Модель роста дендритов

Министерство  образования и науки 

Астраханский  государственный университет 
 
 

Курсовая работа 

Тема: Модель роста дендритов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание: 

Введение

1. Дендриты в природе и технике.
2. Зарождение дендритов
3. Моделирование процесса роста дендритов:
1. правила моделирования;
2. математическая модель;
3. дендритный рост.
4. Примеры построенных моделей роста дендритов.

Заключение.

Литература. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

    Немного о понятии «модель» и для чего она нужна. Модель должна отражать суть понятия, формы или метода исследования. Еще с начала XX столетия целый ряд психологов (О.Зельц, М. Вертгеймер, М.Бунге и др.) подчеркивали существенность процесса визуализации исследовательской ситуации как важного этапа решения задачи. [8, с. 234].

    Понятия модели и моделирования наиболее распространены в сфере обучения, в научных исследованиях, в проектно-конструкторских работах, в

серийном  техническом производстве. Чаще всего термин «модель» используют для обозначения:

• устройства, воспроизводящего строение или действие какого-либо другого устройства (уменьшенное, увеличенное или в натуральную величину);
• аналога (чертежа, графика, плана, схемы, описания и т.д.) какого-либо

явления, процесса или предмета.

К недостаткам  термина «модель» следует отнести  его многозначность. В словарях можно найти до восьми различных значений данного термина, из

которых в научной литературе наиболее распространены два:

• модель как аналог реального объекта;
• модель как образец будущего изделия.

Важную  роль при разработке моделей играют гипотезы, т.е. определенные

предсказания, предположительные суждения о причинно-следственных связях явлений, основанные на некотором  количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Формулирование и проверка правильных гипотез основывается, как  правило, на аналогиях.

    Аналогия  — это представление о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть как существенным, так и не существенным. Существенность сходства или различия двух объектов условна и зависит от уровня абстрагирования, определяемого конечной целью исследования. Уровень абстрагирования зависит от набора учитываемых параметров объекта исследования. Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

    Если  результаты моделирования удовлетворяют  исследователя и могут

служить основой для прогнозирования  поведения или свойств исследуемого

объекта, то говорят, что модель адекватна  объекту. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования  и принятых критериев. Учитывая заложенную при создании неполноту модели, можно  утверждать, что идеально адекватная модель принципиально невозможна.

    Хорошо  построенная модель, как правило, доступнее, информативнее и

удобнее для исследования, нежели реальный объект. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Дендриты  в природе и  технике

    Что такое дендрит? Дендрит - это древовидное  кристаллическое образование, довольно случайное по своей природе. Дендриты встречаются в различных областях:

• снежинки - это ледяные дендриты;

Рис. 1 Дендриты льда

• в металлургии: кристаллизация металлических расплавов обычно проходит через стадию образования в них дендритов. Развиваясь из некоторого центра кристаллизации, каждый дендрит в расплаве растет так, что сначала образуется его главная ось, совпадающая с осью будущего кристалла, затем возникают другие оси и дендрит ветвится. Если собственно металлического расплава недостаточно, то пространство между осями дендрита не заполняется кристаллическим веществом и получается дендрит. Чаще всего дендриты возникают в пустотах слитков или на поверхности быстро затвердевшего металла;

Рис. 2   Дендриты окислов марганца в родоните 

• при нефтедобыче: при выкачивании нефти из скважин  используют воду, которая заполняет  скважину и выталкивает нефть. Но не все так гладко: вода неоднородно  выталкивает нефть, образуя так  называемые "пальцы", мешающие добыче нефти. Образование этих пальцев  напрямую связано с дендритами;

Рис.3 Дендриты  в нефти 
 

• в минералогии: при кристаллизации вещества из раствора, проникшего в трещины пород. Встречаются  дендриты меди, золота, серебра:

Рис. 4 Аметист – дендрит                                           Рис. 5  Агат - дендрит 

• в медицине: дендритом называют чувствительный отросток нервной клетки, проводящий нервный импульс с периферии  к телу клетки. Длина такого отростка варьируется от тысячных долей миллиметра до нескольких десятков сантиметров.

