

      Мақсатқа  жету үшін тақырып бойынша әдебиеттер зерттеліп, мағлұматтар жиналды.

1. Функция туралы жалпы мағлұмат

   Егер  бір белгілі ереже немесе заңдылық бойынша  жиынындағы -ң әрбір мәніне жиынының тиянақты бір мәні сәйкес келсе, онда -ті жиынында анықталған немесе берілген функция деп атайды және оны былай жазады: 

       т.б.      (1) 

       жиынында өзгеретін айнымалы -ті тәуелсіз айнымалы немесе функцияның аргументі деп ататйды, жиынында өзгеретін айнымалы -ті тәуелді айнымалы немесе функция деп атайды. Тәуелсіз айнымалы немесе аргумент өзгеретін жиынын функцияның анықталу облысы деп атайды, ал тәуелді айнымалы немесе функция өзгеретін жиыны функция мәндерінің облысы деп аталады. Сонымен, функция, аргумент ұғымдары – өзімізді қоршап тұрған табиғаттың құбылыстарын зерттеудің нәтижесінде пайда болған ұғымдар.

     Егер  мүмкін мәндер жиынтығынан алынған  х-тің әрбір мәніне айнымалы у-тің  белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда у айнымалы шамасы х айнымалы шамасының  функциясы деп аталады. Мұндай тәуелділік у=f(х) түрінде жазылады. f әрпінің орнына басқа әріптер де (мыс., F, j, y, т.б.) қолданылады. Мұндағы х-ті тәуелсіз айнымалы (кейде аргумент) деп, ал оның өзгеру облысы (жиыны) у-тің анықталу облысы деп аталады. х-тің өзгеруіне байланысты айнымалы у-тің қабылдайтын мәндерінің жиынын у функциясының өзгеру облысы деп атайды. Функцияның жоғарыда берілген анықтамасында назар аударатын екі жағдай бар: біріншісі — аргумент х-тің өзгеру облысын көрсету, екіншісі — х пен у мәндерінің арасындағы сәйкестік ережені немесе заңды тағайындау. Егер х-тің бір мәніне у-тің бір ғана мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің бір мәнді Функциясы деп, ал егер х-тің бір мәніне у-тің бірнеше мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің көп мәнді Функциясы деп атайды.

     Функцияның  параметрлік көрсетілуі - бірнеше  айнымалылар арасындағы функционалдық тәуелділікті көмекші айнымалылар - параметрлер - арқылы көрсететін өрнек. Мысалы, Ғ(х,у)=0 теңдеуі жазықтықта қисықты анықтасын. Егер t шамасы осы қисықтың (х,у) нүктесінің орнын көрсететін болса, онда осы шаманы параметр деп алып, ал х пен у-ті осы параметрдің функциялары деп алсақ, қисықтың параметрлік теңдеуі мына түрде жазылады: x=ᵠ(t), y=ψ(t). Осы функциялар х пен у арасындағы берілген функционалдық тәуелділіктің параметрлік көрсетілуі болады.

     Функцияның  аралықтағы өсуінің жеткілікті шарты: Егер дифференциалданатын f(х) функциясының туындысы х аралығының әрбір нүктесінде оң таңбалы, яғни f`(х) >0 болса, онда ол сол аралықта өспелі болады.

  Функцияның аралықтағы кемуінің жеткілікті шарты: Егер дифференциалданатын f(х) функциясының туындысы х аралығының әрбір нүктесінде теріс таңбалы, яғни f`(х) <0 болса, онда ол сол аралықта кемімелі болады.

     Дәлелдеуі: f(х) функциясы Х аралығында дифференциялданатын функция болсын.

     Кез келген х1 ,х2  (х1 <х2) аламыз. Лагранж  формуласы бойынша  теңдігі орындалатын (х1 ;х2) а алуға болады.  х1 ;х2 Х болғандықтан, аХ болады. Кез келген хХ үшін f`(х) >0 болса, онда f`(а) >0. х1 - х2 >0 болғандықтан (1) теңдіктен f(x2)-f(x1) >0 немесе f(x2) >f(x1), яғни f(х) өспелі. хХ үшін f`(х) <0 болса, онда f`(а) <0. х2 – х1 >0 болғандықтан  f(x2)-f(x1) <0 немесе f(x1) >f(x2), демек Х аралығында  f(х) кемімелі.

