Самарский государственный технический университет 

Факультет автоматики и информационных технологий 

Кафедра информационно-измерительная техника 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа 

по курсу  Методы обработки измерительной информации 
 
 
 
 

                                                                         

Руководитель  работы                                                                             Купер В.Я. 

Студент                 Рубцов А.М.                                                                                                 

Группа                                                                                                 5        

Срок выполнения 

Работа защищена с оценкой 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

г. Самара 2009

 

СОДЕРЖАНИЕ 
 

1 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ  ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ...……..3

 1.1 Вычисление  точечной оценки измеряемой величины……………………………3

 1.2 Вычисление  точечных оценок дисперсии и  среднеквадратичного отклонения...3

 1.3 Проверка  на содержание грубых ошибок………………………………………….4

1.4 Вычисление  интервальной оценки измеряемой величины при доверительной вероятности р=0,95……………………………………………………………………...4

1.5 Вычисление  интервальных оценок дисперсии  и среднеквадратического отклонения  при доверительной вероятности  0,95…………………………………….5

2 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ  КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ…….…………………..6

2.1 Вычисление  точечной оценки величины z………………………………………...6

2.2 Вычисление  оценки среднеквадратического отклонения  величины z…………..6

2.3 Вычисление  предельно допускаемой погрешности  определения величины z….7

3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ……………………...8

3.1 Нахождение  оценок параметров линейной зависимости  â₀ и â1 и вычисление оценок дисперсии и среднеквадратического отклонения………………………….....8

4 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ...…………………………………………………………………...10

4.1 Проверка  гипотезы о равенстве дисперсий………………………………………10

4.2 Проверка  гипотезы о равенстве математических  ожиданий……………………11

 

1 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ  ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ  ИЗМЕРЕНИЙ

 

     Даны  результаты прямых равноточных измерений (см. табл. 1). Полагая, что систематическая погрешность распределена нормально, а погрешности отдельных измерений независимы, выполнить следующие задания:

     1) вычислить точечную оценку измеряемой  величины;

     2) вычислить точечные оценки дисперсии  и среднеквадратического отклонения;

     3) проверить содержит ли данная выборка грубые ошибки. Если да, то исключить соответствующие результаты;

     4) вычислить интервальную оценку  измеряемой величины при доверительной  вероятности 0,95;

     5) вычислить интервальные оценки  дисперсии и среднеквадратического  отклонения при доверительной вероятности 0,95.

Таблица 1

Результаты  прямых равноточных  измерений 

1.1 Вычисление точечной  оценки измеряемой  величины

 

     Вычислим  точечную оценку измеряемой величины 

                                  (1.1)

1.2 Вычисление точечных оценок дисперсии и среднеквадратического отклонения

 

     Вычислим точечную оценку дисперсии:  

                          (1.2) 

     Вычислим  точечную оценку среднеквадратического  отклонения, используя следующую формулу: 

                          (1.3) 

                      (1.4) 

где поправочный коэффициент М зависит от объема выборки и для n=20 равен 1,013.

 

1.3 Проверка на содержание  грубых ошибок

 

       Для исключения грубых ошибок  воспользуемся формулой: 

                                               (1.5) 

       Найдем в выборке минимальное и максимальное значения:  

     x_min = 496,2;

     x_max = 503,2. 

       Подставляя эти значения в формулу, получаем: 

     

     

 

     В результате можем сделать вывод  о том, что аномальные значения (промахи) в выборке отсутствуют.

1.4 Вычисление интервальной  оценки измеряемой  величины при доверительной  вероятности р=0,95

 

     Оценка  производится по следующим зависимостям: 

                                                            (1.6)

                                                   (1.7) 

     Формулы для нашего случая с учетом расчетов 

                                                         (1.8) 

получили t – распределение с n степенями свободы.

     Для n=20 и уровнем значимости α=0,05 по табличным данным находим коэффициент Стьюдента: t_α = 2,093. Подставляя все данные в формулу, получаем: 

                                         

      

     После округления получим: 

     

1.5 Вычисление интервальных  оценок дисперсии  и среднеквадратического               отклонения при доверительной вероятности 0,95

 

     Оценка  производится по следующим зависимостям: 

                                                   (1.9) 

     Используем χ²-распределение с (n-1) степенью свободы (в нашем случае 19). По таблицам распределения χ² находим значения   и . Для уровень значимости α=0,025; для - α=0,975, так как α₁=(1-Р)/2, а α₂=1-(1-Р)/2

     

     

     Подставляя  все известные нам значения в  формулу, получаем: 

     

     

 

     Находим оценку среднеквадратического отклонения: 

     

     

 

     После округления получим: 

     

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

2 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ  КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

 

     Искомая величина z связана с измеряемыми величинами a₁, a₂, a₃ известной функциональной зависимостью. Даны их экспериментально полученные оценки â₁, â₂, â₃, оценки   , , среднеквадратических отклонений и предельно допускаемые абсолютные погрешности ∆а₁, ∆а₂, ∆а₃ измерения этих величин.

