Многочлени з однією змінною в полі раціональних чисел

ЗМІСТ

 

ВСТУП………………………………………………………………………………………2

I.Основні відомості про многочлен від однієї змінної. Основні властивості многочленів над полем…………………………………………………………………..4

    1.1. Основні відомості про многочлени………………………………………………4

    1.2. Подільність многочленів………………………………………………………….6

    1.3. Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне многочленів…12

II. Обчислення раціональних коренів. Незвідність многочленів над полем раціональних чисел……………………………………………………………………..15

     2.1. Обчислення раціональних коренів…………………………………………….15

     2.2. Незвідність многочленів над полем раціональних чисел……………………20

III. Елементи теорії многочленів від однієї змінної у шкільному курсі математики………………………………………………………………………………24

ВИСНОВКИ……………………………………………………………………………......28

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………………………….29

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

 

Мета дослідження полягає у розгляді поняття многочлена від однієї змінної, висвітленні основних властивостей многочленів від однієї змінної та у розкритті ролі многочленів від однієї змінної над полем раціональних чисел у вищій математиці та у шкільному курсі математики.

 

Завдання дослідження:

 

1. Подання теоретичних відомостей про многочлени від однієї змінної.
2. Розгляд незвідних многочленів над полем раціональних чисел та методів знаходження раціональних коренів.
3. Аналіз елементів теорії многочленів від однієї змінної у шкільному курсі математики.

 

          До середини XIX століття центральним завданням алгебри було знаходження формули для коренів рівняння P (x) = 0, де P - многочлен довільного ступеня. Ця задача була повністю вирішена в роботах молодих математиків першої третини XIX століття – Е. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) і П. Руффіні (1765-1822).

 

          Ще в XVI столітті італійськими математиками були знайдені формули для розв'язання рівнянь третього і четвертого степеня. Абель і Руффіні довели, що, починаючи з п'ятого степеня, загальної формули, що використовує, крім додавання і множення, лише добування коренів, не існує, а Галуа відкрив закономірності поведінки коренів, відносно кожного конкретного рівняння.

Паралельно  з цим К. Гаусс довів основну теорему алгебри, яка стверджує, що будь-який многочлен (коефіцієнти многочлена можуть бути не тільки дійсними, але і комплексними числами) має хоча б один корінь (можливо, є не дійсним, а комплексним числом). Після цього питання про обчислення коренів многочлена перемістилось з алгебри в теорію функцій і наближених обчислень.

         У XX столітті роль многочленів стала мінятися. Букви, які входять до многочленів, все більше стали грати роль символів, не пов'язану з їх конкретними значеннями. Самі різні області математики і її додатків стали використовувати символьне обчислення многочленів, не залежне від теорії функцій (математична логіка, топологія, теорія інформації, дискретна і комп'ютерна математика і т. д.).

Наведемо  приклад. У XX столітті найважливішим  завданням людства стала задача передачі інформації (радіо, телефон, передача відеосигналів і т. д.).

           Математично повідомлення може бути записане у вигляді послідовності символів (крапки і тире в старовинній абетці Морзе, нулі і одиниці і т. д.), переданої по так званому каналу зв'язку (наприклад, у вигляді радіосигналів). При передачі можливі спотворення, які при прийомі повідомлення повинні бути виправлені. Була запропонована (і активно використовується по теперішній час) ідея кодування повідомлення - така його передача, що після прийому-передачі можна було б виявити і виправити випадкові помилки. Основний спосіб кодування полягає в наступному. З послідовності сигналів (наприклад, з цифр 0 і 1) складається формальний многочлен  . Потім підбирається деякий фіксований многочлен Q (x) (кодує многочлен) і множиться на P (x). Передається не вихідна послідовність сигналів, а послідовність коефіцієнтів добутку P(x)*Q(x). Многочлен Q (x) можна підібрати так, що при прийомі будуть розпізнаватися випадкові помилки, що виникли при передачі. При цьому пошук кодування многочлена Q (x) виявився чисто алгебраїчним завданням, оскільки ця задача пов'язана з питаннями подільності многочлена і поведінки його коренів. [10]

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 1. ОCНОВНІ ВІДОМОСТІ ПРО МНОГОЧЛЕН ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ МНОГОЧЛЕНІВ НАД ПОЛЕМ

 

1.1. Основні відомості про многочлени

 

          Многочленом ( поліномом: поліс – багато, номе – член) від однієї змінної над цілісним кільцем R називається вираз виду a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀, де n – довільне ціле невід’ємне число, a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ – елементи цілісного кільця R, x, x²,…, x^n-1, xⁿ – деякі символи.

