Марківські моделі багатогалузевої економічної системи

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Курсова робота з дисципліни: «Дослідження операцій в економіці» на тему: «Марківські моделі багатогалузевої економічної системи»

Роботу  виконала

Студентка 2-гого курсу

Спеціальності Економічна кібернетика

2-га  група

Карпенко Лілія

Київ 2012

Зміст:

Вступ 3

1. Економічна система 7

2. Економічна система галузі. 9

3. Марківська взаємодія 10

4. Самоорганізованість системи 14

5. Зберігаючі моделі 17

6. Прибуткова модель 19

7. Марківський тип резольвенти 22

8. Оптимізація виробництва. 25

Висновок 29

Список літератури 30

 

Вступ

В результаті існуючих взаємовідносин на ринку товарів  і послуг відомо, що споживачі хочуть купувати товари та послуги, які максимально будуть задовольняти їхні потреби з мінімальними для цього витратами, а продавці прагнуть реалізувати свої товари та послуги за максимальною ціною і збільшити дохід свого підприємства. Саме ключова фраза збільшити або максимізувати свій дохід, тобто оптимально виробляти продукцію на ринку є головним завданням предмету «Дослідження операцій в економіці». За допомогою різних методів та моделей економісти вже на протязі довгого часу намагаються прослідкувати та виявити закономірність економічного розвитку підприємств(фірм) та допомагають реалізувати їм весь свій потенціал та можливості.

Вирішення оптимізаційних задач та формування оптимального плану  виробництва є дуже важливими  складовими успішного бізнесу, оскільки кінцева мета його є реалізація товарів  та і максимізація доходу, з мінімальними витратами та оптимальним використанням ресурсів.

Оскільки  дисципліна дослідження операцій займається розробкою та практичним застосуванням  методів найбільш ефективного управління різними організаційними системами  то умова статичної стійкості(тобто ймовірності) дозволяє використати в процесі ухвалення рішень ефективні математичні методи теорії випадкових процесів і, зокрема, одного з її розділів - теорії Марківських процесів.[1]

Завдяки порівняльній простоті і наочності математичного  апарату, високої достовірності  і точності отримуваних рішень марківські процеси привернули мою увагу  і оскільки особливого значення процеси  придбали у фахівців, що займаються дослідженням операцій і теорією  прийняття оптимальних рішень я  вирішила взяти цю тему як основу моєї курсової роботи.

Марківські  випадкові процеси названі по імені видатного російського  математика А.А.Маркова(1856-1922), що уперше почав вивчення імовірнісного зв'язку випадкових величин і створив  теорію, яку можна назвати "динамікою  вірогідності". Надалі основи цієї теорії стали початковою базою загальної  теорії випадкових процесів, а також  таких важливих прикладних наук, як теорія дифузійних процесів, теорія надійності, теорія масового обслуговування і так далі. Нині теорія марківських процесів і її застосування широко застосовуються в найрізноманітніших областях.

В моїй роботі буде розглянута модель міжгалузевих зв’язків економічної системи. Нехай економіка її визначається виробництвом в регіонах, природа яких циклічна. Частина кінцевого продукту кожним регіоном виводиться до інших, а частина споживається ним на місці. Всі регіони взаємопов’язані та функціонування кожного з них можливе лише при забезпеченні необхідних поставок засобів виробництва з інших регіонів.

Ця робота починається з векторів, матриць  та резольвент.

Вектори виникають  при співставленні кожному регіону  системи величини валового продукту. Побудуємо n-вектор х, кожна компонента якого є часткою від валового продукту системи. Тоді компоненти вектора х невід’ємні і сума їх дорівнює одиниці.

Розглянемо  деяку галузь системи, для якої відома лише частка валового продукту і-того регіону . Тоді частка галузевого продукту в і-тому регіоні відносно всієї галузі становитиме , а - частка галузевого продукту в системі.

Порівнюючи  останню величину з виразом для  повної імовірності (галузь в регіоні буде новою гіпотезою), аналогом формул Байєса, де

дадуть нам  частку галузевого продукту в і - тому регіоні відносно галузі системи.