    Рис. 6  Отросток нервной клетки

2. Зарождение дендритов

    Рассмотрим  на примере металлов зарождение дендритов. Как известно, кристаллизация «чистых металлов» происходит при постоянных температурах, тогда как сплавы кристаллизуются при разных температурах. Из этого правила исключение составляют только два случая: сплавы эвтектической композиции и некоторые промежуточные фазы фиксированной композиции, более известные как интерметаллические соединения, в обоих случаях происходит кристаллизация при фиксированной температуре.

    Кристаллизация чистых металлов происходит не мгновенно, а за определенный период времени.  Процесс кристаллизации начинается от отдельных изолированных точек в расплавленном металле, обычно от плавающих частиц примесей или же от стенок отливочной формы или тигля. Процесс, который называется «зарождение центров кристаллизации», сравним с замерзанием пруда. В точке температуры плавления некоторые атомы образуют маленькое зерно кристалла вокруг частицы примеси или на стенке отливочной формы. Иногда, зерно кристалла образуется вследствие флуктуации температуры. По мере того как атомы оседают, это зерно или «ядро» начинает расти как кристалл с собственной геометрической сеткой.

    Это ядро можно представить в виде плавающего в расплавленном металле  кубика, который имеет тенденцию  к росту в направлении ребер, благодаря образованию так называемых первичных центров, растущих из шести  граней куба в жидком металле. Подобным  образом вторичные и третичные центры растут из первичных центров и формируется металлический кристалл, похожий на дерево, который называют дендритом (рис.1). Это наиболее общий процесс кристаллизации металлов. Дендриты представляют собой непрерывную пространственную решетку, у которой от толстого ствола ответвляются ветви первого порядка, от них — второго, затем третьего и т. д. Все ветви имеют почти правильную кристаллографическую ориентацию.

Рис.7 схема дендрита на стадии роста в трех направлениях, начиная с ядра материнского кристалла, образовавшегося в жидком металле.

    Дендриты  бывают разнообразных размеров. Чем  менее стесненно они растут, тем  большей величины они достигают. Масса знаменитого кристалла  Чернова, найденного в усадочной  раковине 100-т слитка, составляет 3,45 кг, а высота 39 см. Образование дендритной структуры литой стали было выявлено впервые Д. К. Черновым, и он считал это доказательством ее кристаллического строения. Изучение кристаллической структуры серых чугунов дало Д. К. Чернову основание полагать, что причиной дендритного роста кристаллов являются примеси. Это предположение получило дальнейшее развитие в работах советских ученых. В предложенной Д. Д. Саратовкиным схеме роль примесей в образовании дендритов сводится к блокированию грани кристалла и прекращению ее роста, вызывающему выбрасывания осей нового порядка. 
 
 

Рис.8 Образование дендрита 

     При перемещении граней СВ и АВ со скоростями vc и vx через промежуток времени Т в положения СгО и АгО (рис.8 а) возрастает градиент концентрации примесей перед гранями АВ и СВ, в то время как в вершине кристалла по линии ВО градиент концентрации примесей ниже и имеет минимальное значение в направлении роста ребра О. При блокировании участков АгВг и СгВ2 мономолекулярным слоем примеси рост грани прекращается, кристалл За к. 824 289 растет в виде иглы в направлении ВО (рис. 8, б). На грани образуются выступы и зубцы, некоторые из них начинают расти как основная игла (рис. 8, в).

    При больших скоростях охлаждения, когда  исключаются условия скопления  примесей у растущих граней кристалла, дендритная структура кристаллов металла  заменяется ячеистой, характеризующейся  отсутствием осей второго порядка, а кристаллы имеют вид параллельных стволов, прилегающих друг к другу (рис. 9). 
 
