Математическое моделирование с помощью временных рядов

Федеральное агентство по образованию

Брянский  Государственный Технический Университет 
 
 

Курсовая  работа

на  тему:

  «Математическое  моделирование с  помощью временных  рядов». 
 
 
 

Подготовила:

Студентка 09-СЦ

Сопова  Дарья

Проверил:

Белоусов  А.Г. 
 
 
 
 

Брянск 2011 

Содержание:

Введение

Временные ряды и их компоненты

Основные показатели динамики для временного ряда годовых  данных

Проверка гипотезы о наличии тренда (критерий Фостера-Стюарта, критерии серий)

Анализ структуры  временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции

Сглаживание временного ряда квартальных данных с помощью  скользящих средних 

Методы прогнозирования  на основе временных рядов

Метод экспоненциального  сглаживания с учетом тренда

Заключение 

Введение

  Одна из важнейших задач статистики заключается в исследовании процесса изменения и развития, изучаемых социально-экономических явлений во времени, решаемая с помощью построения временных рядов.

  Временным рядом (динамическим рядом, английский термин «Time series») называется ряд расположенных в хронологической последовательности значений статистического показателя, характеризующего изменение социально-экономического явления во времени. В нем процесс экономического развития изображается в виде совокупности прерывов непре рывного, позволяющих детально проанализировать особенности развития при помощи харак теристик, отображающих изменение параметров экономической системы во времени. Фактор времени здесь приобретает решающее значение.

  Процесс изменения социально-экономических явлений во времени заключается в том, что происходит изменение воздействия на это развитие многих факторов социального, экономического, технологического и любого другого процесса, а фактор времени аккумулирует их влияние. Возьмем хотя бы экономические факторы. С течением времени они изменяются под влиянием внутренних причин экономического развития вообще, но с внешней стороны это развитие выглядит как развитие во времени. Всякий временной ряд включает два обязательных элемента: время (t) и конкретное значение показателя, или уровень ряда (yi).

  Анализ временных рядов дает возможность последить развитие явления, показать его основные пути, тенденции и темпы. Выбор соответствующих приемов и способов анализа зависит от задач исследования и определяется характером исходных данных.

  Поэтому, приступая к анализу временных рядов, важно правильно их классифицировать

(таблица  2.1).

Классификация временных рядов

  Выбор вида временного ряда определяется целями анализа.

  Временные ряды охватывают отдельные обособленные периоды времени, в течение которых могут происходить изменения, вызывающие несопоставимость уровня ряда. Это делает временные ряды непригодными для анализа (несопоставимость уровней). К несопоставимости приводит изменение состава изучаемой совокупности, переход к дру гим единицам измерения, изменение методологии учета и расчета показателей, инфляционные процессы и т. п. Несопоставимыми временные ряды являются и в том случае, когда они составлены из неодинаковых по продолжительности периодов времени. Это относится, прежде всего, к рядам внутригодовой динамики с квартальными и месячными уровнями.  
  Временные ряды и их компоненты

Совокупность  наблюдений величины , выполненных в течение некоторого промежутка времени, называют данными временного ряда или просто временным рядом. Чаще всего наблюдения регистрируются через постоянные промежутки времени. В общем случае временные ряды не представляют собой случайную выборку и требуют специальных методов для их исследования. Наблюдения во временных рядах, как правило, зависят друг от друга (автокоррелируют). Эта зависимость образует модель изменения или поведения данных, которую можно использовать для предсказания их будущих значений, а это, в свою очередь, может значительно помочь руководству в управлении деловыми операциями.

Декомпозиция

 Один из методов анализа данных временных рядов включает попытку определить составляющие факторы, которые влияют на каждое значение временного ряда. Подобная процедура идентификации называется декомпозицией. Каждая компонента идентифицируется отдельно. Затем вклады каждой компоненты комбинируются с целью получения прогнозов будущих значений временных рядов.

Рассмотрение  методов декомпозиции начинается с  четырех компонент временных  рядов – это трендовая, циклическая, сезонная и нерегулярная (или случайная) компоненты.

1.  Тренд.  Тренд – это компонента, представляющая  основной рост (или спад) во временном  ряду. Компонента тренда обозначается  буквой  .

2.  Цикличность.  Циклическая компонента – это  последовательность волнообразных флуктуации или циклы длительностью более одного года. Изменение экономических условий обычно происходит циклически. Циклическая компонента обозначается буквой .

3.  Сезонность. Сезонные изменения обычно присутствуют  в квартальных, месячных или  недельных данных. Под сезонными  вариациями понимаются изменения  с более или менее стабильной  структурой, имеющие годовую цикличность  и повторяющиеся из года в  год. Сезонная компонента обозначается  буквой . 

4.  Нерегулярность. Нерегулярная компонента включает  непредсказуемые или случайные  флуктуации. Нерегулярная компонента  обозначается буквой  .