х^k називають k-м степенем змінної (невідомого) х, a_k – k-м коефіцієнтом многочлена, a_kx^k – k-м членом многочлена (k = 0,1,...,n); a₀ називають ще вільним членом.

Позначають  многочлени від змінної х малими латинськими буквами: f(x), g(x), q(x),…, множину всіх многочленів від х над цілісним кільцем R   –   R[x].

Відмінний від  нуля член многочлена f(x), степінь якого більший за степінь усіх інших ненульових членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена f(x). Степінь многочлена f(x) позначають deg f (degree – степінь). [7]

Форму запису многочлена, впорядкованого за спаданням  степеня x^k, називають канонічною. Елемент a₀ ≠0 називають многочленом нульового степеня, а елемент 0 – нуль-многочленом ( позначають θ(х) = 0).

Нехай задано два многочлени :

 

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ ,       a_i R, i = 0, 1,…, n,

g(x) = b_mx^m+b_m-1x^m-1+…+b₁x+b₀,    b_j R, j = 0,1,…, m.

 

Многочлени f(x) і g(x) називають рівними між собою, якщо канонічні форми цих многочленів співпадають, тобто рівними є степені обох многочленів і їх відповідні коефіцієнти.

Сумою многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

 

.

при n>m.

 

Добутком многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

 

 де  при i›n, при j›m.

Множина R[x] усіх многочленів над цілісним кільцем R утворює цілісне кільце відносно операцій додавання і множення многочленів. [8]

Дійсно, оскільки додавання і множення многочленів  зводиться до виконання аналогічних  операцій над їх коефіцієнтами, які  є елементами деякого цілісного  кільця R, то асоціативність і комутативність додавання і множення многочленів випливають із виконання відповідних властивостей в кільці R. Звідси ж випливає і дистрибутивність множення відносно додавання. Нульовий елемент в множині R[x] існує, це . Отже, R[x]–комутативне кільце. Залишилось показати відсутність дільників нуля. Якщо то якщо то Отже має старший коефіцієнт (оскільки в R немає дільників нуля) і тому не є нуль-многочленом, що й треба довести. Таким чином, R[x] – цілісне кільце. ▲[2]

 

 

 

 

 

1.2. Подільність многочленів

 

а) Ділення з  остачею

Для розгляду теорії подільності многочленів  від однієї змінної цілісне кільце R, якому належать усі коефіцієнти многочленів, потрібно замінити полем Р, для того, щоб для довільного елемента існував обернений елемент , або щоб разом із довільними двома елементами , b≠0 поля Р до цього ж поля належала і їх частка . Цілісне кільце многочленів від однієї змінної з коефіцієнтами із поля Р позначають тепер   P[x].

Два різні  многочлени із P[x], як правило, не діляться один на одного. Однак для P[x] можна побудувати теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел, якщо операцію ділення многочленів в P[x] замінити більш загальною операцією ділення з остачею.

Вважається, що многочлен  ділиться з остачею на многочлен g(x)≠0 P[x], якщо в P[x] існують такі многочлени s(x) та r(x), що , причому або r(x)=0, або deg r<deg g. [4]

 

Теорема (про ділення з остачею).

          Довільний многочлен f(x) з кільця P[x] однозначно ділиться з остачею  на будь-який ненульовий многочлен  g(x) з цього кільця.

Доведення.

Встановимо можливість ділення  з остачею. Нехай 

                                                                                     

Якщо f(x)=0, то s(x)=0 і r(x)=0.

Якщо n=deg f<deg g=m, то s(x)=0 і r(x)=f(x).

Нехай n m. Виконаємо доведення методом індукції за n.

При n=0 отримаємо m=0, f(x)=a₀, g(x)=b₀≠0, тому s(x)= , r(x)=0. Ясно, що s(x) P[x], бо P (ось де потрібна була заміна R на Р, здійснена на початку параграфа).