 

    Рис.9 Ячеистая структура металла 

    Ячеистая  структура, например, наблюдается при  охлаждении пластин кремнистой стали (1,5—2,0% Si) толщиной от 1 до 0,1 мм со скоростью 104—106°С/с. Средний диаметр ячейки в этом случае тем меньше, чем выше скорость охлаждения, и в наиболее быстро затвердевающих пластинах он составляет 2—2,5 мкм.

    В условиях кристаллизующихся слитков  ячеистая структура практически  не образуется, и для реального  стального слитка стали характерна дендритная структура. 
 
 
 
 
 
 
 

3. Моделирование процесса роста дендритов.

    Для моделирования процесса кристаллизации в растворах необходимы

новые численные методы и модели. Модель ограниченной диффузией агрегации (ДОА) Сандера [7] представляется особенно пригодной для изучения эффектов нелокального поля диффузии. В последнее время внимание исследователей привлекло необратимое объединение частиц в кластеры. Стало понятно, что именно кластеризация является одним из способов возникновения фракталов в необратимых процессах. Для того, чтобы по достоинству оценить модель ДОА, лучше всего рассмотреть начавшую складываться в последние годы общую феноменологию других кинетических процессов, сопровождающихся переходом из равновесного

состояния в неравновесное.

а. Математическая модель

    Для построения математической модели процесса кристаллизации заметим, что он, как известно, начинается с выделения из пересыщенного раствора зародышей кристаллов. Последующая кристаллизация протекает при дальнейшем охлаждении раствора на уже образовавшихся зародышах. Для получения в процессе кристаллизации крупных кристаллов важно, чтобы

количество  зародышей, образующихся в первый момент, было невелико, так как распределение вновь выделяющихся кристаллов твердых углеводородов при охлаждении раствора на слишком большом числе зародышей приведет к

образованию мелких кристаллов. Количество зародышей  зависит от скорости

охлаждения  раствора: чем выше скорость охлаждения, тем больше кристаллических зародышей образуется в растворе и тем меньшим будет размер образовавшихся кристаллов. Из этого следует, что одним из основных условий образования крупных кристаллов является скорость охлаждения раствора.

    Кроме того, мы будем исходить из того, что  скорость роста кристаллов (в г/сек) на образовавшихся центрах кристаллизации определяется уравнением И.И. Андреева:

= k S(  x -  x ′)             (1)

  — количество вещества, выкристаллизовавшегося в единицу времени;

k — коэффициент, зависящий от диффузии молекул, достигших насыщения

(d), и средней длины диффузионного пути (δ); k = d / δ;

S — поверхность выделившейся твердой фазы;

х — концентрация пересыщенного раствора;

х' — растворимость зародышей кристаллов при данной степени их дисперсности.

    В целях большей наглядности и  уменьшения машинного времени целесообразно построить сначала двумерную модель кристаллизации. При этом будем исходить из предположения, что скорость охлаждения высокая, по крайней мере, достаточная для того, чтобы пренебречь растворимостью х' в (1). Такое же допущение мы сделаем при построении и трехмерной модели (именно она наиболее удобна для прямого сравнения с экспериментами). С помощью численного моделирования следует изучить сначала модель вида «частица — кластер», а затем более сложную модель «кластер — кластер», которые были предметом интенсивных исследований в 80-х годах прошлого столетия.

    Модель  «частица — кластер» очень проста: совершающие случайное блуждание частицы парафина в результате аккреции образуют кластер, приходя поодиночке издали и присоединяясь либо к точечному центру кристаллизации, либо к ранее аккретировавшим в кластер частицам. Интенсивные компьютерные исследования показали [2, 7], что в результате такого процесса образуются сложные разветвленные фракталы. Адекватность такой модели основана на возникшем в последнее время достаточно ясном понимании того, что дендриты, подобные образующимся при кристаллизации, или при пробоях диэлектрических материалов, или в минералах типа псиломелана (рис. 10) тождественны дендритам, вырастающих при ДОА. 
 