Матриці, розглянуті в роботі, дають алгебраїчну картину  взаємодії регіонів економічної  системи, співставляючи обміну продукту-сировини між регіонами матрицю марківського типу n x n. Властивості таких взаємодій часто можна ефективно виявити за властивостями матриці А.

Також в роботі буде розглядатися питання, про те, чи визначає матриця А(m) взаємодію регіонів за m ітерацій. Скажу поки, що в загалом так, але повинна стояти умова однорідності процесу, оскільки в такому випадку кожна ітерація буде описуватися тією ж матрицею А , і матриці степені m також буде залишатись матрицею марківського типу, тобто елементи матриці мають бути додатні їхня сума в кожному стовпці має дорівнювати 1.

Зупиню свою увагу в роботі також на початку  чергового циклу виробничого  процесу системи. Він виражається  вектором х, який внаслідок роботи системи  переходить в вектори  . Завдяки позитивності елементів матриці А послідовність при збігається до власного вектора , що забезпечує стабільність виробничого процесу і доцільність вибору стартового вектора в якості власного вектора матриці А.

Таку розглянуту систему називають самодостатньою, але, на жаль, вона не вказує на наявність  прибутку у вигляді додаткової вартості. На щастя, позитивний слід матриці А усуває даний недолік, бо він заміщається еквівалентом «робочої сили», хоч А і містить ефект вічного двигуна системи.

Власні вектори  матриці А не будуть мати економічного змісту. Якщо серед їхніх компонентів  є негативні, то вони не будуть вважатися власними. Це означає, що ми розглядаємо матрицю А, як оператор в конусі додатних векторів і в ньому оператор А буде додатнім. В такому сенсі марківська матриця А має лише один єдиний власний вектор з власним значення . Адже тільки тоді . Звісно, маючи певну числову послідовність нам достовірно було б дізнатись, чи має вона границю. Можна сказати, що так, якщо всі елементи такої послідовності будуть строго додатні. Отже, матриця А в степені при буде мати границею вектор при тому що всі елементи і - того рядка матриці будуть мати спільну границю .

Але знову  ж таки, на жаль, величина може бути недостатньою для окупності робочої сили: нею не можна регулювати в однорідному режимі. Прибуткові моделі виправляють ситуацію: податок заміщається сировинними дотаціями . Виробничий процес ускладнюється дією , яка в результаті повинна привести до «близького до х» вектора

Резольвенти відіграють вирішальну роль при вивченні прибуткових моделей. Виявляється, що вони пропорційні до Марківських матриць з коефіцієнтом пропорційності і обчислюється сумою матричної геометричної прогресії. Тепер залежить від дотацій і виражається формулою , а власний вектор підказує бажану структуру дотацій .

Дотації , їх бажану структуру можна описати  лише наближено у вигляді нерівностей  , де - це матриця розміру , а - це вектор стовпчик розміру . Ці нерівності нагадують нам систему обмежень для задач лінійного програмування. Але тут ми можемо оцінювати лише вартість виробництва

,де  -  n вектор – рядок.

Тепер ситуацію виправляє резольвента , допомогою якої ми можемо ціновий вектор замінити новим. і тоді функція вартості набуває вигляду і задача буде зводитись до однієї з двоїстих, а саме:

Оскільки мета моєї роботи полягає у економічному застосуванні теорії марківських процесів для розроблення оптимальних рішень. то перед тим як вдатися до детального викладення практичної частини моєї роботи потрібно краще зрозуміти саму суть явища та охарактеризувати основні завдання процесів. Саме тому я хочу посвятити курсову роботу теоретичним основам процесів і привести практичне застосування цих явищ в економіці, та утвердити ефективність використання саме таких методів рішення оптимізаційних задач.

 

1. Економічна  система

Я пропоную розглянути багатогалузеву економічну систему яка складається з n регіонів. Основною характеристикою економічної системи є валовий продукт Q, який вона виробляє. Якщо він є однорідний, то його можна вимірювати в одиницях ваги, вартості, або просто кількістю. Такі одиниці виміру називають масштабними. Різні масштабні одиниці приводять до різних значень величини валового продукту Q. Універсальною вважається вартісна оцінка продукту, в якій масштабна оцінка буде грошова. Після вибору масштабної одиниці, говорять, що продукт Q уніфіковано вибором певної масштабної одиниці виміру і така процедура дає можливість вважати продукт Q однорідним.