Припустимо, що теорема вірна для всіх многочленів f(x) степеня, меншого за n, і доведемо її для многочленів степеня n.

Розглянемо  многочлен р(х)=f(x)– Cтарші члени обох многочленів справа є рівними а_nхⁿ, тобто взаємно знищаться. Тому deg p(x) < n і, за припущенням індукції,  p(x) ділиться з остачею на  g(x):

 

p(x)=g(x)·s₁(x)+r₁(x),   де   s₁(x),r₁(x) P[x],          r₁(x)=0   або   deg r₁<deg g.

 

Звідси 

f(x) - = g(x)·s₁(x)+r₁(x), тобто

f(x)=g(x)·s(x)+r(x),

 

де     r(x)=r₁(x) P[x],      s(x)=s₁(x) ,

причому r(x)=0   або deg r<deg g.

Можливість ділення  f(x) на g(x) з остачею доведена.

Покажемо  єдиність частки s(x) і остачі r(x). Припустимо, що можливі два варіанти:

f(x)=g(x)∙s(x)+r(x),      deg r<deg g ;

 

f(x)=g(x)∙s^*(x)+r^*(x),   deg r^*<deg g.

 

Віднімемо рівності :      g(x)[s(x) – s^*(x)]=r^*(x) – r(x).

За умовою g(x) 0. Якщо б r(x) r^*(x), то й s(x) s^*(x). Але тоді отримується суперечність, оскільки степінь правої частини менший степеня лівої частини. Отже, r(x)=r^*(x). Але тоді  і   s(x)=s^*(x). Таким чином, частка і остача єдині.▲

 

Наслідок. Кільце P[x] многочленів над полем Р є евклідовим.

На практиці ділення многочленів здійснюють відомим способом „ ділення кутом  ”, в основі якого лежить метод, використаний при доведенні теореми про  ділення з остачею.

Оскільки  частка s(x) і остача r(x) визначаються однозначно, то для їх знаходження можна користуватися і методом невизначених коефіцієнтів, який ґрунтується на прирівнюванні коефіцієнтів при однакових степенях x в лівій і правій частині рівності f(x)=g(x)∙s(x)+r(x), де s(x) шукають у вигляді многочлена із невизначеними коефіцієнтами степеня n–m , а r(x) – степеня m-1. [10]

 

Приклад.

 

Поділити f(x) на g(x) і знайти s(x) та r(x):

                                                                           f(x)=x⁴-2x³+x-1  ,  g(x)=x²-2.

1) Ділення кутом:

 

_x4–2x3      +x  –1

x2–2

x4      –2x2

x2–2x+2

_–2x3+2x2

–2x3     +4x

_2x2–3x   2x2     –4

–3x+3

 

 

 

 

 

 

 

Отже,   s(x)=x²–2x+2,   r(x)= –3x+3.

 

 

2) Ділення методом невизначених коефіцієнтів:

    x⁴–2x³+x–1=(x²–2)(A₂x²+A₁x+A₀)+(B₁x+B₀)

                           

 

Отже,  s(x)=x²–2x+2, r(x)= –3x+3. [18]

 

б) Ділення многочлена на лінійний двочлен

Розглянемо  важливий випадок ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x–α. Скористаємось методом невизначених коефіцієнтів.

 

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=(x–α)(A_n-1x^n-1+A_n-2x^n-2+…+A₁x+A₀)+r.

 

Тут r = const, оскільки deg r(x)=m–1=1–1=0.

Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах, отримаємо:

 

a_n=A_n-1                       A_n-1=a_n,

a_n-1=A_n-2-αA_n-1           A_n-2=a_n-1+αA_n-1,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a₁=A₀-αA₁                  A₀=a₁+αA₁,

a₀=r-αA₀                     r=a₀+αA₀.

Із отриманих  формул випливає, що поділити многочлен  на лінійний двочлен можна за певною схемою, яка називається схемою Горнера.

 

 

 

 

	an	an-1	an-2	an-3	…	a1	a0
α	an      An-1	αAn-1+ +an-1    An-2	αAn-2+ +an-2    An-3	αAn-3+ +an-3    An-4		αA1+ +a1    A1	αA0+ +a0    A0

 

Теорема (Безу).  Для довільного елемента α поля Р остача при діленні многочлена f(x) P[x] на x-α дорівнює f(α).