     Функция аса маңызды математикалық ұғымдардың бірі және де ол заттар мен құбылыстардың өзара байланысын бейнелейді.

Бүгінде функцияны анықтаудың әр түрлі жолдары  белгілі. Солардың бірінде функция ұғымы бастапқы ұғым ретінде алынады.

      Енді бірінде бастапқы ұғым ретінде бейнелеуді алалды да, функция деп бір X жиынын екінші Y жиынына бейнелеуді түсінеді. Бұл жайдайда xєX элементпен yєY болатын, бір және тек бір ғана элемент жұптүзей алынатына ерекшеленеді. Сонда функцияныз белгілеп көрсету үшін , φ,  ψ және т.с.с. символдар пайдаланады. Ал X жиыны функцияның анықталу облысы және Y жиынын функцияның мәндерінің облысы деп атайды.

      Анықталу облысы X және мәндерінің облысы Y болатын (x) функцияны символдар арқылы мына түрде X → Y немесе айнымалылырдың көмегімен x_xєx→y_yєy деп белгілейді, сонда функция мәнінің белгісі ү-тің орнына символын жиі қолданады. Бұл жайдайда ункцияны x→ (x) түрінде белгілейді. Кейде x  жиыны элементтерін функцияның аргументі деп атады да,  -ті аргумент x-тің немесе анымалы x-тің функциясы дейді.

     Бейнелеулер, қатынастар және сәйкестіктер табиғаты әр түрлі жиындарда берілуі мүмкін екендігі белгілі, ендеше олардың дербес түрі болып табылатын функцияның да анықталу облысы мен мәндерінің облысы әр түрлі жиындар бола алады.

      Ал математика курсында негізінен сандық және нүктелік жиындар қарастырылады, өйткені осы жиындарда функцияның әр түрлі қасиеттерін қарастыру өте қолайлы.

      X және Y қандай да бір сандық жиындар болсын /X R, Y R/.

      Анықтама. X жиынында анықталған, ал мәндері Y жиынында болатын сандық функция деп ербір xєX санына бір ғана yєY санын сәйкес қоятын сәйкестікті айтады.

      Сандық функцияны негізінен x→ (x), xєX немесе y = (x) түрінде белгілейміз. Сонда сандық X жиыны - функциясының анықталу облысы, ал (x) түріндегі барлық сандардан тұратын, мұндағы xєX, сандық Y жиыны -тің мәндерінің жиыны болып табылады.

      Және де функциясының анықтау облысын D ( ) арқылы; ал оның мәндерінің жиының Е ( ) арқылы да белгілейді.   

Тура  пропорционалдық, оның қасиеттері және графигі 

      t – жаяу адамның қозғалыс уақыты, s – оның жүрген жолы және ол v км/сағ жылдамдықпен бірқалыпты қозғалыста болсын делік. Сонда v тұрақты болғанда t-ның әрбір мәніне s-тің бір ғана мәні келеді және ол s= v ∙ t формуласымен есептеледі. Сондықтан s= v ∙ t формуласы, тура пропорционалдық, яғни s дегеніміз t-ға тура пропорционал, деп аталатын функцияны анықтап береді.

      Анықтама. Тура пропорционалдық деп y=kx формуласыны, мұндағы, x тәуелсіз айнымалы, ал k 0 және kєR, көмегімен берілетін функцияны айтады.

      Бұл формула айнымалы y-тің айнымалы x-ке тәуелділігін, яғни анымалы y-тің анымалы x-ке тура пропорционал екендігін анықтап береді, мұндағы k – пропорционалдық коэффициент. 

      Ал y=kx функциясының қасиеттері болады.

     1. Оның анықталу облысы нақты сандардың R жиыны.

     2. Оның графигі координаталардың басы арқылы өтетін түзу сызық, өйткені x=0, y=0 және k 0, kєR. Сонымен бірге, егер k>0 болса, онда түзу I және III координаталық ширектер ақылы өтеді, ал егер k<0 болса, онда II және IY координаталық ширектер арқылы өтеді. Графигі салу үшін бір ғана, мәселен нүктесін табу жеткілікті болып есептеледі. 
 

                      y                                                                          y

                                             y=kx (k>0)                                             y=kx  (k<0) 

                                                 x                                                                           x 
 
 
 
 
 

     3. Егер k>0 болса, x>0 болғанда, онда y>0,

                                x<0 болғанда, онда y<0.

