Гидродинамическая сетка и ее особенности

Министерство образования  Российской Федерации

Московский  Государственный Открытый Университет

имени В.С. Черномырдина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

Дисциплина: «Динамика  подземных вод»

 

Тема: «Гидродинамические сетки и их особенности»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                             Выполнил: Студентка 3 (сокр) курса

                                                                                         Матяшова М.М.

                                                                                                    Специальность: 130302

                                                                                                      Учебный шифр: 8081185

                                                                          Принял:  Потапов Г. И. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МОСКВА  2012

 

Содержание

 

Введение	3
1. Понятие гидродинамической сетки	5
2. Свойства гидродинамические сетки	9
3. Правила построения гидродинамические сетки	10
4. Решение задач	13
Заключение	16
Список используемой литературы	18

 

 

Введение

Основными гидродинамическими элементами потока подземных вод являются линии напора и линии тока. Первые представляют собой геометрическое место точек, имеющих одинаковые отметки пьезометрических уровней подземных вод, и описываются уравнением H = const. С гидрогеологической точки зрения поверхности напора — это поперечные сечения потоков, например, урезы рек, каналов, водохранилищ, гидроизогипсы или пьезоизогипсы в плановых потоках.

Линии тока — это линии, в каждой точке которых векторы скорости фильтрации совпадают с касательными, проведенными к этим точкам. При установившемся движении линии тока постоянны и совпадают с траекториями движения частиц воды. При нестационарной фильтрации линии, тока не совпадают с траекториями движения частиц воды, а являются, как отмечает II. II. Павловский (1956), лишь мгновенными кинематическими характеристиками потока, позволяющими судить о направлении скоростей движения точек, в данный момент времени попавших на рассматриваемую линию тока.

Линии тока описываются системой дифференциальных уравнений (Аравин, Нумеров, 1953)

,                                             (1)

Если взять в потоке площадку dF и провести по ее периферии систему линий тока, то получится трубка тока. При установившемся движении она обладает такими свойствами: а) не изменяет своей формы;                  б) линии тока, ее ограничивающие, являются непроницаемыми границами, так как скорость, нормальная к линии тока, равна нулю ( ) и перетекание воды между трубками тока исключается.

Часто пользуются понятиями потенциала скорости фильтрации φ и функции тока ψ .     Первый связан с величиной напора соотношением

                                                 (2)

где k — коэффициент фильтрации.

Потенциал скорости фильтрации связан со скоростью фильтрации соотношениями

                   (3)

Возможно такое соотношение (Форхгеймер, 1935):

                                      (4)

Как известно, зависимость (4) представляет собой условие Коши—Римана, определяющее ортогональность функции тока ψ и потенциала скорости фильтрации φ, а следовательно, и ортогональность линий тока и линий напора. Разность ψ_в - ψ_А дает количество воды, протекающей через произвольный контур трубки тока, начало и конец которого находится в точках В и А т. е.

q = ψ_в - ψ_А                                        (5)

Система взаимно ортогональных линий тока  линий напора образует гидродинамическую сетку. Элементом сетки является конечных, размеров ячейка, образованная пересечением двух линий тока двумя линиями напора.

 

1. Понятие гидродинамические сетки

Совокупность  взаимно ортогональных линий токов и линий равных напоров представляет гидродинамическую сетку фильтрационного потока. В условиях установившегося движения гидродинамическая сетка потока постоянная, в условиях неустановившегося движения − переменная. (рис.1)

 

Рис. 1. Гидродинамическая сетка фильтрации под плотиной на неоднородном Основании.

1 — линии тока, ψ = const; 2 — линии напора, φ = —kH = const;

66,7% — относительная величина напора; 3 — ячейка сетки и ее размеры, ϪSi— ширина, Ϫli— длина; 4 — лента тока; 5 — кривая распределения градиента потоа в нижнем бьефе; H₁, Н₂, Н_о — соответственно напоры в верхнем, нижнем бьефе, на плотине.

 Простейшим  примером гидродинамической сетки является сетка напорного потока в условиях однородного пласта постоянной мощности при горизонтальном водоупоре. В таких условиях гидродинамическая сетка представляет собой совокупность взаимно ортогональных горизонтальных и вертикальных линий и состоит из равных квадратных или прямоугольных ячеек. В других условиях линии токов и равных напоров могут быть криволинейными, а ячейки гидродинамической сетки соответственно криволинейными квадратами, прямоугольниками и трапециями (рис. 2).