Дійсно, згідно формули ділення з остачею f(x)=(x-α)s(x)+r. Підставимо x=α. Отримаємо f(α)=r, що й треба довести.▲ [19]

 

За допомогою  багаторазового ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x-α з допомогою схеми Горнера можна дістати розклад многочлена f(x) за степенями двочлена x-α, який часто використовується в алгебрі та математичному аналізі.

f(x)=(x-α)f₁(x)+r₀,

f₁(x)=(x-α)f₂(x)+r₁,

f₂(x)=(x-α)f₃(x)+r₂,

- - - - - - - - - - - - -

f_n-1(x)=(x-α)f_n(x)+r_n-1.

 

Ясно, що f_n(x) є многочленом нульового степеня. Позначимо f_n(x)=r_n. Виключивши послідовно всі   f_i(x), i=1,2,…, n-1, отримаємо

 

f(x)=r_n(x-α)ⁿ+r_n-1(x-α)^n-1+…+r₁(x-α)+r₀.

 

Таким чином, отримаємо подання  многочлена f(x) як многочлена від змінної y=x-α.

 

Приклад.

Знайти розклад многочлена f(x)=x⁵-3x³+x²-2x+1 за степенями двочлена x-1.

 

f(x)=(x-1)⁵+5(x-1)⁴+7(x-1)³+2(x-1)²-4(x-1)-2.

 

в) Подільність  многочленів

Важливим  для розгляду є випадок ділення  многочленів “без остачі”, або, інакше, “націло”. Тоді говорять, що f(x) ділиться на g(x). Позначають: f(x) g(x).

 

 

Властивості подільності:

 

2.  

 

 

3.  

 

4. (узагальнення2,3).

                               

 

5.  

 

Всі ці властивості  очевидні і випливають безпосередньо  із властивостей подільності в довільному цілісному кільці. Два многочлени із P[x] називаються асоційованими, якщо перший многочлен ділиться на другий, а другий ділиться на перший. Такі многочлени можуть відрізнятися тільки сталим множником. Відношення “бути асоційованими” є відношенням еквівалентності. [21]

 

 

 

1.3.  Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне многочленів

 

          Спільний дільник многочленів f(x) та g(x), який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів, називається їх найбільшим спільним дільником (НСД) і позначається (f,g). НСД многочленів визначається однозначно з точністю до сталого множника (оскільки, якщо d(x) – НСД , то й c·d(x), де , теж НСД).

           Многочлени f(x) та g(x) називаються взаємно простими, якщо кожний їхній спільний дільник є ненульовою константою, тобто (f,g)=1.

           Розглянемо спосіб знаходження НСД (алгоритм Евкліда).

           Нехай дано многочлени f(x) та g(x), причому . Виконаємо послідовне ділення з остачею:

 

                                         

 

          Тут оскільки послідовність степенів многочленів g(x), r₁(x), r₂(x),... є монотонно спадною. Оскільки степінь r₁(x) не вищий за m-1, де  m=deg g, то кількість кроків в алгоритмі не перевищує m.

  Оскільки (f,g)=(g,r₁)=(r₁,r₂)=(r₂,r₃)=…=(r_n-1,r_n)=(r_n,0)=r_n, то остання відмінна від нуля остача r_n(x) в алгоритмі Евкліда і є НСД многочленів f(x) і g(x). [9]

 

Приклад.

З допомогою алгоритму Евкліда знайти НСД многочленів

 

f(x)=x³–3x²+3x–1,     g(x)=x³–1.

x³–3x²+3x–1=(x³–1)·1+(-3x²+3x)

x³–1=(-3x²+3x)·( )+(x–1)

-3x²+3x=(x–1)·(-3x). 

 

Отже, (f,g)=x–1. [20]

 

      НСД більшої кількості  многочленів, зокрема, f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) шукають так:    

d₁(x)=(f₁,f₂),   d₂(x)=(d₁,f₃),  d₃(x)=(d₂,f₄), …,   d_n-1(x)=(d_n-2,f_n).

 

d_n-1(x) і є НСД многочленів f₁(x), f₂(x),…, f_n(x).