     Необходимо  вычислить:

1) точечную  оценку величины z;

2) оценку  среднеквадратического отклонения  величины z;

3) предельно  допускаемую погрешность определения  величины z.

     Дана  функциональная зависимость: 

 

где с₁ = 6, ;

     Также даны оценки среднеквадратических отклонений ; и предельно допускаемые абсолютные погрешности ; .

2.1 Вычисление точечной  оценки величины z

 

     Точечная  оценка вычисляется по следующей  формуле: 

2.2 Вычисление оценки  среднеквадратического  отклонения величины z

     Вычисление  производится по следующей формуле:

 

                        (2.1) 

     В данном случае: 

                              (2.2) 

     Найдем  частные производные по параметрам а и подставим все известные значения, получим: 

 

     Округлив вычисленное значение, получим: 

2.3 Вычисление предельно допускаемой погрешности определения величины z

 

     Предельно допускаемые погрешности находятся  следующим образом: 

                                             (2.3)

                                              (2.4)

     В данном случае:  

; 

     Округлив  это значение, получим: 

 

     В результате получим: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

      3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ  СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

 

     Даны  результаты совместных измерений величин x и y (см. табл. 2). Полагая, что наиболее существенной является случайная погрешность измерения величины y, необходимо произвести следующие расчеты:

     1) найти оценки параметров линейной  зависимости y = a₀+a₁x;

     2) вычислить оценки дисперсии и  среднеквадратического отклонения  погрешности измерения величины y;

     3) вычислить оценки дисперсий и  среднеквадратических отклонений параметров a₀ и a₁;

     4) исходные экспериментальные данные  и полученную линейную зависимость  изобразить на графике.

Таблица 2

Результаты  совместных измерений

3.1 Нахождение оценок  параметров линейной  зависимости â₀ и â₁ и вычисление оценок дисперсии и среднеквадратического отклонения

 

     Вычисляем оценки параметров линейной зависимости  â₀ и â₁. Для этого используем функцию «ЛИНЕЙН» в табличном редакторе Microsoft Office Excel. 
 

 

     По  расчетам число степеней свободы  равно 9. 

     Имея  значения â₀ и â₁ , можно составить уравнение линейной зависимости y(x):

y(x) = â₀ + â₁∙x , или подставив â₀ и â₁ , получим: 

 

     Округлив  значения и , получим:  

 

     Окончательно  уравнение линейной зависимости  будет иметь вид: 

 

     На  следующем графике представлены результаты эксперимента и результат их обработки.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

 

     Даны  выборки случайных величин A и B (табл.3). Полагая, что величины имеют нормальный закон распределения, проверить гипотезы о равенстве их дисперсий и математических ожиданий.

     Таблица 3

     Выборки случайных величин для проверки гипотез 

 
 

     Предполагается, что величины имеют нормальный закон распределения, то есть (A, B) N(m, σ²), m=1, σ² = 0.

4.1 Проверка гипотезы  о равенстве дисперсий

 

     Нам необходимо проверить гипотезу о  равенстве дисперсий двух величин, то есть .

гипотеза H₀:

гипотеза H₁:

     Для этого находим оценки средних  значений величин A и B:

                                       (4.1) 

                                      (4.2) 

     Находим оценки дисперсий величин A и B: 

                                     (4.3)

                                         (4.4) 

     Так как , то находим отношение 

                                        (4.5) 

     Далее находим критическое значение F_кр по таблицам F-распределения с уровнем значимости (критерий односторонний) и степенями свободы 10 и 14: 

 

При помощи функции Excel FРАСПОБР найдем F критическое: 

 

      Сравниваем F и F_кр:  1,019<2,602, то есть F < F_кр, значит, гипотеза о равенстве дисперсий не противоречит экспериментальным данным.

4.2 Проверка гипотезы  о равенстве математических  ожиданий

 

     Нам необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий, т.е. .

Гипотеза  Н₀: ;

Гипотеза  Н₁: .

     Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий величин A и B воспользуемся  предыдущими расчетами и таблицами t-распределения.

     Так как значение дисперсии двух вместе взятых величин нам неизвестна, а дисперсии отдельно взятых величин A и B рассчитаны выше, то находим значение оценки дисперсии с учетом весов: 

       (4.6) 

     Для нахождения t воспользуемся формулой: 

                 (4.7) 

     По  таблицам находим t_кр: 

α=0,05;

 

     Сравниваем t и t_кр: 0,204 < 2,0639, то есть t < t_кр. Значит, гипотеза о равенстве математических ожиданий не противоречит экспериментальным данным. 

Выводы:

 

а) гипотеза о  равенстве дисперсий не противоречит экспериментальным данным;

б) гипотеза о  равенстве математических ожиданий не противоречит экспериментальным данным.