Сама назва економічна система означає, що її структура  складна. Ми вважаємо, що вона містить певні складові системи. Їх кількість буде визначатись цілим числом n регіонів, як я вже вказала вище.

Поділ системи на регіони  приводить до необхідності введення поняття валового продукту для кожного j-того регіону, при . Звісно звідси слідує, що ми можемо охарактеризувати систему, для якої буде виконуватись співвідношення:

       (1)

Характеристики (1) не можна  називати числовими, бо в них присутня певна масштабна одиниця, тому зручніше користуватися такими безрозмірними  величинами, як . Тобто можемо виразити виробництво галуззю кожного продукту через його частку в загальному виробництві, а саме:

        (2)

де  - частка виробництва j - тої галузі у процесі утворення загального валового продукту Q.

Таку процедуру можна  назвати «винесенням за дужки» основної розмірної характеристики Q, внаслідок чого система характеризується вектором

і величиною Q для яких справедливі співвідношення :

    ₍₃₎

Вектор х ще називають розподілом валового продукту Q між регіонами пропорціональне до компоненти вектора х., про що говорять співвідношення показані вище. Це означає, що j- тий регіон містить частину валового продукту Q тому ще називають валовим множником продукту Q.

В j-тому регіоні продукт буде мати ціну Таким чином маємо вектор

     ₍₄₎

_{компонентами якого є ринкова ціна одиниці продукту в j-тому регіоні. Це означає що ринкова ціна товару}

В дужках ми маємо величини, що мають розмірність ціни з j значенням між величинами , тобто

_{Добуток с*х називають скалярним і його співмножники с і х вважаються відповідним рядком і стовпчиком. Якщо всі}

, то

 буде середнім арифметичним  чисел  . В загальному випадку, коли задовольняють умови (3), то ми матимемо вектор , що теж міститься середнім значенням с з вагою х. Тут використана механічна термінологія, де в якості середнього значення фігурує центр ваги.

2. Економічна  система галузі.

Розподіл економічної  системи на регіональні складові не вичерпує її розмаїття. Не менш важливими є галузеві характеристики системи. Вони присутні в кожному регіоні , де, вже не на місцевому рівні проводиться облік галузевих характеристик регіонального продукту. Тут першорядною є характеристика число , яке означає частку галузевого продукту в регіоні відносно валового продукту всієї системи. Отже величина

     (5)

є часткою галузевого продукту в системі. Ми тут, як і в 1 параграфі, знову маємо справу з додатнім вектором

    (6)

який є аналогом цінового (4), скалярним добутком вектора-рядка  на вектор стовпчик х і середнім з всього значенням з чисел .

Отже, як сказано вище, маємо  загальний вал Q . Зазначимо частинку , кількість виготовленого галузевого продукту в кожному j-тому регіони з яких складається наша цілісна система, і загальний валовий продукт.

Позначаємо 

      (7)

як частку галузевого продукту, в j - тій галузі j - того регіону.

Дуже важливим є ймовірнісний аналог формули (5). Для цього числа вважатимемо розподілом ймовірностей повної системи подій ( регіонів ) і тоді для виконуються умови (3). Що до чисел , то вони відіграють роль умовних ймовірностей і події В (галузь) при умові, що вона справджується в регіоні . Тоді

  (8)

Отже середнє  , вагою х є повною ймовірністю (гіпотези В-галузі), а формули Байєса, або, як інколи кажуть, формули ймовірностей гіпотез

набирають вигляду

і виражають розподіл валового продукту галузі за регіонами.

Таким чином показники  для галузі в регіонах дають можливість перерахувати розподіл х валового продукту системи в розподіл валового продукту для конкретної галузі системи.

3. Марківська  взаємодія

Зафіксуємо  результат виробничого циклу  у вигляді розподілу виробленого  продукту Q в пропорціях у вигляді безрозмірних компонент n - вектора х. Отже вектор х буде задовольняти умови (3) і ми його вважаємо стартовою позицією системи.