     Егер k<0 болса, x>0 болғанда, онда y<0,

                                x<0 болғанда, онда y>0.

     4. Егер k>0 болса, онда R жиынында өседі,  ал k<0 болса, онда кемиді.

     5. Егер x және y айнымалылардың мәндері оң сандар болса, онда x айнымалы мәндері бірнеше есе артса y айнымалы мәндері де сонша есе артады, яғни болады.

Кері  пропорционалдық, оның қасиеттері және графигі 

        s – жаяу адам жүріп өтуі тиіс қашықтық, t – қозғалыс уақыты, ал v – оның жылдамдығы болсын делік. Сонда жылдамдықтың әрбір мәніне уақыттың бір ғана мәні сәйкес келкді. Олай болса, формуласы, кері пропорционалдық, яғни t дегеніміз v-ға кері пропорционал, деп аталатын функцияны анықтап береді.

      Анықтама. Кері пропорционалдық деп формуласының, мұндағы x – тәуелсіз айнымалы, ал k 0, kєR көмегімен берілетін функцияны айтады.

      Бұл формула айнымалы y-тың айнымалы x-ке тәуелділігінің, яғни айнымалы y-тің айнымалы x-ке кері пропорционал екендігін анықтап береді, мұндағы k – пропорционалдық коэффициент.

      Ал функциясының қасиеттері болады.

     1. Оның анықталу облысы нақты сандардың R жиыны, бірақта k 0 (y 0).

     2. Оның графигі екі бөліктен  тұратын, гипербола деп аталатын  қисық сызық. Сонымен бірге,  егер k>0 болса, онда гипербола  тармақтары I және III координаталық ширектерде орналасады, ал егер k<0 болса, онда II және IV координаталық ширектерде орналасады. График координаталар басына қарағанда симметриялы болады. Сондай-ақ гиперболаның координата остерімен ортақ нүктесі болмайды, өйткені k 0, y 0, бірақта оларға мейлінше жақындайды.

     3. Егер k>0 болса, x>0 болғанда, онда y>0,

                                          x<0 болғанда, онда y<0.

     Егер k<0 болса, x>0 болғанда, онда y<0,

                                      x<0 болғанда, онда y>0.

     4. Егер  k<0 болса, онда R R жиынында өседі, ал k>0 болса, онда кемиді.

     5. Егер x және y айнымалылардың мәндері оң сандар болса, онда x айнымалы мәндері бірнеше есе артса y айнымалы мәндері де сонша есе кемиді, яғни болады.

2. Тізбек. 

2.1. Тізбек анықтамасы 

Айталық, x0 нүктесінің қандай да бір аумағында y=f(x) функциясы анықталған болсын және x0 нүктесі ол аумаққа енуі де, енбеуі де мүмкін.

Анықтама-1. Егер мейлінше аз e>0 үшін, e-мен x0 нүктесінен тәуелді d=d(e, x0 )>0 саны табылып, 0<.x- x0 .<d теңсіздігі орындалғанда, f(x)-A.<e теңсіздігі орындалатын болса, онда А саны y=f(x) функциясының x® x0 кездегі шегі деп аталады және lim f (x) = A түрінде жазылады

                          x→x0

1 сурет

Аргумент  шексіздікке ұмтылғандағы функцияның шегі.

Анықтама-2. Егер кез келген e>0 үшін М>0 саны табылып,барлық iхi>M болатындай х – тің мәндері үшін |A-¦(х)|<e теңсіздігі орындалса,А саны           х → ∞. ұмтылғандағы ¦(х) функциясының шегі деп аталады және lim f (х)=A деп жазылады.                                                                                          х→∞

Егер  lim f (х) = A болса,онда ¦(х) графигі х шексіздікке оң мәндерге де,теріс

           х→∞

мәндерге  де ұмтылғанда,у=A түзуіне асимптоталық түрде жақындайды. 2-суретте көрсетілген.

     2 сурет

Анықтама-3. Егер кез келген e>0 үшін М>0 саны табылып, барлық х>M болатындай х - тің мәндері үшін |A-¦(х)|<e теңсіздігі орындалса,А саны х→+∞. ұмтылғандағы ¦(х) функциясының шегі деп аталады және lim f (х) = A

                                                                       х→+∞

деп жазылады.3-суретте  көрсетілген.

Анықтама-3. Егер кез келген e>0 үшін М>0 саны табылып, барлық х>M болатындай х - тің мәндері үшін |A-¦(х)|<e теңсіздігі орындалса,А саны х→- ∞. ұмтылғандағы ¦(х) функциясының шегі деп аталады және lim f (х) = A

                                                                       х→-∞

деп жазылады.4-суретте көрсетілген.

Анықтама-5. Егер кез келген М>0 үшін, |¦(х)|>М орындалатындай,d>0 табылып, х - тің мәндері үшін 0<|х-а|<d теңсіздігі орындалса,онда ¦(х) функциясының шегі х ® а ұмтылғанда шексіздікке тең болады және lim F (x)- ∞            x →a

деп жазылады.

Анықтама-6. Егер кез келген М үшін, ¦(х)>М (¦(х)<М) орындалатындай, d>0 табылып, х – тің мәндері үшін 0<|х-а|<d теңсіздігі орындалса,онда ¦(х) функциясының шегі х ® а ұмтылғанда + ∞ (-∞) тең болады және  lim F (x)+ ∞ (lim F (x)- ∞ ) деп жазылады.5 суретте көрсетілген.                          x →a

   x →a                   

2.2. Тізбек жинақтылығының функциясы 

1.Егер y=¦(х) функциясының x0 нүктесінде  шегі болса, онда ол жалғыз болады.

2.Егер y=¦(х) функциясының x0 нүктесінде  шегі болса, онда ол x0 нүктесінің шағын аумағында шектеулі болады.

      Анықтама. Алдын-ала берілген саны бойынша саны табылып, айнымалы -ң теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін теңсіздігі орындалса, онда саны функциясының аргументі санына ұмтылғандағы шегі деп аталады. Оны былай жазып көрсетуге болады: 

Берілген  анықтаманы функцияның нүктедегі шегінің  “ ” тілінде берілген анықтамасы деп атайды. Бұл анықтама мына мағынаны береді: нүктесінің аймағында, яғни аралығында өзгергенде, санының аймағында, яғни аралығында өзгереді. 

2.3. Тізбек жинақтылығының есептеу қасиеттері. 

      1.Келтіру  әдісі. Функциялардың шектерін  табу ережелері (қосындының, көбейтіндінің,  бөлшектің шектері туралы теоремалар) “тамаша шектер” деп аталатын 

       (1) 

       (2) 

түріндегі шектерді пайдалануға негізделген.

(1) формуламен  берілген шекті “бірінші тамаша  шек”, (2) формуламен берілген шекті  “екінші тамаша шек” деп атайды. Формуладағы айнымалыны белгілі  бір шарттарды қанағаттандыратын  функциямен алмастырғанда да формуладағы негізгі заңдылық сақталады. (1), (2) және т.с.с. формулалар үшін ортақ шарт - -ң координаттар басында шектеусіз аздығы. Мұны жалпылап, яғни шектеусіз аз шама деп қарастырамыз да, -ң орнына -ны қойып, жалпы түрде жазылған формулаларды аламыз. 

 немесе  ; 

; 

; 

; 

; 

. 

      Функцияның  шегін есептеу негізінен осы  формулалар арқылы орындалады және бұлар  есеп шығаруда пайдалануға қолайлы. Бұл формулаларды пайдалану үшін алдымен берілген есептің құрылымы осы формулалардың бірімен ұқсас  болуы және ондағы шарттар орындалуы керек. Берілген өрнектің ұқсастығы аз болса, тиісті түрлендірулер жасалады да, құрылымы жағынан ұқсас өрнекті функцияның оң жағындағы санмен алмастырады. Есепті осы әдіспен шығаруды формулаға келтіру немесе қысқаша келтіру әдісі дейді.

