Использование в экономики теории магисталей

РЕФЕРАТ

Текст курсовой работы изложен на 40 страницах  машинописного текста. Курсовая содержит 3 таблицы и 5 рисунков. Список использованных источников включает 19 наименований.

Ключевые  слова: экономика, математика, теории, магистрали, модель.

Объектом  исследования в данной курсовой работе являются теории магистрали.

Предметом исследования является использование в экономике теорий магистрали.

Целью данной курсовой работы заключается в изучении использования в экономике теорий магистрали.

Полученные  результаты:

-изучена история развития теорий в экономике;

-исследована экономика и математика;

-рассмотрено понятие магистрали;

-оценены магистральные траектории в линейных моделях экономики;

-охарактеризована модель Неймана;

-рассмотрена модель Леонтьева;

-проведен анализ экономического развития России;

-изучено состояние и развитие экономического потенциала Курской области;

-рассмотрен прогноз социально-экономического развития.

Полученные  результаты могут использованы государством при использовании теорий магистрали.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..3

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ  ТЕОРИЙ МАГИСТРАЛИ……………………...5

1.1.История развития теорий  в экономике…………………………………………5

1.2.Экономика и математика………………………………………………………..7

1.3.Понятие магистрали……………………………………………………………..9

2.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ  ТЕОРИЙ МАГИСТРАЛИ……………11

2.1. Магистральные траектории  в линейных моделях экономики……………...11

2.2.Модель Неймана………………………………………………………………..13

2.3.Модель Леонтьева……………………………………………………………...21

3.ОЦЕНКА ЭКОНОМИЧЕСКОГО  РАЗВИТИЯ РОССИИ И КУРСКОЙ  ОБЛАСТИ…………………………………………………………………………..24

3.1.Анализ экономического  развития России…………………………………….24

3.2. Состояние и развитие  экономического потенциала Курской  области……..29

3.3. Прогноз социально-экономического  развития………………………………32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………….37

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………………39

ВВЕДЕНИЕ

В экономической теории на первоначальном этапе ее развития редко использовались математические формулировки. Тем не менее многие классические доктрины экономики в словесной,  завуалированной форме по существу содержали определенные  математические утверждения; это иногда оставалось скрытым и от самих приверженцев таких доктрин. По мере развития экономической науки внутренне присущие ей математические черты постепенно проявлялись все сильнее. На более поздней стадии ее истории некоторые экономисты стали предлагать даже полную  математизацию экономической теории. По-видимому, самым выдающимся представителем зарождавшегося математического направления в экономической теории был французский экономист Леон Вальрас. Именно он в конце XIX столетия заложил основы теории общего экономического равновесия. Эта теория основана на том, что между соответствующими величинами в экономике существует не односторонняя причинно-следственная связь, а многосторонняя взаимозависимость, которую математически можно представить некоторой системой соотношений между этими величинами.

Одной из теорий в экономике является теория магистрали.

Целью данной курсовой работы заключается в изучении использования в экономике теорий магистрали.

Поставленная  цель решается посредством следующих  задач:

-изучить  историю развития теорий в экономике;

-исследовать экономику и математику;

-рассмотреть  понятие магистрали;

-оценить магистральные траектории в линейных моделях экономики;

-охарактеризовать  модель Неймана;

-рассмотреть  модель Леонтьева;

-провести анализ экономического развития России;

-изучить  состояние и развитие экономического потенциала Курской области;

-рассмотреть  прогноз социально-экономического развития.

Объектом  исследования в данной курсовой работе являются теории магистрали.

Предметом исследования является использование в экономике теорий магистрали.

В данной курсовой работе были использованы следующие методы: аналитический, монографический, аналитический, экономико-математические, статистические методы.

Работа  состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников.