Під плануванням  виробництва ми маємо на увазі  перерозподіл продукту , яку виробляє кожна j-тий регіон. А тепер уявімо собі, що кожний регіон, який функціонує з іншими регіонами і виготовляючи свій продукт частину виготовленого продукту віддає іншим регіонам, а частину залишає собі, для подальшого виробництва або споживання. Частини, які кожна галузь віддає і ті, які залишає собі у вигляді матриці A:

      ₍₈₎

де елементи типу це частинки продукту , які виготовляє j-та галузь, і передає і-тій галузі, а частинки продукту це частини продукту, які галузь використовує в своїх власних цілях.

Для матриці  А вектори

        ₍₉₎

є стовпцями  матриці А.

Яким буде перерозподілений вектор х? Позначимо його як вектор і, наприклад, його перша компонента становить частку від тобто частку , частку від компоненти - і т.д. і їхня сума є добутком першого рядка матриці А на вектор стовпчик :

     (10)

Щоб отримати значення j - тої компоненти вектора досить замінити 1 на j в останній формулі, звідки остаточно приходимо до формули

х(1) = А*х       (11)

Зважаючи  тепер х(1) сировинною з якої регіони виробляють продукт, собівартість його співпадає з х(1). Це означає, що процес виробництва за один цикл зводиться до дії на стартовий продукт х матриці. А. Тепер х(1) є продуктом і ми можемо його вважати новою стартовою позицією. Якщо нове планування не змінюється і описується дією матриці А, то такий процес ми назвемо однорідним. Ми, таким чином, вважаємо, що виробничий процес є:

1. Зберігаючий ( собівартісний )
2. Однорідний (матриця А однакова у всіх циклах)

Однорідність процесу  означає, що на другому циклі діє  теж матриця А і тоді

   (12)

Ітерації приведених міркувань  приводить нас до формули 

      (13)

Ми отримали векторну послідовність , поведінка якої повністю визначається поведінкою матричної послідовності . Більша складність останньої формули компенсується її незалежністю від стартової позиції х і тут постають такі питання:

Чи будуть компоненти вектора  задовольняти умови (3) і, яка поведінка послідовності і матричних ітерацій при .

Позитивна відповідь на ці питання гарантується важливою властивістю  матриці А, а саме, сума елементів  кожного стовпця матриці = 1.

      ₍₁₄₎

Отже маємо, кожна j-та галузь передає частину виготовленого продукту i-тій галузі, тобто фактично кожна j-та галузь передає частину свого продукту i-тій галузі виробництва.

Ця властивість  очевидна, вона випливає з визначення чисел  . Такими матрицями описується повна ймовірнісна картина можливих змін при переході від одного випробування до іншого(наступного) тобто ми маємо схему, що має назву ланцюгів Маркова і її називають матрицею переходу.

Якщо взяти  для прикладу матрицю розміру 2 х 2, вигляду:

       (15)

вказує, що матриця А є матрицею типу Маркова, оскільки:

і, отже після  двох циклів все починається спочатку. Такі моделі називають циклічними і  тут послідовність  не має границі. Те, що задовольняють умови (3) справджується в загальному випадку, адже

   (16)

а циклічність  моделі

Завдячується  дещо спеціальним властивостям матриці А і для матриць зі строго додатними елементами циклічність відсутня, тому заміна матриці «близькою» з позитивними елементами виводить її з групи циклічних і для них згідно результатів А.А.Маркова [ст.. 116]

 

4. Самоорганізованість системи

Змістовність планування, що описується матрицею марківського типу, залежить від поведінки векторної послідовності . З формул (15) випливає, що при всіх вектор задовольняє умови (3).

Розгорнутий запис формули (12) у вигляді (11):

   (17)

вказує, що компонентами вектора  слугують середні арифметичні рядків матриці А з вагою , тобто

     (18)

і ці нерівності строгі якщо елементи рядка різні. Рівність можлива  лише, коли елементи рядка всі однакові. Отже, компоненти вектора  розміщені поміж значеннями елементів відповідного рядка матриці і залежність їх від х меншає при більшій скупченості елементів рядка матриці .

Виявляється, що при  величина згасає до 0. Це одне з найголовніших результатів стосовно матриць типу Маркова. При елементи рядків матриці збігаються до спільної границі. Інакше кажучи, стовпчики матриці мають спільну границю, якою є вектор .

Цей результат вперше отримав творець теорії ланцюгових залежностей А.А.Марков. Це перше строго введення результат так званих ергодичних теорем [1, ст. 116]

Для і-того рядка матриці позначимо

   (19)

Це означає, що всі елементи і-того рядка матриці  належать відрізку довжиною .

Щоб оцінити границі відрізка , виділимо в формулі

     (20)

доданок з найменшим  а решту замінимо величиною , що дорівнює максимальному значенні функції.

Від цього сума зросте до величини

   (21)

Щоб оцінити знизу величину ми в (20) виділимо доданок з максимальними значенням , а решту замінимо мінімальними. Від цього сума зменшиться і ми матимемо

а решту  замінимо мінімальними. Від цього сума зменшиться і ми матимемо

   (22)

Тут інше від попереднього. Воно є значенням , що помножене на максимальне в сумі (20), але оцінка його мінімальним

     (23)

вказує, що границі інтервалу, де розміщається елементи і-того рядка матриці звужуються на величину

    (24)

Починаючи з відрізка на якому розміщені елементи рядка матриці А, ми матимемо

   (25)

і по скільки

     (26)

то ми маємо строге обґрунтування  стабілізації матриці  до матриці з однаковими стовпчиками , компоненти якого задовольняють умову (3).

Якщо наявність нульових значень  тільки підсилюють оцінки (такі доданки випадають з суми), то нульові значення не дають можливості оцінити (принаймні знизу) . Приклад (15) вказує, що не має границі, адже тут

Матриця з однаковими стовпчиками  вироджена, ранг матриці є 1 і, отже, область значень співпадає з для довільних х, що задовольняють умові (3).

 

5. Зберігаючі  моделі

Вектор  , до якого збігаються стовпці матричної послідовності _{є власним вектором матриця . В цьому неважко переконатися якщо представити у вигляді:}

      ₍₂₇₎

При права частина прямує до , а ліва частина до . Отже, власному вектору відповідає власне число . Інших власних чисел в матриці А немає, бо тоді ми мали б таке співвідношення:

Звідки випливає, що , .

Повернемось до питань змістовності економічної  моделі. При довільному стартовому розподілі х за один крок ми матимемо:

Де  задовольняють умови (3), тобто зберігають величину валового продукту. Крім того, ми вияснили , що

     ₍₂₈₎

Тобто валовий  продукт  не тільки зберігається, але й стабілізується до власного. Побудова вектора підказує , що це єдиний власний вектор важливою є умова, що при деякому всі елементи матриці _{строго додатні.}

В розглянутій  замкнутій економічній моделі відсутній  ефект так званого «вічного двигуна», в якому присутні споживання безкоштовних ресурсів, отже, без цього модель втрачає свій економічний зміст. На щастя частки товару з однаковими індексами усуває цей недолік залишаючись на підприємстві в якості додаткового продукту, ми перетворюємо його на «робочу силу» . В наступному циклі «робоча сила» і буде тим рушієм, що переводить сировину в товар. Розподіл робочої сили як товару є фіктивним процесом і реалізовується в якості націнки на реальний товар.

Зі здійсненням  циклу в замкнутій системі  можна провести аналогію зі схемою однорідних ланцюгів маркова в теорії ймовірностей. В них умовна ймовірність  появи події  в деякому к-тому випробуванні за умови, що в - шому випробуванні здійснилась подія не залежить від . Ця ймовірність називається ймовірністю переходу і становить , для деяких виконуються умови (1).

Повна ймовірнісна  картина можливих змін здійснюється при переході від одного випробування до наступного , безпосередньо задається  матрицею А.

Отже, я дала відповідь про зв’язок економічних процесів з марківськими процесами та їх використання в економічних розрахунках наведених вище систем та систем які будуть проілюстровані далі. В попередніх параграфах ми позначили - як загальний валовий продукт економічних галузей. Вектор є вектор стовпець частки загального продукту , при чому обов’язково потрібно зазначити, що

     ₍₂₉₎

де  - це продукт j-тої галузі.

Частки продукту в, які відображають частку продукту що кожна j-та галузь передає i-тій галузі складаються в матрицю типу Маркова, оскільки , і всі > 0. Отже, маючи матрицю типу маркова, ми застосувати деякі властивості ергодичної теореми маркова.

 

6. Прибуткова  модель

Зрозуміло, що самодостатня модель в економіці  використовується тільки в домогосподарствах, для власного споживання, а оскільки кожний продукт виробництва, приносячи  якийсь прибуток має бути обкладений податком, або забирається директором виробництва, я хочу представити  іншу модель виробництва, де ми забираємо  частку прибутку, і не використовуємо її для подальшого виробничого циклу.

Вище ми прийшли  до висновку, що в зберігаючих моделях «прихований» прибуток породжують діагональні елементи матриці А. Така система як я вже вказувала нагадує нам натуральне господарство з примітивною системою оподаткування у вигляді єдиного податку , який часто застосовується до учасників малого бізнесу.

Такий спосіб рекомендовано застосовувати в  таких випадках, коли з певних причин не бажано змінювати структуру планування валового продукту. Проте виробництво  продукту потребує низки категорій сировини, певного устаткування, робочої сили різноманітної кваліфікації, енергії, палива, транспорту і т.д. Непередбачуваність деяких факторів приводить до необхідності доповнення додаткової сировини, яку визначаємо планом у вигляді вектора:

     ₍₃₀₎

Компоненти  якого і виражають величину дотації  для окремого регіону.

Нехай на початку  стартового циклу ресурс х обкладається пропорційним податком, при чому пропорційний податок ми позначимо як , тобто частка податку буде становити

  .      (31)

 Отже, тепер  ми маємо частку продукту, яка залишилась для виробництва і становить

, де  .     (32)

Після податку  знову відбувається плановий перерозподіл вигляду  , до якого додається певна нова сировина або дотації. Які ми вже позначили через .Отже в результаті маємо новий продукт виробництва і виробничий цикл буде ускладнюватись на відміну від зберігаючи моделей і набирає вигляду

, де  .     (33)

Згідно позначень  для попередньою моделі ми матимемо векторну послідовність 

Тут знову  виникає  послідовність  , яка на відміну від послідовності в зберігаючій моделі суттєво залежать від дотацій , які задаються наперед і не змінюються від циклу до іншого циклу.

Тут навіть якщо починати на стартовій позицій з розподілу  , то вже на першому кроці маємо . Якщо почати з великого Х, то з нього зніметься великий (пропорційний ) податок і дотації не виправлять становища, якщо , тобто Х на наступному кроці буде зменшуватися. Отже, всі підстави вважати системи (10) як і в випадку зберігаючої моделі саморегульована(синергетична) .  Формально, в цьому можна _{переконатися, якщо врахувати (39) і записати}

     ₍₃₄₎

Якщо ж  ми будемо перетворювати рівняння , постійно розкриваючи дужки ми матимемо:

,

Знову таки формально виносячи за дужки і при , ми знайдемо, що

Отже, ми знаємо, що матриця  є матрицею марківського типу, згасає до 0:

Матричний ряд:

.      (35)

де матриця - це резольвента матриці А, її позначають буквою або , якщо є необхідність відмітити залежність від . Отже формальні міркування привели нас до висновку, що якщо прибуткова система саморегулюється, то вектор стабілізується до розв’язку Х векторного рівняння:

_Тобто

завжди буде мати єдиний розв’язок, який визначається формулою , при насамперед заданому векторі дотацій .

 

7. Марківський тип резольвенти

Для кожного члена матричного ряду резольвенти  справедливі оцінки

     ₍₃₆₎

_{Тому  кожен член резольвенти} 

_{і мажорується сумою геометричних прогресій}

     ₍₃₇₎

Це означає, що матричний  ряд для  збігається до матриці елементам . Суми стовпців резольвенти легко підрахувати, якщо згадати, що всі є матрицями марківського типу (їх стовпці задовольняють умови (3)). Тоді сума стовпців кожного доданку для становитиме . Отже,