          Якщо хоча б два многочлени із системи f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) взаємно прості, то НСД усіх цих многочленів дорівнює одиниці.

          Якщо позначити d(x)=r_n(x), то, піднімаючись вгору рівностями алгоритму Евкліда, можна отримати вираз    d(x)=f(x)·u(x)+g(x)·v(x),

тобто   такі що (f,g) виражається через f(x) і g(x).

Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) та g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x), на яке ділиться довільне інше спільне кратне цих многочленів.    Позначається [f, g].

 

Теорема. Для довільних ненульових многочленів f(x), g(x) НСК існує і визначається з точністю до сталого множника.

Доведення:   

           Для доведення розглянемо многочлен який, очевидно, є спільним кратним f(x) та g(x), оскільки ділиться на кожний з них. Нехай s(x) –довільне інше спільне кратне многочленів f(x) і g(x). Тоді і , звідки s(x)=s₁(x)·f(x), а також тобто

Замінимо     f(x)=(f,g)·f₁(x),     g(x)=(f,g)·g₁(x),      де (f₁,g₁)=1. Звідси

.

 Із   (f₁,g₁)=1  випливає, що      тобто s₁(x)=g₁(x)·t(x),   звідки Отже,

Це означає, що q(x) – найменше спільне кратне многочленів f(x) та g(x).

Якщо q₁(x) – інше НСК, то і , тобто q_l(x) та q(x) відрізняються тільки сталим множником.▲ [15]

 

 

 

РОЗДІЛ 2. ОБЧИСЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ КОРЕНІВ. НЕЗВІДНІСТЬ МНОГОЧЛЕНІВ НАД ПОЛЕМ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

 

1. Обчислення раціональних коренів

 

          Як ми вже відзначали, одним з найважливіших завдань в теорії многочленів є задача обчислення їх коренів. Для вирішення цього завдання можна використовувати метод підбору, тобто брати навмання число і перевіряти, чи є воно коренем даного многочлена. При цьому можна досить швидко "натрапити" на корінь, а можна й ніколи його не знайти. Адже перевірити всі числа неможливо, так як їх нескінченно багато. Інша справа, якщо б нам вдалося звузити область пошуку, наприклад знати, що шукані корені знаходяться, скажімо, серед тридцяти зазначених чисел. А для тридцяти чисел можна і перевірку зробити. У зв'язку з усім сказаним вище, важливим і цікавим видається таке твердження:

          Якщо нескоротний дріб (l, m - цілі числа) є коренем многочлена f (x) з цілими коефіцієнтами, то старший коефіцієнт цього многочлена ділиться на m, а вільний член - на 1.

          Справді, якщо f (x)=a_nx_n + a_n-1x_n-1 + ... + а₁x + a₀, a_n ≠ 0, де a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ - цілі числа, то f(l / m)=0, тобто а_n(l / m) ⁿ+a_n-1(l / m) ^n-1+... +a₁l / m+a₀=0.

 

          Помножимо обидві частини цієї рівності на mⁿ. Отримаємо:    

 

a_nlⁿ+a_n-1l^n-1m+... +a₁lm^n-1+a₀mⁿ=0

         Звідси випливає:                  

 

a_nlⁿ=m (-a_n-1l^n-1-... - a₁lm^n-2-a₀m^n-1).

          Бачимо, що ціле число a_nlⁿ ділиться на m. Але - нескоротний дріб, тобто числа l і m взаємно прості, а тоді, як відомо з теорії подільності цілих чисел, числа lⁿ та m теж взаємно прості. Отже, a_nlⁿ ділиться на m і m взаємно прості з lⁿ, значить, a_n ділиться на m. [14]

          Доведена тема дозволяє значно звузити область пошуку раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами. Продемонструємо це на конкретному прикладі. Знайдемо раціональні корені многочлена f(x)=6x⁴+13x²-24x²-8x+8.

           Згідно з теоремою, раціональні корені цього многочлена знаходяться серед нескоротного дробу виду , де l - дільник вільного члена a₀ = 8, а m - дільник старшого коефіцієнта a₄ = 6. при цьому, якщо дріб l / m –від’ємний, то знак "-" будемо відносити до чисельника. Наприклад, - (1/3) = (-1) / 3. Значить, ми можемо сказати, що l - дільник числа 8, а m - додатній дільник числа 6.Так як дільники числа 8 - це ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а додатними дільниками числа 6 будуть 1, 2, 3, 6, то раціональні корені розглянутого многочлена знаходяться серед чисел ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8, ± 8/3.

