Метот Рунге кутта

 

 

                         Московский авиационный институт

               (Национальный исследовательский университет)                   

 

                                                     МАИ

 

 

 

 

 

 

 

 

                                          Курсовая работа

 

     по дисциплине: “Компьютерные технологии в приборостроении”

 

                                             Вариант № 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

                  Выполнил студент группы  С-402:    Гунин С.Г.

 

 

                  Проверил преподаватель:                   Виноградов П.В.

 

 

 

 

 

 

 

                                           Жуковский,  2013 г.

 

 

 

 

 

                                                Содержание

 

 

 

 

1. Постановка задачи курсовой работы

 

2. Введение

 

3. Теоретическая часть

 

1. .  Постановка задачи

 

     3.2.  Метод Эйлера

 

     3.3.  Общая формулировка  методов Рунге-Кутты

 

     3.4.  Обсуждение методов 4-го порядка

 

     4.    Практическая  часть

 

     5.    Заключение

 

     6.    Список использованных  источников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       -  1  -

 

 

 

 

 

 

   1.   Постановка задачи курсовой работы

 

 

 

Разработать программу, реализующую численное интегрирование по методу Рунге-Кутты 4-го порядка точности дифференциального уравнения

n-го порядка. Провести сравнительный анализ точности этого алгоритма и

точного аналитического решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      -  2  -

 

 

 

 

 

 

                                             2.   Введение

 

 

Анализ многих технических, физических, химических, а также био-логических задач требует решения задачи Коши для дифференциальных уравнений. Эта задача решается различными способами, как аналити-ческими, так и численными. В последнем случае применение ЭВМ позволяет решить задачу в сжатые сроки. Численные методы используются также в сложных дифференциальных задачах, для которых найти аналитическое решение не представляется возможным.

В курсовой работе рассматривается простой метод ломаных Эйлера, а также широко распространенный метод  Рунге-Кутты  4-го порядка точности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      -  3  -

 

                             3.   Теоретическая часть

 

                                  3.1.   Постановка задачи

 

 

Дано дифференциальное уравнение и начальное условие, т.е. постав-лена задача Коши:

 

                                     y ¢ = f (x,y),        y(x0) =  y0.                   ( 1 )

 

Требуется построить интегральную кривую, удовлетворяющую поставлен-ной задаче с помощью методов Эйлера и Рунге-Кутты  4-го порядка с выбо-ром шага на отрезке [a =x0, b]. Выбор шага - необходимое условие адекват-ного поведения программы при резко изменяющихся функциях, опре-деляющих интегральную кривую, позволяющее отразить все особенности в поведении интегральной кривой и добиться высокой точности. Результат сравнить с аналитическим решением.

 

 

 

                                          3.2.  Метод Эйлера

 

Приближенный метод решения задачи (1) описан Эйлером в 1768 году.

Метод основан на использовании разложения:

                           (2)

 

Учитывая здесь два первых слагаемых, заключаем с учетом (1), что на интер-вале

                                              [x0,  x1 = x0 + h]

 

интегральная кривая может быть приближенно представлена отрезком пря-мой с угловым коэффициентом  k1 ,  определенным в начальной точке, при этом новое значение y1 определится по формуле:  

 

                                

 

Продолжая этот процесс,  для  последующих точек  вычисляем  [1]:

 

                                 

 

 

                                                        -  4  -

Интегральная кривая в целом приближенно представляется отрезками прямых, вследствие чего метод называется методом ломаных Эйлера.

На одном шаге интегрирования погрешность имеет второй порядок по величине не учтенного слагаемого в разложении (2).  На общем (глобальном) интервале [a, b], включающем (b-a)/h  шагов, порядок точности снижается до первого. Образно говоря, для получения 6 точных десятичных знаков требуется порядка миллиона шагов.

Метод Эйлера является простейшим численным методом интегриро-вания дифференциального уравнения, его недостатки [1]:

• малая точность,
• систематическое накопление ошибок.