Двумя простейшими моделями, связывающими наблюдаемую величину временного ряда ( ) с компонентами тренда ( ), сезонности ( ) и нерегулярности ( ), являются модель аддитивных компонент

                                               (1.1)

и модель мультипликативных компонент.

                                              (1.2)

Модель  аддитивных компонент применима  в тех случаях, когда анализируемый  временной ряд имеет приблизительно одинаковые изменения на протяжении всей длительности ряда. Иными словами, все значения ряда существенно убывают  в пределах полосы постоянной ширины, центрированной на уровне тренда.

Модель  мультипликативных компонент эффективнее  в тех ситуациях, когда изменение  временной последовательности увеличивается с ростом уровня.

Тренд

Тренд представляет собой долговременные изменения во временных рядах, которые  иногда можно описать с помощью  прямой линии или гладкой кривой. Если грубо представить тренд  в виде прямой линии, т.е. если рост или  спад похожи на прямую линию, то она  описывается следующим уравнением:

,                                                  (1.3)

где

 – это  расчетное значение тренда в  момент времени  .

Символ  используется для независимой переменной, представляющей время и обычно принимающей целочисленные значения 1,2,3,..., соответствующие последовательным периодам времени. Коэффициент наклона является средним ростом или спадом для любого возрастания во времени за один период.

Прогноз тренда

Пусть прогноз величины на шагов вперед делается в момент времени (конец последовательности), при этом для прогнозирования используется трендовая модель. Период времени, на который делается прогноз, – в данном случае это – называется началом предсказания. Значение именуется дальностью прогнозирования. Для модели линейного тренда можно сделать прогноз, вычисляя значения по уравнению . 

Основные  показатели динамики для временного ряда годовых данных

Если  в исходных данных нам представлен интервальный ряд с равноотстоящими уровнями во времени. Тогда для определения среднего уровня ряда можно воспользоваться следующей формулой:

,                                                   (1.4)

где

– длина временного ряда, то есть число уровней.

Для количественной оценки динамики явлений применяются  следующие основные аналитические показатели:

1)  абсолютный  прирост;

2)  темпы  роста;

3)  темпы  прироста.

Причем  каждый из перечисленных показателей может быть трех видов:

1)  цепной;

2)  базисный;

3)  средний.

Абсолютный  прирост характеризует изменение  показателя за определенный промежуток времени и находится по формуле:

,                                              (1.5)

где

,

.

Причем, если , то можно найти цепной абсолютный прирост:

.                                               (1.6)

Если  , то можно найти базисный абсолютный прирост относительно начального уровня:

.                                                 (1.7)

Средний абсолютный прирост – это обобщающая характеристика скорости изменения  исследуемого показателя во времени (скорость – это прирост в единицу времени):

,                                                 (1.8)

где

– цепной абсолютный прирост

Темп  роста характеризует отношение  двух сравниваемых уровней ряда и определяется по формуле:

.                                           (1.9)

Цепной  темп роста:

.                                           (1.10)

Базисный  темп роста относительно начального уровня:

.                                             (1.11)

Средний темп роста – обобщающая характеристика динамики, отражающая интенсивность  изменения уровней ряда. Эта величина показывает, сколько в среднем  процентов составляет последующий  уровень от предыдущего на всем периоде  наблюдения. Показатель находится по формуле:

.                                          (1.12)

Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Данный показатель показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. Для расчета этой величины необходимо воспользоваться следующей формулой:

.                                     (1.13)

Цепной  темп прироста:

.                                               (1.14)

Базисный  темп прироста относительно начального уровня:

.                                       (1.15)

Средний темп прироста:

.                                            (1.16) 

Проверка  гипотезы о наличии  тренда (критерий Фостера-Стюарта, критерии серий)

  Если присутствие тренда во временном ряду прослеживается нечетко, то прежде чем перейти к дальнейшему анализу, нужно выяснить, существует ли тенденция в исследуемом процессе. Основные подходы к решению этой проблемы основаны на проверке статистических гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда ( ).

  Существует множество критериев, которые отличаются мощностью и сложностью. К таким критериям можно отнести критерии серий и критерий Фостера-Стюарта. Критерии серий делятся на критерий серий, основанный на медиане выборки, и критерий «нисходящих» и «восходящих» серий.

Введем 2 гипотезы:

 – тренда  нет;

 – тренд  присутствует.

Критерий  Фостера-Стюарта

Проверка  гипотезы осуществляется в несколько этапов:

1)  Для  начала определяем вспомогательные  характеристики  и :

.

2)  Вычисляем  . Эта величина может принимать значения: –1,0,1.

3)  .

4) 

5)  Применяем критерий Стьюдента:

,                                                    (1.17)

где

 – среднее  квадратическое отклонение величины .

Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Критерии  серий:

1)  Критерий  «восходящих» и «нисходящих» серий.

Образуем  последовательность из «+» и «-» по следующему правилу [6, C.59]:

,

где

.

В случае если , учитывается лишь одно значение.

Далее необходимо подсчитать число серий  и протяженность самой длинной серии и проверить выполнение неравенств

Если  оба неравенства выполняются, то принимается гипотеза при уровне значимости .

2)  Критерий  серий, основанный на медиане выборки.

Строим  ранжированный ряд: , где – наименьшее значение из .

Определим медиану полученного вариационного ряда:

если  , то ,

если , то .

Следующий шаг – это образование последовательности из «+» и «-» по правилу: 

. 

Если  , то это значение пропускается. 

  Далее необходимо подсчитать число серий в совокупности , где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или минус тоже считается серией.

  При отсутствии системной составляющей протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а число серий слишком маленьким,

  Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки, то есть подтверждается наличие неслучайной составляющей, зависящей от . 

Анализ  структуры временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции

При наличии  тенденции и периодических колебаний  значений каждого последующего уровня ряда зависит от предыдущих.

Коэффициент автокорреляции находится по следующей формуле:

.     (1.18) 

Аналогично  находятся остальные коэффициенты: 

.    (1.19) 

Проверим  значимость коэффициента автокорреляции. Для этого введем две гипотезы:

:

:

 находится по таблице критических значений отдельно для >0 и <0. Причем, если | |>| |, то принимается гипотеза , то есть коэффициент значим. Если | |<| |, то принимается гипотеза   и коэффициент автокорреляции незначим. Если коэффициент автокорреляции достаточно велик, то проверять его значимость необязательно. 

Сглаживание временного ряда квартальных  данных с помощью скользящих средних

  Распространенным приемом при выявлении и анализе тенденции временного ряда является его сглаживание. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей мере подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

  Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания и выявить тенденцию в развитии процесса, поэтому они служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда. Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур аналитического подхода.

  Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала берется равной или кратной периоду колебаний.

  Если  - четное число, то первое и последнее наблюдения на активном участке берутся с половинными весами. Активный участок сглаживания – наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения.

Для четырехчленной скользящей средней используется следующая формула:

.(1.20)

Аналогично  находятся остальные сглаженные значения.

  Недостатком метода скользящей средней является потеря первых и последних уровней ряда. Причем потеря последних уровней ряда является существенным недостатком, так как свежие значения обладают наибольшей информационной ценностью.

  Одним из приемов восстановления пропущенных уровней является последовательное прибавление среднего абсолютного прироста на последнем активном участке к последнему сглаженному значению. Для восстановления используется формула: 

.                                           (1.21) 

Методы  прогнозирования  на основе временных  рядов

  Основным фактором, влияющим на выбор метода прогнозирования, является идентификация и четкое понимание реальных моделей, присутствующих в данных. Если в них удастся распознать тренд, циклическую или сезонную модель, это существенно облегчит поиск эффективного метода экстраполирования.

  Аппарат прогнозирования для стационарных данных

  Прогнозирование стационарного ряда в своей простейшей форме включает в себя использование его предыстории для оценки среднего значения, которое затем становится прогнозом на будущие периоды. Более сложная техника состоит в уточнении оценки с использованием вновь поступившей информации. Эти методы полезны, когда начальные оценки ненадежны или когда постоянство среднего значения под вопросом.

  Методы прогнозирования, которые могут применяться по отношению к стационарным рядам, включают в себя наивные методы, методы простого усреднения, скользящие средние, простое экспоненциальное сглаживание и методы авторегрессионого скользящего среднего (методы Бокса-Дженкинса).

  Аппарат прогнозирования для данных, имеющих тренд

  Ряд, обладающий трендом, ранее был определен как ряд, содержащий долгосрочную компоненту, которая отражает постоянное возрастание или убывание значений ряда в течение продолжительного периода времени. Наличие тренда типично для временных рядов экономических показателей.

  Аппарат прогнозирования, который должен использоваться для прогнозирования рядов, имеющих тренд, – это метод скользящих средних, метод линейного экспоненциального сглаживания Хольта, простая регрессия, возрастающие кривые, экспоненциальные модели и методы авторегрессионых интегрированных скользящих средних (методы Бокса-Дженкинса).

Измерение ошибки прогноза

  Основные обозначения, используемые в прогнозировании:

 – значение  временного ряда в момент .

 – прогноз  значения  .

– погрешность или ошибка прогноза.

  Разработано несколько методов оценки ошибок, присущих отдельным методам прогнозирования. Большинство этих методов состоит в усреднении некоторых функций от разностей между действительным значением и его прогнозом.

  Ошибкой прогноза является разность между действительным значением и его прогнозом.

  В одном из способов оценки метода прогнозирования используется суммирование абсолютных ошибок. Среднее абсолютное отклонение (Mean Absolute Derivation, MAD) измеряет точность прогноза, усредняя величины ошибок прогноза (абсолютные значения каждой ошибки).