           Таким чином, ми маємо двадцять чисел - "кандидатів" в корені. Залишилося тільки перевірити кожне з них і відібрати ті, які дійсно є коренями. Але знову-таки, доведеться зробити досить багато перевірок. Та наступна теорема спрощує цю задачу.

           Якщо нескоротний дріб є коренем многочлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то f(k) ділиться на l-km для будь-якого цілого числа k за умови, що

l-km ≠ 0.

             Для доведення цієї теореми розділимо f(x) на x-k із остачею.

Отримаємо f(x)=(x-k)s(x) + f(k). Так як f(x) - многочлен з цілими коефіцієнтами, то таким є многочлен s(x), а f(k) - ціле число.

           Нехай s(x) =b_n-1+b_n-2+…+b₁x+b₀. Тоді  f(x) - f(k) = (x-k)(b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+ …+b₁x+b₀).

Припустимо, що в цій рівності x=. Враховуючи, що f()=0, отримуємо:

f (k) = ( () - k) (b_n-1( ) ^n-1+b_n-2( ) ^n-2+…+b₁ () +b₀).

 

Домножимо обидві частини останньої рівності на mⁿ:

         mⁿf (k) = (l-km) (b_n-1l^n-1+b_n-2l^n-2m+…+b₁lm^n-2+b₀m^n-1).

 

          Звідси випливає, що ціле число mⁿf (k) ділиться на l-km. Але так як l і m взаємно прості, то mⁿ и l-km, теж взаємно прості, а значить, f (k) ділиться на l-km. Теорема доведена.  [8] 
          Повернемося тепер до нашого прикладу і, використавши доведену теорему, ще більше звузимо коло пошуків раціональних коренів. Застосуємо вказану теорему при k=1 и k=-1, тобто якщо нескоротній дріб l / m є коренем многочлена f (x), то

f(1) / (l-m), а f (-1) / (l+m). Легко знаходимо, що в нашому випадку f(1) =-5, а f(-1) =-15. Зауважимо, що заодно ми виключили з розгляду ± 1.  
Отже раціональні корені нашого многочлена слід шукати серед чисел ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8, ± 8/3.  
          Розглянемо =1/2. Тоді l-m=-1 и f (1) =-5 ділиться на це число. Далі, l+m=3 и f (1) =-15 так само ділиться на 3. Значить, дріб 1/2 залишається в числі "кандидатів" в корені.  
          Нехай =- (1/2) = (-1) /2. У цьому випадку l-m=-3 и f (1) не ділиться на

- 3. Значить, дріб не може бути коренем даного многочлена, і ми виключаємо її з подальшого розгляду. Виконаємо перевірку для кожної з виписаних вище дробів, отримаємо, що шукані корені знаходяться серед чисел , ± , 2, - 4.  
          Таким чином, досить-таки простим прийомом, ми значно звузили область пошуку раціональних коренів розглянутого многочлена. Ну, а для перевірки залишившихся чисел застосуємо схему Горнера: 

Таблиця 10.

	6	13	-24	-8	8
	6	16	-16	-16	0

           Бачимо, що - корінь многочлена f (x) і f (x) = (x-) (6x³+16x²-16x-16) = (2x-1) (3x³+8x²-8x-8). Ясно, що всі інші корені многочлена f (x) співпадають з коренями многочлена g (x) =3x³+8x²-8x-8, а значить, подальшу перевірку "кандидатів" в корені можна проводити вже для цього многочлена. При цьому ми дещо виграємо по часу в обчисленнях, так як перевірку будемо виконувати для більш "короткого" многочлена. Знаходимо:

Таблиця 11.

	3	8	-8	-8
2/3	3	10	-4/3	-80/9

           Отримали, що остача при діленні g (x) на x - дорівнює - ,  тобто не є коренем многочлена g (x), а значить, і f (x). 
Далі легко знаходимо, що - - корінь многочлена g (x) і g (x) = (3x+2) (x²+2x-4).