Известны модификации метода, частично устраняющие его недостатки. Улучшение достигается введением дополнительного этапа вычислений, например, по схеме:

                                         

 

Выполним разложение величины y1  в ряд по степеням h:

 

                    

 

и с этой целью выпишем необходимые производные:

      

 

      

 

Разложение для  y1   принимает вид:

 

                     

 

                                                        -  5  -

                        

 

Сравним его теперь с рядом Тейлора для точного решения, который появля-ется из заданного соотношения путем повторных дифференци-рований с заменой y'  на  f :

 

                        

Сравнение показывает, что разложения совпадают до второго порядка по h включительно. Вычитая из последнего равенства предыдущее, получим оценку для погрешности одного шага:

            

Как видно, точность модифицированного метода повышается на порядок [2].

 

 

 

                 3.3.  Общая формулировка методов Рунге-Кутты.

 

Рунге и Хойн использовали аналогичные частные приемы для дальней-шего повышения точности численного интегрирования, но именно Кутта сформулировал общую схему методов, которые называются теперь методами Рунге-Кутты.

          Явный  s–стадийный метод описывается следующими соотношениями:

 

                           

 

Вычислительная схема содержит большое число параметров, специальным

 

                                                         -  6 -

выбором  которых  можно обеспечить совпадение разложений y1 и точного решения y(x)  до некоторого числа слагаемых  p,  при этом:

 

                                    

 

Перечисленные параметры принято представлять в компактной форме с помощью следующей таблицы Бутчера:

 

c1 = 0      c2    c3    …   cs	a21   a31       a32         ...          …         …        as1      as2       …       as,s–1
	b1     b2     …           bs–1        bs

                               

Подбор параметров может выполняться любым способом, Кутта предложил считать что:

                                                  

Эти условия не являются необходимыми, но упрощают вывод для методов высокого порядка; их смысл состоит в том, что все точки, в которых вычисляется правая часть  f(x, y) являются приближениями первого порядка.

 

 

 

4. Обсуждение методов  4-го  порядка

 

 

Перейдем теперь к рассмотрению 4–стадийных методов Рунге-Кутты четвертого порядка (s = 4, p = 4). В этом случае необходимо вычислить производные y1 по h до четвертого порядка включительно и приравнять их к соответствующим производным точного решения. Полученные соотношения составят систему уравнений для выбора вышеупомянутых параметров. Методика вычислений аналогична той, что была применена в разделе 3.2  при обосновании модифицированного метода Эйлера, но отличается высокой сложностью для третьих и четвертых производных. Воспользуемся резуль-татами, приведенными в [2, 3]:

 

 

                                                          -  7  -

 

                   

                       

                       

 

 

Решение системы (7) достаточно громоздко, возможны несколько вариантов решения. Наиболее практичны следующие два варианта.

 

 

a)   Таблица  Бутчера (классическая схема):

 

0    1/2    1/2      1	1/2   0       1/2       0       0       1
	1/6   2/6   2/6 1/6

 

   

  Расчетные формулы:    k1 = f(x0, y0),    

                          

                                             

 

 

 

 

                                                      -  8  -     

 

b)    Таблица  Бутчера  (правило  3/8) :

 

0    1/3    2/3      1	1/3 -1/3       1      1       -1      1
	1/8   3/8   3/8 1/8

                                                  

 

Расчетные формулы:          k1 = f(x0, y0),    

        

                                             

 

Метод Рунге-Кутты позволяет при необходимости применять новую длину шага  h  на каждом локальном участке  (xi, xi+1).  Это свойство используется для проведения расчетов с контролем точности и автоматическим выбором необходимого для этого шага. С этой целью на участке (xi, xi+1) выполняются:

 

- интегрирование с шагом  h = xi+1 – xi  от начальной точки xi до конечной xi+1, 

  соответствующий результат в точке  xi+1  обозначим через  yi+1;

- интегрирование с половинным шагом  h/2 от начальной точки xi до проме-

  жуточной x = 0.5 (xi+1 + xi)  и  вслед  за  этим  от точки  x  до конечной  xi+1,

  полученный  результат в  конечной точке обозначим через Yi+1;

При анализе этих данных принимается, что главный член погрешности на одном шаге h оценивается в виде:

 

                                                 y(xi+1) - yi+1 @  K h5 ,

 

где коэффициент K приближенно считается одинаковым в окрестности точек xi  и xi+1. При выполнении двух половинных шагов ошибки могут сложиться:

 

                                     y(xi+1) - Yi+1 @  2×K (h/2)5 = K h5 / 16.