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  ОСНОВЫ ТЕОРИЙ МАГИСТРАЛИ

1.1.История  развития теорий в экономике

Истоки  применения математики в экономике  теряются во тьме веков: ведь экономика  никогда не могла существовать без  измерения и счета. В  XV в. итальянский математик Лука Пачоли разработал методы бухгалтерского учета на принципе двойной записи каждой операции, действующие до сих пор. В XVIII в. французские экономисты пришли к выводу, что в экономике, как и в природе (физике), действуют законы, которые нужно выявлять. Этих экономистов назвали физиократами. Глава физиократов лейб-медик Людовика XV Франсуа Кенэ опубликовал в 1758 г. «экономическую таблицу», где анализировал кругооборот денег в экономике по аналогии с кругооборотом крови в человеческом организме. Эту идею в XIX в. развил Карл Маркс, разработав свои схемы общественного воспроизводства. А уже в XX в. развитие этих идей завершил американский экономист, эмигрант из России В.В.Леонтьев, который создал метод межотраслевого баланса (МОБ, «затраты-выпуск»), за что получил Нобелевскую премию по экономике [9, с. 217].

В 1838 г. французский инженер Анри Курно опубликовал работу «Исследование математических принципов теории богатства». В 1870 г. Леон Вальрас создал математическую модель общего экономического равновесия. Она произвела столь сильное впечатление, что некоторые экономисты высказали мнение, будто на этом развитие экономической теории заканчивается. Но в XX в. появилось множество других моделей экономического равновесия. В 1874 г. Л.Вальрас написал: «Чистая теория экономики есть наука, напоминающая во всем физико-математические науки».

Одновременно  с А.Курно немецкий экономист Госсен  издал книгу по анализу потребительского спроса. В ней он изложил два закона, которые теперь называются первым и вторым законами Госсена. Книгу эту не покупали, и автор сжег ее тираж, – к счастью, не весь. Австрийская школа экономистов во главе с К. Менгером разрабатывала теорию предельной полезности. Независимо от этих ученых в этом направлении работали итальянец В.Парето, англичанин Эджуорт, американец Д.Б.Кларк. Появился маржинализм, что зафиксировано в книге А.Маршалла «Принципы экономики», изданной в 1890 г. Развитие идей маржинализма продолжили в XX в. русский математик Е.Е. Слуцкий и англичанин Д. Хикс.

Американский  математик, выходец из Венгрии, Джон фон Нейман в первой половине XX в. разработал теорию магистралей. В 1929 г. американцы К.И.Кобб и П.Х.Дуглас описали производственную функцию для американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 г. по 1922 г. В 1953 г. появилась книга американского математика     Н.Винера «Кибернетика или управление и связь в животном и машине». Позже Винер добавил к биологическим и техническим системам общественные, а значит и экономику. В 50-х гг. XX в. американский математик Р.Беллман создал метод динамического программирования, а американский экономист Р.Солоу - модель экономического роста. Под руководством российского математика Л.С.Понтрягина был разработан метод под названием «принцип максимума».

В 1939 г. российский математик Л.В.Канторович (1912-1986) опубликовал первую в мире работу по линейному программированию. Аналогичную работу независимо от него выполнил американский математик Д.Данциг, но опубликовал ее только в 1945 г. Общепризнанно, что приоритет создания линейного программирования принадлежит Л.Канторовичу. За эту работу он в 1965 г. получил Ленинскую, а в 1975 г.– Нобелевскую премии по экономике.  Л.Канторович – единственный экономист из социалистических стран,  ставший лауреатом Нобелевской премии[3, с. 70].

В СССР, а затем в России, экономико-математическое направление интенсивно разрабатывалось  в Центральном экономико-математическом институте, Институте экономики  и организации промышленного  производства (Новосибирский Академгородок) и других научных учреждениях.

Курс  математической экономики читается в университетах для математиков  и экономистов. Предлагаемое пособие  предназначено для экономистов.

1.2.Экономика и математика

Одним из важнейших междисциплинарных  направлений является взаимодействие экономики и математики. Экономика  еще со средних веков пользуется разнообразными количественными характеристиками и потому вобрала в себя большое  число математических методов. Сегодня  в экономической науке на первый план выступает экономические модели как инструмент исследования и прогноза экономических явлений. Модели развивают  наши представления о закономерностях  экономических процессов и способствуют формированию образа мышления и анализа на новом, более высоком уровне. В последнее время для обозначения специфичности моделей, применяемых в экономике, употребляют термин «экономико-математическое моделирование». И это не случайно, поскольку экономическая теория давно уже использует элементы математики в своих выводах. Более того, настоятельность решения актуальных экономических проблем часто инициирует и развитие математического аппарата. Например, появление класса продуктивных матриц в линейной алгебре обусловлено исследованием моделей межотраслевого баланса; математическое программирование в своей основе имеет сугубо экономический аспект оптимального планирования распределения ограниченных ресурсов. Использование математических методов и моделей актуально как на уровне деятельности фирмы в условиях рынка, так и в макроэкономике – на уровне планирования и анализа аспектов экономической деятельности региона и страны. Сегодня, в условиях глобализации мировой экономики и становления общества нового типа – информационного общества – математические модели становятся мощным инструментом прогнозов эволюции цивилизации на нашей планете, что позволяет определять оптимальные магистрали развития экономики.

Первым  экономистом-математиком считается  выдающийся французский ученый О. Курно (1801-1877), который в своей работе «Исследование математических принципов теории богатства» применил математические методы при исследовании экономических процессов, измеримых количественно, сформулировал закон спроса. Количественный аспект анализа экономических явлений и процессов всегда занимал большое место в работах классиков отечественной и зарубежной экономики. Французский ученый Ф. Кене создал «Экономическую таблицу», являющую собой попытку представить в форме экономико-математической модели процесс воспроизводства общественного продукта как единого целого. К. Маркс конструировал математические модели в известной работе «Капитал». П. Лафарг в воспоминаниях о Марксе писал, что он считал, что наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается воспользоваться математикой [16, с. 69].

В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.). Развитие микроэкономики, макроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики – теории игр, математического программирования, математической статистики. В России в начале XX века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1930-е ‑ 50-е годы в этой области не наблюдалось прогресса вследствие идеологических ограничений тоталитарного режима. В 1960-е - 80-е годы экономико-математическое направление возродилось (В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович), но было связано, в основном, с попытками формально описать «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (СОФЭ, Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин и др.). Строились многоуровневые системы моделей народно-хозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий [3].

1.3.Понятие  магистрали

Магистраль  – понятие, грающее важную роль в  теории экономической динамики. Обычно это луч в пространстве продуктов  многопродуктовых и многосекторных моделей, на котором расположены элементы траектории максимального постоянного пропорционального роста производственных выпусков. Оптимальная траектория многопродуктовой и многосекторной модели с продолжительным временным горизонтом при весьма скромных предпосылках выходит из исторически обусловленного начального вектора и приближаются к магистрали (часто в смысле углового расстояния), затем располагаются вдоль магистрали, мало отличаясь от траектории максимального постоянного пропорционального роста, расположенной на магистрали, и в конце временного промежутка модели оптимальная траектория, подчиняясь целевой функции, может отойти от магистрали. Таким образом, оптимальная траектория состоит из трех вышеописанных участков. Продолжительность первого и третьего участков не зависят от временного горизонта оптимизационной модели. С ростом временного горизонта модели удлиняется второй участок оптимальной траектории, который является ее основным участком и целиком определяется технологическим множеством оптимизационной модели. Характер поведения первого участка оптимальной траектории в основном регламентируется начальным вектором, а последний участок в существенном зависит от территориальной целевой функции оптимизационной модели, т.е. такой целевой функции, которая явно зависит лишь от последнего периода временного промежутка модели.

Вместо  луча исследователи были вынуждены  для описания характера поведения  оптимальных траекторий с продолжительным  временным горизонтом использовать множества большей размерности называемые гранями равновесия, а также косые магистрали, индуцируемые переменными во времени технологическими множествами многопродуктовых и многосекторных динамических моделей [15, с. 136].

Отметим, что магистральным свойством  могут обладать не только оптимальные  траектории производственных выпусков, но и оптимальные траектории цен, двойственных моделей. В случае сильноагрегированных моделей экономического роста в форме задач оптимального управления роль магистрали играет траектория максимального роста, соответствующая максимальной норме потребления. Здесь оптимальная траектория также состоит из трех участков, главным из которых является второй, который совпадает с магистралью, а первый и второй участки соответствуют более низким нормам потребления. Начиная с 60-х годов 20 в., в ряде стран (СССР, союзные республики, Япония) было выполнено большое число работ, посвященных расчетам магистралей и оптимальных траекторий на базе реальных и экспертных данных. 

2.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ  В ЭКОНОМИКЕ ТЕОРИЙ МАГИСТРАЛИ

2.1. Магистральные траектории в линейных моделях экономики

В математической экономике магистралью  называется траектория экономического роста, на которой пропорции производственных показателей (такие как темп роста  производства, темп снижения цен) неизменны, а сами показатели (такие как интенсивность  производства, валовый выпуск) растут с постоянным максимально возможным  темпом. Таким образом, магистраль - это траектория или луч максимального  сбалансированного роста. Ее часто  сравнивают со скоростной автострадой. Так, например, для того чтобы добраться  из Кемерово в Киселевск как можно  быстрее, наиболее целесообразно сначала  проехать по автостраде Кемерово-Новокузнецк, а затем уже съехать на ответвляющуюся от нее дорогу в районе Киселевска. Так мы потеряем на дорогу меньше времени  и доедем до конечного пункта с  большим комфортом, чем если бы мы ехали по обычному шоссе через Ленинск-Кузнецкий и Белово.

Поскольку «оптимальное» или «эффективное» развитие экономики в любом смысле так или иначе связано и должно сопровождаться экономическим ростом, то для достижения любой конечной цели следует поступать аналогичным образом: сначала вывести производство на магистральный путь, т.е. на траекторию (или луч) Неймана, характеризующуюся максимальным темпом роста и минимальной нормой процента  (см. (16)), а по истечении определенного срока времени вывести ее к задуманной цели. Такими целями могут быть максимизация прибыли, минимизация затрат, максимизация полезности от потребления товаров, достижение конкурентного равновесия при наиболее благоприятных условиях, т.е. на более высоком уровне благосостояния населения, и т.д.

Итак, с одной стороны мы имеем магистральные  модели, а с другой - оптимизационные  или еще шире - нормативные модели экономики. Изучение этих двух моделей  во взаимосвязи, т.е. изучение связи  между магистральными и оптимальными (в том или ином смысле) траекториями и является предметом магистральной  теории. Можно говорить, что магистральная  теория является одним из средств  качественного анализа оптимальных  траекторий. Основной целью этой теории является исследование условий так  называемых «слабой» и «сильной» теорем о магистралях. Слабая теорема утверждает, что за исключением некоторого малого периода (или некоторого числа дискретных моментов из), не зависящего от продолжительности T планового периода, все оптимальные траектории сосредотачиваются в относительной близости к магистральной траектории. Сильная теорема говорит о том, что те небольшие промежутки времени, на которых оптимальные траектории удалены от магистральной, если они существуют, то разве лишь в начале периода, т.е., или в конце периода, т.е.; а в середине периода оптимальные траектории расположены в относительной близости к магистральной [14, с. 69].

В общем случае в моделях экономической  динамики даже при неизменности технологических  возможностей утверждения теорем о  магистрали не выполняются. Для их выполнения приходится вводить различные дополнительные предположения о свойствах исходной модели экономики. Другой путь состоит  в изучении реальных отраслевых пропорций  и сравнении их с магистральными. Благодаря техническому прогрессу и изменчивости во времени общественных предпочтений различных благ, реальное состояние экономики при детальном (дезагрегированном) ее описании всегда значительно отличается от магистрального. В то же время, как показывают полученные в этом направлении результаты исследований, при высоком уровне агрегирования экономические пропорции близки к магистральным.

Теоремы о магистралях доказываются для  ряда оптимизационных моделей расширяющейся  экономики. Наиболее общей из них  является известная теорема Раднера для нелинейных моделей расширения.

Здесь мы приведем подобные теоремы для линейных моделей Леонтьева и Неймана.

2.2.Модель  Неймана

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

-экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

-производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

-для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

-спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

-цены товаров изменяются во времени.

Перейдем  к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале  с точками рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.

Интенсивностью  производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень  интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через ( ). Заметим, что является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и .

Предположим, что функционирование j-го процесса ( ) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве

и дает выпуск товаров в количестве

Введем  обозначения  . Пара характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как . Поэтому последовательность пар

                                                                           (1)

представляющих  собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются  двумя матрицами 

,                                    (2)

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов с коэффициентами :

,                (3)

Говорят, что в производственном процессе базисные процессы  участвуют с интенсивностями . Как видно из, неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной в начале параграфа). Рассматривая все допустимые «смеси» базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов

                                                                   (4)

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин . Множество представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а интерпретировать как вектор валового выпуска, то превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок, затраты в момент t не могут превышать выпуска , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис. 1).

Рисунок 1 – Последовательность затрат и  выпусков

Поэтому должны выполняться условия:

,                                                                                     (5)

где - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через  , вектор цен товаров. Неравенство (5) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть:

                                                                                (6)

По  предложению 5 прибыль базисного процесса на отрезке [t-1,T] равна величине , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как , а выручку - как (рис. 2).

Рисунок 2 – Последовательность издержек и  выручки

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если , неприбыльны - если

                                                                                      (7)

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики «характерен случай падения цен ( )», т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной  предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. Как следует, при равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс. Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство является отражением этого факта. Поэтому, если в (7) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

,                                                                                         (8)

то  должно быть . Иначе говоря, отсутствие «отрицательной прибыли» обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюда получаем

,                                                                               (9)

Описание  модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (6) – (9) :

                                                                             (10)

где и - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Говорят, что в экономике наблюдается  сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число  , что для всех m производственных процессов

,                                                           (11)

Постоянное  число  называется темпом сбалансированного роста производства.

Содержательно (11) означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть(11), получаем

                                                             (12)

где - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части (12) является показателем степени, а в левой - индексом.

В случае сбалансированного роста  производства, с учетом постоянства  темпа роста, последовательность называется стационарной траекторией производства.

Говорят, что в экономике наблюдается  сбалансированное снижение цен, если существует такое постоянное число  , что для всех n товаров

                                                               (13)

Постоянное  число  называется нормой процента.

Содержательно (13) означает, что цены на все товары снижаются одинаковыми темпами

Название  «норма процента» для темпа снижения принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента , где R0 - сумма начального вложения, Rn - получаемая через n периодов конечная сумма, - норма процента. Так как речь идет о снижении, то «норма процента» в (13) входит с отрицательным знаком ( ).

Из  равенства  (12) получаем

,                                                              (14)

где - цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность называется стационарной траекторией цен.

Подставляя  (12) и (14) в модель Неймана (10), получаем ее «стационарную» форму:

                                                     (15)

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно  назвать равновесной.

Четверка  , где y - стационарная траектория производства, p- стационарная траектория цен, а и - соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента (темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием (динамического) равновесия в модели Неймана (10).

Сделаем следующие предположения:

а)

в) для каждого j существует хотя бы одно i , такое что  ;

г) для каждого i существует хотя бы одно j , такое что  ;

д) для каждого t .

Теорема 6.4. Если выполнены условия а-д, то в модели Неймана (10) существует состояние равновесия.

Условия в-г говорят о наличии в каждом столбце матрицы A и каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительного элемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессов нет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктов действительно производится. Условие д имеет чисто техническое предназначение.

Число

называется  максимальным темпом сбалансированного  роста, а число 

называется  минимальной нормой процента.

Оказывается, что в состоянии равновесия числа  и существуют и равны между собой:

,                                                                       (16)

если  только начальные точки y0 и p0 также  удовлетворяют этому равенству.

Траектория  производства , удовлетворяющая условиям (15) при и и соответствующая максимальному сбалансированному росту, т.е. , называется траекторией равновесного роста (или траекторией Неймана, или магистралью). Поскольку эту траекторию можно представить в виде , где , то ее еще называют лучом Неймана а цены (14), соответствующие минимальной норме процента , называют неймановскими ценами .