Тоді: f (x) = (2x-1) (3x+2) (x²+2x-4).  Подальшу перевірку можна проводити для многочлена x²+2x-4, що, звичайно, простіше, ніж для g (x) або тим більше для

f (x). В результаті отримаємо, що числа 2 і - 4 не є коренями.  
Отже, многочлен f (x) =6x⁴+13x³-24x²-8x+8 має два раціональних кореня: і - .  
             Нагадаємо, що описаний вище метод дає можливість знаходити лише раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Між тим, многочлен може мати й ірраціональні корені. Так, наприклад, розглянутий у прикладі многочлен має ще два кореня: - 1 ± (це корені многочлена х²+2х-4). А, взагалі кажучи, многочлен може й зовсім не мати раціональних коренів.  [7] 
          Тепер кілька порад:

          При випробуванні "кандидатів" в корені многочлена  f (x) за допомогою другої з доведених вище теорем, зазвичай використовують останню для випадків

k = ±1. Іншими словами, якщо - "кандидат" у корені, то перевіряють, чи ділиться f (1) і f (-1) на l-m і l+m відповідно. Але може статися, що, наприклад, f (1) =0, тобто 1 - корінь, а тоді f (1)ділиться на будь-яке число, і наша перевірка втрачає сенс. У цьому випадку слід розділити  f (x) на x-1, тобто отримати f(x) = (x-1) s(x), і проводити випробування для многочлена s (x). При цьому не слід забувати, що один корінь многочлена f (x) - x₁=1 - ми вже знайшли.  
          Якщо при перевірці "кандидатів" в корені, що залишилися після використання другої теореми про раціональні корені, за схемою Горнера отримаємо, що, наприклад, - корінь, то слід знайти його кратність. Якщо вона дорівнює, скажімо, k, то f (x) = (x - )^ks(x), і подальшу перевірку можна виконувати для s (x), що скорочує обчислення. [13] 
          Таким чином, ми навчилися знаходити раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Виявляється, що так само ми навчилися знаходити ірраціональні корені многочлена з раціональними коефіцієнтами. Річ в тому, що якщо ми маємо, наприклад, многочлен f (x) =x⁴+2/3x³+5/6x²+3/8x+2, то, привівши коефіцієнти до спільного знаменника і винісши його за дужки, одержимо f (x) = (24x⁴+16x³-20x²+9x+48). Ясно, що корені многочлена f (x) співпадають з коренями многочлена, що стоїть в дужках, а його коефіцієнти - цілі числа. 

          Доведемо, наприклад, що sin10⁰- число ірраціональне. Скористаємося відомою формулою sin3α=3sinα-4sin³α. Звідси sin30⁰=3sin10⁰-4sin³10⁰. Враховуючи, що sin30⁰=0.5 і проводячи нескладні перетворення, отримуємо 8sin³10⁰-6sin10⁰+1=0. 

          Отже, sin10⁰ є коренем f (x) =8x³-6x+1. 

          Якщо ж ми будемо шукати раціональні корені цього многочлена, то переконаємося, що їх немає. Значить, корінь sin10⁰ не є раціональним числом, тобто sin10⁰ - число ірраціональне. [11]

 

 

2.2. Незвідність многочленів

 

Многочлен f(х) Р[x] називається незвідним у полі Р, якщо він не є константою і  не має дільників, відмінних від константи та асоційованих з ним многочленів (аналог простого числа).         В іншому випадку многочлен називають звідним (аналог складеного числа). Поняття звідності є відносним і залежить від поля Р, над яким розглядається многочлен. 

 

Приклад:

 

          Многочлен f(х)=x незвідний у полі Q, але звідний у полі R:

f(x)= (x- )(x+ );

многочлен f(x)= x +3 незвідний в полях Q, R, але звідний у полі С:

f(x)= (x-i )(x+i ). _[21]

 

Якщо многочлен f(х) незвідний у полі Р, то він вже є добутком незвідних в даному полі многочленів (один співмножник). Якщо многочлен f(х) звідний у полі Р, то, розклавши його і всі його співмножники в добуток незвідних многочленів у даному полі, отримаємо зображення многочлена, яке називають розкладом многочлена f(х) на незвідні множники: