Фурье анализ и синтез периодических функций

    Министерство  образования и науки Р.Ф.

    Федеральное государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования 

    «Чувашский  государственный университет имени  И.Н. Ульянова» 

    Факультет радиотехники и электроники

    Кафедра высшей математики 
 
 
 
 
 

    Курсовая  работа по теме:

    «Фурье анализ и синтез периодических функций» 
 
 
 
 
 

    Выполнил:

    студент I курса группы РТЭ-41-11

    Яковлев.Е.С.

    Проверил:

    доцент  кафедры высшей математики

    Тобоев  В.А. 

      Чебоксары 2012 г.

Содержание 

1. Введение……………………………………………………………………..3
2. Роль анализа Фурье в прикладной математике и технических науках….4
3. Конечные ряды Фурье………………………………………………………6
4. Комплексные ряды Фурье…………………………………………………10
5. Ряды Фурье для непрерывного сигнала…………………………………..11
6. Ряды Фурье для сигналов на бесконечном интервале…………………..12
7. Теорема Парсеваля………………………………………………………...15
8. Быстрые преобразования Фурье…………………………………………..17
9. Заключение...……………………………………………………………….19
10. Приложение №1………………………………………………………….20

Введение 

   Одной из тем, рассматриваемых в курсе  математического анализа, является разложение функций в ряд Фурье. В основе этой теории лежит предположение о том, что любая сложная функция может быть представлена в виде сумы простых функций, такими функциями являются косинус и синус. Именно теория разложения различных видов функций является основой Фурье анализа и синтеза функций. Данная тема имеет очень важное значение, так как с помощью теоретических сведений полученных в результате ее изучения можно решать довольно широкий круг практических задач.  

     В данной курсовой работе будет рассмотрена теория разложения трех основных видов функций: конечный дискретный ряд, непрерывная периодическая функция, непрерывная апериодическая функция. Также будет показано, как для каждого из трех типов сигналов можно найти коэффициенты разложения Фурье и как по полученному разложению построить график функции.

   В конце работы будет представлено приложение, в котором будут приведены примеры как прямых, так и обратных преобразований Фурье.

         
Роль анализа Фурье в прикладной математике и в технических науках. Фурье синтез 

   Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом  Фурье (1768 - 1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики. Особенно важны они для трех приложений:

• для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, или для передачи электромагнитных волн по кабелям; 
• для приведения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим уравнениям;
• для приближения непериодических функций.

   Основной  областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской  Академии Наук свои первые открытия по теории распределения тепла в твердом теле, а в 1822 опубликовал работу «Аналитическая теория тепла», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. "Аналитическая теория тепла" Фурье и примененные в ней методы стали основой для создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых других общих проблем математического анализа. Фурье доказал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением. Хотя Фурье и не доказал, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, но его попытки осуществить такое разложение были толчком к ряду исследований по этой проблеме. В последствии это привело к открытию нового метода анализа сигналов – Фурье анализа.

   Основное  применение Фурье  анализа – это приближение непериодических функций с помощью периодических функций. В качестве примера приближения непериодической функции можно использовать детерминированную функцию  времени , которую называют сигналом и которую нужно аппроксимировать с помощью выбранных подходящим образом периодических функций.  Детерминированный сигнал является функцией, которая известна точно для всех моментов времени. Примерами детерминированных сигналов являются

   или

   Любую непериодическую функцию можно  представить,  используя любой  класс периодических функций. В  анализе Фурье такими функциями  являются синусоидальная и косинусоидальная. Они обладают важным свойством ортогональности, так что коэффициенты можно находить независимо друг от друга.     

  Фурье-синтез исходного сигнала из отдельных гармоник, это есть обратное Фурье-преобразование частичной суммы ряда Фурье.   

Рисунок 1.

Обзорная  схема Фурье-синтеза периодических функций. 
 

   Конечные  ряды Фурье 

   Рассмотрим  сигнал, заданный лишь в дискретные моменты времени. Его нужно разложить  по периодическим функциям. Дискретный сигнал можно рассматривать как  полученный из непрерывного сигнала  длительности при отсчете значений сигнала через интервалы времени , (рис. 2а). Это дает выбранных значений , где . Для удобства можно считать, что четное и равно , поэтому может изменяться по целым числам .

Рис. 2. а – дискретный сигнал, полученный выбиранием из непрерывного сигнала; б – основная синусоида и гармоники.

   Периодические функции, проходящие через значения сигнала в указанные  моментов времени, могут быть выбраны бесконечным множеством способов. Например, конечный ряд Фурье    

 (2.1)

Содержит констант и , которые можно определить так, чтобы дискретные и непрерывные значения совпадали в точках , т.е. . Следовательно, функция даст приближение к исходной непрерывной функции в интервале . Заменяя на в (2.1)  и пологая , получим систему уравнений для неизвестных констант. Уравнения имеют вид

(2.2) 
 

   Выбрав  , можно сильно упростить решение системы уравнений (2.2), так как при этом синусы и косинусы будут ортогональны, т.е. будут удовлетворять следующим соотношениям: 

                   (2.3) 
 
 
 
 
 
 
 

   Частота называется основной частотой сигнала ; она соответствует периоду, равному длине записи, как показано на (Рис. 2б). Величина измеряется в периодах в секунду, или герцах, если измеряется в секундах.

   Таким образом, функция  в (2.1) составлена из суммы синусоидальных и косинусоидальных функций, частот которых кратны основной частоте , т.е. являются гармониками основной частоты. Наивысшей из частот является , что соответствует периоду, равному двум интервалам отсчета.

   Коэффициенты  или  в случае можно найти, умножая обе части (2.2) на или и суммируя по , а затем воспользовавшись соотношениями ортогональности (2.3).

   Окончательные выражения для коэффициентов следующие:

      (2.4) 
 
 
 

где является средним значением, или средним арифметическим, величин . Аналогичные выражения поучаются, когда число точек нечетно, например , при этом единственное  отличие будет в том, что член исчезнет.

   Иногда  удобнее записывать (2.1)  в виде

где , и ,  . 

 называется амплитудой и  - фазой m-й гармоники относительно некоторого произвольного начала отсчета времени.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Комплексные ряды Фурье 

   Приведенные выше формулы громоздки в обращении, поэтому в большинстве случаев для удобства в работе их записывают в комплексной форме. Выразим сигнал через комплексные амплитуды , для этого воспользуемся формулой Эйлера, которая связывает показательную функцию от чисто мнимого аргумента с функциями косинуса и синуса

и выразим  и , получим:

   Исходя  из этих выражений, выразим сигнал через комплексные амплитуды , где

Таким образом, (2.2) можно записать в виде

,  где звездочка означает  комплексное сопряжение. Тогда формулы  (2.4) переходят в 

   Полученные  формулы (3.4) и (3.5) легко можно привести  к вещественному виду, взяв действительную и мнимую части. Например, беря действительную и мнимую части от (3.4), получаем синус- и косинус- преобразования (2.4). 

   Ряды Фурье для непрерывного сигнала  

   Предположим, что нужно получить представление  Фурье для непрерывного сигнала на интервале от до . Если в предыдущих формулах интервал отсчета устремить к нулю, то выбранные точки сигнала будут все полнее прослеживать непрерывный сигал . Непрерывный сигнал , на который накладываются условия, чтобы он проходил через выбранные точки сигнала , должен при этом совпадать с , и поэтому в этом предельном случае представление Фурье будет точным представлением сигнала на интервале от до .

   Коэффициенты  Фурье  , определяемые в (3.5) , можно переписать в виде

и если и , так что , то , и сумма (4.1) стремится к интегралу

Аналогично (3.4) стремится к 

   Уравнение (4.3) называется представлением функции  в виде ряда Фурье на интервале . 

   Ряды  Фурье для сигналов на бесконечном интервале

   До  сих пор мы показали, что с помощью  тригонометрических рядов можно  представить два типа сигналов. Сигналы  первого типа состояли из конечного числа ординат, отстоящих на сек друг от друга. Сигналы этого типа можно было бы представить на данном интервале с помощью непрерывного сигнала , образованного гармониками основной частоты Гц. Максимальной из присутствующих частот является Гц, и поэтому про сигнал говорят, что он имеет ограниченную полосу частот.

   Сигналы второго типа были непрерывными сигналами, заданными на интервале . Сигналы такого типа можно представить на этом интервале с помощью некоторого сигнала, состоящего из бесконечного числа гармоник основной частоты Гц.

   В более общем случае нужно рассматривать сигналы третьего типа, определенные на бесконечном интервале . Соответствующий подход является предельным случаем анализа Фурье, в котором рассматриваются неограниченно увеличивающиеся отрезки бесконечной записи. По мере того как стремится к бесконечности, частотный интервал между соседними гармониками становится бесконечно малым, что приводит к непрерывному распределению амплитуд по частоте.

   Чтобы продемонстрировать эти предельные рассуждения, можно переписать (4.3) в виде

В пределе, когда  , , и . Поэтому (5.1) стремится к интегралу

Аналогично (4.2) можно переписать в виде

что стремится  к 

когда . Функция называется преобразованием Фурье функции . 

   Физически преобразование Фурье  представляет собой распределение интенсивности сигнала по частоте, т.е. является функцией плотности.