Рис. 2. Схема к определению расхода потока по гидродинамической сетке:

1 – линии  тока, 2 – линии равного напора

 

Гидродинамические сетки потоков получают либо экспериментально, на основе моделирования условий фильтрации в лабораторных условиях, либо путем графического их построения.

При построении любым способом гидродинамических сеток следует учитывать некоторые общие рекомендации, основанные на свойствах гидродинамических сеток и опыте их построения.

1. Линии токов и линии равных напоров должны быть плавными, взаимно перпендикулярными линиями.
2. При построении линий токов у границ слоев с разными фильтрационными свойствами следует учитывать закон преломления фильтрационных токов.
3. Общее количество линий токов и линий равных напоров устанавливается в зависимости от принятого масштаба построения сетки, требуемой точности и особенностей условий фильтрации. На практике нередко берут одинаковое число линий токов и эквипотенциалей.
4. В пределах каждой ленты тока (под лентой тока понимается участок потока, выделенный двумя соседними линиями тока) должно соблюдаться условие конформности (от лат. «подобный, сходный») ее ячеек, вытекающее из постоянства расхода вдоль ленты тока. В общем случае для каждой рассматриваемой ленты тока должно соблюдаться постоянство в ее границах расхода во всех выделенных ячейках. При этом величина расхода, проходящего через поперечное сечение каждой ячейки, определяется выражением

,                                                  (6)

где k_я − коэффициент фильтрации на участке потока, ограничиваемого ячейкой; ∆H − потеря напора, определяемая разностью значений пьезометрического напора эквипотенциалей (линия, все точки которой имеют равный потенциал), ограничивающих данную ячейку; l_я и b_я − соответственно длина пути фильтрации и ширина (или мощность) потока в пределах конкретной ячейки (l_я измеряется как среднее расстояние между эквипотенциалями, b_я − как среднее расстояние между линиями тока). Обозначения показаны на рис. 2.

При равном шаге эквипотенциалей (∆H_я= const;) условие конформности ячеек ленты тока имеет вид

                                                          k_яb_я/l_я = const,                                           (7)

которое для однородного  по фильтрационным свойствам потока            (k =const) переходит в более простое:

                                         b_я/l_я = const.                                                 (8)

Построение  гидродинамической сетки выполняется  с учетом обеспечения указанных условий конформности ее ячеек.

5. Все непроницаемые поверхности являются линиями токов, а проницаемые, как правило, линиями равных напоров.

 

 

2. Свойства гидродинамической сетки

Впервые графический способ построения сеток и определения по ним основных гидродинамических характеристик потока был предложен     Ф. Форхгеймером (1935), развит работами Н. К. Гиринского (1939) и для неоднородных сред работами Г. H. Каменского с соавторами [1935; Каменский, 1943]. Обобщая эти исследования можно установить следующие свойства сетки:

1. линии тока и линии райного напора взаимно ортогональны и образуют фигуры, максимально приближающиеся к квадратам или прямоугольникам с одинаковым соотношением сторон или средних линий, что обеспечивает соблюдение критерия:

                                 (9)

где N — число лент тока, М —число полос напора;

2. потери напора ϪН_i в каждом из фильтрационных квадратов сетки равны одной и той же величине и связаны с расходом зависимостью

Q_i = k ϪH_i,                                          (10)

так как геометрические параметры Ϫl и ϪS ячейки равны;

3. расход потока Q_i, проходящего через любой из фильтрационных квадратов сетки, равен одной и той же величине;
4. в условиях неоднородного строения при направлении потока под углом к плоскости раздела слоев происходит преломление линий токов, и изменение их числа обратно пропорционально величине водопроницаемости. Отсюда вытекают следующие правила построения сетки 
   

3. Правила построения гидродинамической сетки

В условиях неоднородного строения при направлении потока под углом к плоскости раздела слоев происходит преломление линий токов, и изменение их числа обратно пропорционально величине водопроницаемости. Отсюда вытекают следующие правила построения сетки

1. Линии токов проводятся нормально к линиям равных напоров так, чтобы образовались в общем случае криволинейные квадраты или прямоугольники, что проверяется по Н. К. Гиринскому, выполнением двух условий:

 а) должен  быть постоянен коэффициент формы Е = 1 или Е≤≥ 1;

            б) для четырех соседних ячеек, образованных пересечением трех линий тока и трех линий напора, произведения коэффициентов Е попарно крест-накрест взятых ячеек должны быть равны, (рис. 1):

Е_а*Е₀ = Ев*Ес                              (11)

2. Сетка вписывается в область фильтрации c соблюдением граничных условий. При этом линии равного напора, нормальные к непроницаемым границам, начинаются и заканчиваются па граничных линиях тока; линии токов, нормальные к проницаемым граничным контурам, начинаются и кончаются на них. 
3. Линии равного напора проводятся через одинаковые интервалы цапора ϪН_i выбираемые произвольно согласно зависимости:

H₀ = αϪH_i,                                             (12)

где Н₀= Н₁ –H₂— действующий граничный напор, α — число принятых интервалов.

4. Сложные по форме ячейки проверяются последовательной их на более мелкие ячейки при соблюдении условия

где п, т — число мелких, фильтрационных квадратов, укладывающихся, соответственно вдоль отрезков линии напора и линии тока, входящих в сложную ячейку. 

        5) На границах раздела слоев линии тока преломляются, и в менее проницаемом слое число промежуточных линий токов возрастает обратно пропорционально соотношению коэффициентов фильтрации, согласно   Г. Н. Каменскому (1943), по зависимости

М₁:М₂=k₂:k₁                                        (13)

 

где М₁иМ₂— число полос, между линиями токов в первом и во втором слоях (для рис. 3    2 : 1 = 2 : 1).

Рис.3 Область  фильтрации и ее основные элементы

1-фильтрационная  однородная сркда (k = const,  µ= const);  граница области фильтрации: 2 – низовая, х =0, 3- верховая, x = L, 4-водоупор,

непроницаемая граница  ; 5 – кривая депрессии (свободная поверхность), Н_сп=z_cп; граничные условия I рода: х = 0, Н (0, t) = H_i; х = L, H (L, t) = H₂; начальные условия: t = 0, H (x, 0) = f (x); h, L – соответственно мощность, длинна фильтрации

 

 

По гидродинамической  сетке можно определить все основные характеристики потока подземных вод:

а) средний градиент и среднюю скорость фильтрации в  ячейке

;   V_i=kI_i                                    (14)

при этом можно  построить по заданному направлению  эпюру изменения скорости и градиента потока (рис. 3);

б) расход в ячейке по формуле (9), а общий расход как сумму элементарных расходов по числу лент тока N

Q_об = B*N*Q_i                                          (15)

где В — ширина потока в плане (если сетка построена в вертикальной плоскости);

 в) распределение  напора по любому направлению в виде эпюры напоров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Решение задач

Задача:

1. Построить гидродинамическую сетку потока, формирующегося в песках под плотиной с плоским флютбетом длиной   АВ = 30 м и имеющего напор в верхнем бьефе ϪH_1-2= 12 м. Мощность песков 100 м. Определить суммарный расход на фильтрацию под плотиной, приняв        k = 10 м/сут.
2. Построить эпюры распределения градиента потока в нижнем бьефе плотины и изменения напора по глубине.

Решение.

1. Примем число полос напора т = 6, число линий напора                   (т + 1) = 7. Приращение напора между двумя соседними ЛН м, что удобно для последующих вычислений.

Число лент тока примем равным 4, так, чтобы геометрический параметр ГДС был близок 1 (Ϫb_ji ~ Ϫl_ji).

2. Примем линейный масштаб в 1см 5м (1:500) и нарисуем область фильтрации, приняв нижний бьеф за область сравнения рис.4

 

 

Рис.4 Гидродинамическая сетка под плотиной

 

3. Граничными линиями напора являются урезы верхнего и нижнего бьефов, где напор равен соответственно 14 и 2 м, граничная линия тока - подземный контур основания плотины (АВ). Определим положение линии напора 8 м - она делит линию тока АВ на две равные части. Оставшиеся линии тока и напора проводим так, чтобы получились криволинейные прямоугольники, проверяем их по условию . Показаны только три ленты тока (см. рис. 4).

 

 

4. По структуре поток близок к радиальному, двухмерный вектор скорости имеет две составляющие v_X, v_y.
5. Строим эпюру градиентов потока вдоль линии нижнего бьефа. Вычислим для ячеек значения I_ij, предварительно измерив в масштабе величины Ϫl₁Ϫl₂, ..., Ϫl_ij. Все данные заносим в табл. 1.
6. Приняв для градиентов вертикальный масштаб в 1 см 0,2 м, строим эпюру их распределения по линии нижнего бьефа (см. рис. 4).
7. Суммарный расход на фильтрацию под плотиной определяется для   п = 4 как Q = nq_i. Единичный расход одной ячейки q_i вычисляется по формуле при B=1.

 

 

Таблица 1

Определение суммарного расхода на фильтрацию под плотиной

Номер ячеек в полосе напора	Ϫl=Ϫb, м	ϪНi	Ii	qi, м2/сут	Qcум по всей полосе напора, пqi, м2/сут
1	2,5	2,0	0,80	20	4*20 = 80
2	8,0	2,0	0,25	20
3	17,0	2,0	0,12	20

 

 

 

 

Заключение

Гидродинамические сетки используются для качественной и количественной оценки потоков подземных вод. Имея гидродинамическую сетку потока, можно легко определить все его основные элементы: напоры, напорные градиенты, скорость фильтрации, расход потока.

Пьезометрический  напор в любой точке потока определяется по значению эквипотенциалей. Если при этом точка находится между эквипотенциалями, значение пьезометрического напора в ней определяется путем интерполяции значений ближайших эквипотенциалей.

Для определения напорного градиента в какой-либо заданной точке потока необходимо через эту точку провести дополнительную линию тока, параллельную двум соседним линиям тока до пересечения с ближайшими, ограничивающими точку эквипотенциалями, и, замерив по ней длину пути фильтрации ∆l (в масштабе чертежа), определить величину градиента по известной формуле   

,                                  (16)

где ∆Н− разность отметок, ограничивающих эквипотенциалей. Для более точного определения напорного градиента в заданной точке необходимо построить дополнительную ячейку гидродинамической сетки с центром в точке, для которой проводится определение. Остальные действия − аналогичны.

Величина  скорости фильтрации определяется с  учетом значения коэффициента фильтрации в месте ее определения по формуле v = kI.

Расход потока вычисляется как сумма расходов элементарных ячеек по всем выделенным лентам тока. Для этой цели в пределах гидродинамической сетки выбирается наименее деформированный участок потока, заключенный между двумя линиями равного напора (так называемая полоса), в пределах которого находится расход, проходящий через каждую элементарную ячейку. Общий расход потока определяется как сумма элементарных расходов по всем ячейкам полосы:

,                                              (17)

где п − число элементарных ячеек в пределах рассматриваемой полосы.

Расход потока в пределах элементарной ячейки q_я определяется по формуле (9).

Гидродинамические сетки используются при расчетах фильтрация в зоне гидротехнических сооружений. В относительно простых условиях они строятся аналитически (Форхгеймер, 1935; Павловский, 1956), в сложных условиях — графическим способом (Аравин, Нумеров, 1953; Каменский, 1943) или моделированием (Развитие..., 1969; и др.). С помощью гидродинамической сетки можно охарактеризовать форму, мерность и структуру потока. Под последней обычно понимают положение и направление вектора скорости в пространстве, а под мерностью потока — число проекций вектора скорости фильтрации в выбранной системе координат (Каменский и др., 1960).

В связи с этим по мерности выделяют одно-, двух- и трехмерные потоки; Потоки разделяют на линейные, если вектор скорости параллелей какой-либо' линии, плоские, если он лежит в какой-либо плоскости; и пространственные, если он не параллелен никакой плоскости. Плоские потоки, в свою очередь, подразделяются на плановые (в горизонтальной плоскости) и плоско-вертикальные (в вертикальном сечении). Если линии тока представляют семейство липни, не изменяющихся в любом радиальном сечении, то такой поток имеет радиальную симметрию и называется радиальным.

Гидродинамический анализ сеток — непременное условие успешной схематизации и достоверного выполнения гидрогеологических расчетов.

 

 

Список используемой литературы:

 

1. Г.И. Потапов.  Сборник задач по динамике подземных вод. М.: Изд-во МГОУ, 2001 г.
2. В. М. Максимова. Справочное руководство гидрогеолога. Изд. 3-е. Том 1. 1979 г.
3. В. М. Шестаков. Динамика подземных вод. М., Изд-во Моск. ун-та, 1979 г.
4. В. И. Мишевича и Н. А. Сидорова М., Изд-во «НЕДРА», 1973 г.
5. П.П. Климентов, В.М. Кононов. Динамика подземных вод. М.:    Изд 2-е,1985 г.
6. И.К. Гавич, В.С. Ковалевский, Л.С. Язвин. Основы гидрогеологии. Геодинамика. Новосибирск 1983 г.