      1-мысал.  Мынадай шекті табу керек: . Бұл шекті (1) формулаға келтіру арқылы табамыз, ол үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де бір санға немесе функцияға көбейткенде бөлшектің мағынасы сақталатындықтан, берілген шекті былай жазуға болады: 

. Енді көбейтіндінің шегі  туралы теореманы және тұрақты  санды шектің алдына шығаруға  болатындығын пайдалансақ: 

. 

Біз бұл  арада  екенін пайдаландық. 

      2-мысал.  Мынадай    функциясының шегін табу керек. Бұл мысалды да түрлендірудегі мақсатымыз – бірінші тамаша шекті және функцияның шектерінің ережелерін пайдалану. Ол үшін берілген функцияны әр түрлі формулаларға немесе ережелерге келтірілетін құрылымдарға жіктеп жазу керек. Сонда: 

. 

      3-мысал.  Шекті табыңыз:  . 

Біз алдымен  функциясы мен функциясының шектерін жеке-жеке есептейік. Бұл функциялар нүктесіеде үзіліссіз. Үзіліссіз функцияның анықтамасы бойынша, олардың шектерін табу үшін -ң орнына нөлді қос\йса болғаны. Сонда 

; 

. 

Осылардың негізінде  . 

      4-мысал.  .

Шек белгісінің астында тұрған функцияның негізі функциясының шегі -ке ұмтылады, ал функциясының шегі 1-ге тең, ал 1 саны оң болуына байланысты, қарастырып отырған шекті табу үшін (3) теңдіктердің біріншісін пайдалану керек. Сонда  

. 

      5-мысал. .

Негіздегі және көрсеткіштегі функциялардың  шегін табайық: 

. 

. 

 теріс сан болғандықтан, іздеп  отырған шек келесідей түрде  болады: 

. 

      Егер  болса, онда , ал болса, функциясының шегі нөлге тең болады. Ерекше назар аударатын жағдайы, бұл жағдайда функциясы нүктесінде түріндегі анықталмағандықты береді. анықталмағандығын ашу үшін берілген функцияны түрлендіріп, (2) “тамаша шекке” келтіру керек. (2) “тамаша шекке” келтіру деп берілген функцияны түрлендіру арқылы (2) формулаға ұқсастық жасауды айтады. Келтіру үшін былай жасаймыз:

 өрнегі шығады. Ары қарай  түрлендірулер 2-ші тамаша шектің  құрамына байланыстырылған.  

Осы өрнекті  дәрежеге шығарайық: 

. 

Енді  осы теңдіктің екі жағынан  шек алсақ, онда  

Бұл теңдіктің  оң жағындағы фигуралы жақшалардың  ішіндегі шек  -ге тең, өйткені ол шек астындағы функция (2) формуладағы қойылған шарттарды толығынан қанағаттандырады. Сонда 

.

Теңдік  функцияның шегі бар екендігін білдіреді.

Шынында да,  

      (4) 

болса, онда бұл функцияның шегі -ке тең болады, ал 

      (5) 

болса, онда нөлге тең болады.

Егер

      (6) 

(мұндағы  ) теңдігі орындалса, онда қарастырып отырған функцияның шегі тұрақты шамаға тең болады. Сонымен, жоғарыда айтылғандарды қорытындылап, былай жазуға болады: 

      6-мысал.  шегін есептеңіз.

Шек белгісінің астында тұрған функция көрсеткішінің  шегі -ке тең болатындығы бірден көрініп тұр. Берілген шекті есептеу үшін алдымен анықталмағандықтың бар-жоғын білу керек. Ол үшін негіздің шегін табу керек: 

 болғандықтан, анықталмағандығы шығады. Сондықтан, қарастырып отырған шекті табу үшін түрлендіру жасап, оны (2) формулаға келтіруіміз керек. Сонда 

. 
 

      2. Алмастыру әдісі.

      Практикада  өрнегін бірден немесе түрлендіру арқылы есептеу мүмкін болмағанда, алмастыруын жасайды. Жалпы жағдайда функциясын алу туралы еш нәрсе айтуға болмайды. Дегенмен, функциясын -да жаңа айнымалы тиянақты бір санға ұмтылатындай етіп және мына шегін (мұндағы дегеніміз - -дағы -ң ұмтылатын шамасы) бірден түрлендіру арқылы есептеуге мүмкіншілік болатындай етіп таңдап аламыз. 

      7-мысал.  Мынадай шекті табу керек: .