   Таким образом, мы показали, что бывает три типа сигналов: сигналы, состоящие из конечного числа ординат, сигналы непрерывные на интервале и сигналы определенные на бесконечном интервале . Каждый из этих сигналов имеет как прямое, так и обратное преобразование Фурье; эти преобразования представлены в табл. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Краткая сводка формул преобразований Фурье            

Таблица 1. 
 

   Теорема Парсеваля 

   Среднеквадратичная  величина, или средняя мощность, сигнала  равна

Используя (2.1) и свойства ортогональности (2.3), получим, что эта величина записывается в виде

что является частным случаем теоремы Парсеваля. Эта теорема утверждает, что среднеквадратичное значение сигнала  , или средняя мощность, рассеиваемая сигналом , может быть разложена на составляющие, даваемые гармоникой. Для нулевой и - й гармоник вклад равен , а для - й гармоники средняя мощность равна .

Более удобной мерой является среднеквадратичное значение сигнала  относительно среднего . Оно равно дисперсии

   Разложение  среднеквадратичной суммы можно  представить, нанеся на график среднюю  мощность гармоники против частоты  этой гармоники. Такой график называется линейчатым спектром Фурье.

   Если  принять во внимание (3.5), то теорема Парсеваля записывается в следующем виде

Следовательно, вклад в среднеквадратичную сумму, вносимый членом в (6.1), разделяется в (6.3) на две части, каждая из которых равна ; одна соответствует частоте , а другая – частоте – .

   Если  же сигнал непрерывный, то учитывая (4.2) теорема Парсеваля переходит в

поскольку (6.3) можно записать в виде

и , когда и .

   И наконец, для случая бесконечного интервала  соотношение Парсеваля можно  записать в виде

что стремится  к 

   Быстрые преобразования Фурье 

   С помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) дискретное преобразование Фурье вычисляется гораздо быстрее, чем с помощью прямого метода и стой же самой точностью. Так, используя прямой метод для вычисления дискретного преобразования  Фурье ряда из членов, потребовалось бы приблизительно операций, в то время как БПФ требует лишь операций. Экономия времени вычислений может быть очень велика, если нужно проводить анализ Фурье длинных рядов.

   Алгоритм  БПФ

   Предположим, что требуется найти преобразование Фурье  , , ряда , , где – четное. Один из способов заключается в расщеплении ряда на два вспомогательных ряда и , где  

   Каждый  из рядов  и содержит членов, и преобразования Фурье этих рядов имеют вид

                                                                                                            (7.2)

где верхний  индекс преобразованных величин  указывает число членов ряда, которое  совпадает с числом членов преобразования. Величины  , , связаны следующим соотношениями:

, (7.3)

.

Кроме того,

                                         ,                                                        

так что 

Следовательно, окончательный результат равенств (7.3) И (7.4) имеет вид

Отсюда  легко увидеть, что преобразования Фурье ряда легко получить из преобразований Фурье вспомогательных рядов и . Подобным же образом при можно расщепить каждый из рядов и на два ряда и соответственно и вывести соответствующий вариант формулы (7.5), который выразит преобразования , через преобразования рядов длиной .

   Для рядов длины  эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока расщепление не приведет к рядам, состоящим из одного члена; в этом случае преобразование Фурье этого члена совпадает с ним самим. В случае если не равно степени двойки, расщепление на два ряда продолжается до тех пор, пока станет легко взять преобразование Фурье вспомогательного ряда.   
 
 
 
 
 
 
 
 

   Заключение 

   В данной курсовой работе я рассмотрел основные вопросы, связанные с анализом Фурье и синтезом функций. Показал, что любую сложную функцию можно разложить на сумму косинусов и синусов, тем самым подтвердил утверждение, высказанное в начале работы. Убедился, что существует три типа сигнала и для каждого из них есть как прямое, так и обратное преобразование Фурье, что в итоге было резюмировано в таблице на странице 14. Также узнал, что среднеквадратичное значение сигнала или средняя мощность, может быть разложена на составляющие, даваемые каждой гармоникой в отдельности. В последствии показал, что на этом свойстве основано построение спектров функций, графиков, отражающих присутствующие частотные составляющие.

   Немаловажное значение имеет приложение представленное в конце работы, в котором были реализованы теоретические сведения, полученные в ходе работы. 

   Следует отметить, что остался еще очень  широкий круг неисследованных вопросов, касающихся как Фурье анализа, так  и непосредственно связанных  с ним теоретических и практических методов решения различных задач. Таким образом, исследования, проведенные в данной работе являются только первым шагом на пути изучения вопросов связанных с этой темой.   

   Приложение  №1 

   Пример  №1. Даны данные табл. 2, которые дают интенсивность сигналов, отраженных от одного из слоев в ионосфере. Приведенные цифры являются осредненными по нескольким месяцам значениями интенсивности в фиксированное время суток.

   Таблица 2