 

Вычитанием получаем отсюда оценку величины K h5 :

                            

     Yi+1 -  yi+1 = K h5 (1- 1/16) =(15/16) K h5;    K h5 = (16/15)×( Yi+1 -  yi+1 ).

 

После этого для погрешности  D = y(xi+1) - yi+1 имеем:

 

                                                   

 

 

                                                            -   9  -

Значение Yi+1 получается более точным, для него ошибка составляет:

 

                            y(xi+1) - Yi+1 @ ( Yi+1 -  yi+1 ) / 15.

 

Полученные оценки используются в программах с автоматическим подбо-ром шага, а именно, если полученная оценка  D  превышает по абсолютной величине требуемую точность, то шаг уменьшается (например, вдвое), если же величина D  излишне мала, то шаг интегрирования  увеличивается.

 

                                   4.   Практическая часть

 

Поставленную задачу рассмотрим на конкретном примере решения следующей задачи Коши:

 

                                            y ¢= - sin x,     y(0) = 1.

 

Заданное дифференциальное уравнение с правой частью f(x) = - sin x имеет точное решение:

                                                yT(x) = cos(x),

 

график которого может быть построен на любом интервале; для опреде-ленности будем рассматривать его на полном периоде:

                                                 0  £   x  £  2p .

При численном интегрировании этот интервал разделим на N частей, так что шаг составит h = 2p/N. Координаты узловых точек при этом равны:

                                                 

                                     

Расчеты выполним при N = 8. В заданном примере правая часть  f(x) не зависит от y, что упрощает решение задачи.

 

                                                Метод Эйлера

 

В соответствии с алгоритмом Эйлера в узловых точках вычисляются приращения Dyi = f(xi)×h = - h×sin(xi) и соответствующие значения результата yi+1 = yi + Dyi,  здесь  y0 = 1. Расчет оформляется в виде таблицы:

 

Узлы   xi	Dyi	yi	yT(xi)	Ошибка
0     0.7458     1.5708     2.3562	0   - 0.5554   - 0.7854   - 0.5554	1          1      0.4446   - 0.3408	1     0.7071          0  - 0.7071	0  - 0.2929  - 0.4446  - 0.3663

                                                            -  10  -

3.1416     3.3270     4.7124     5.4978     6.2832

0     0.5554     0.7854     0.5554          0

- 0.8962   - 0.8962   - 0.3408      0.4446            1

- 1   - 0.7071           0      0.7071           1

- 0.1038     0.1891     0.3408     0.2625           0

 

 

       Результаты используются  для построения сравнительного графика, иллюстрирующего эффективность методов.

 

 

 

                       Метод Рунге-Кутты 4-го порядка (классический)

 

Вычисления по методу Рунге-Кутты реализованы в программе, напи-санной на языке С++. Для построения сравнительного графика выполнен расчет в тех же узловых точках. Видно, что при некотором увеличении трудоемкости  метод Рунге-Кутты дает значительный выигрыш по точности вычислений.

       

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     -  12  -

 

 

 

 

                                                5.     Заключение

 

 

В работе рассмотрен численный метод Рунге-Кутты с выбором шага интегрирования. Приведены необходимые теоретические сведения, сравне-ние проведено с методом ломаных Эйлера. В качестве практического примера рассмотрена задача Коши для уравнения y¢ = - sin x при начальном условии  y(0) = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     -  14  -

 

                     6.  Список использованных источников

 

 

 

[1].  Демидович Б.П.,  Марон И.А.,  Шувалова Э.З.  «Численные методы

       анализа»,  М.,  Физматгиз,  1963 г., 400 стр.

 

[2].  Холл Д., Уатт Д.  «Современные  численные методы решения обыкно-

        венных дифференциальных  уравнений», М., Мир, 1979, 312 с.

 

[2].  Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер  Г.  «Решение обыкновенных дифферен-циальных  уравнений. Нежесткие задачи», М., Мир, 1990, 512 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      -  15  -