Рисунок 10. Псиломелан

б. Правила моделирования

    Модель  «частица — кластер» (рис. 12) на квадратной решетке размером L × L, L = 10 ÷ 1000, при этом должны выполняться следующие правила:

    Правило 1 первоначально имеется единственный точечный зародыш, который представляет собой центральную клетку решетки;

      Правило  2 частица определяется как квадратная клетка с единичной стороной; частица стартует из случайной клетки на краю решетки и совершает случайное блуждание по решетке до тех пор, пока она не соприкоснется одной из частиц кластера или группы соседствующих частиц;

    Правило   3 процесс прекращается, как только кластер достигает в своем росте края решетки. 
 

Рисунок 11. Модельные дендриты 

Первое  правило моделирует рост только одного кластера. Правило второе

допускает только древовидные кластеры и не разрешает появление петель.

Заключительное  правило необходимо для остановки  численного моделирования.

    Применяемая модель обладает рядом достоинств. Численный метод прост и эффективен. Модель позволяет легко воспроизводить сравнительно

сложные геометрии. Кроме того, флуктуации, всегда присутствующие в любой термодинамической системе (и играющие важную роль в процессе роста), естественно, могут быть включены через случайные блуждания частиц. Наконец, модель может быть легко модифицирована с тем, чтобы учесть различные экспериментальные условия. Например, эффекты анизотропного поверхностного натяжения или наложенный на систему градиент температуры могут быть непосредственно воспроизведены в модели.  
 

Рисунок 12. Кластер в модели ДОА 

в. Дендритный рост

    Для воспроизведения дендритного роста  можно использовать модель ДОА с одной затравочной частицей в центре квадратной решетки. При этом присоединение частицы может быть слабым — одна-единственная связь с кластером, средним — 2 связи, сильным — 3 связи. Число связей мы определим как число вершин частицы, соприкасающиеся с кластером. Легко доказать, что в этой модели число связей не может превышать 3.

    При ДОА отдельные частицы после  некоторых случайных блужданий

оседают на агрегате, порождая случайные фракталы, которые моделируют рост парафиновых дендритов в нефти. Для них характерна древовидная структура с многочисленными «фьордами» на многих размерных масштабах. Причина образования подобных структур при ДОА заключается в том, что блуждающая частица оседает, как правило, вблизи выступа фрактала, а не в глубине фьорда. Вероятность проникновения в глубокий фьорд чрезвычайно мала. Глубокие же фьорды наших узоров на рис. 11 и 12 хорошо экранированы и поэтому либо растут очень медленно, либо не растут вовсе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Примеры построенных моделей  роста дендритов

    Существует  много способов моделирования роста  дендритов. Вот только некоторые  из них, которые были построены.

    Модель  роста дендрита при нефтедобыче, в минералогии или металлургии  можно представить и запрограммировать  как следующий процесс: дендрит  растет из точечного зародыша в центре. Частица, совершающая случайные  блуждания, движется из наугад выбранной  точки на большой окружности, проведенной  вокруг дендрита. Случайным образом  рассчитывается траектория движения этой частицы, продвигающейся от окружности в ее центру. Соприкасаясь с дендритом, блуждающая частица прилипает к нему, после чего из новой случайно выбранной точки начинает случайным образом двигаться новая частица. И так далее. Такой вид имеют комплексы атомов золота и "пальцы", получающиеся в пористой среде при вытеснении нефти водой. Модель такого дендрита, похожего на лишайник в кружочке, приведенную на рисунке, сделал, например, на языке Turbo Pascal ученик 10а класса гуманитарно-естественного лицея No41 г. Ижевска Антон Бобыкин (преподаватель - Шухардина В.А., консультант - к. ф.-м. н. Кулагин А.В.).  
 
 
 
 
 
 
 

    Рис. 13 Модель дендрита, построенная на языке Turbo Pascal

    В 1994 году на международном фестивале Interactive Media Festival, проводимом в Америке, был представлен проект, который вошел в каталог выставки под названием "Дендритовый лес". В целом фестиваль посвящен интерактивным системам художественного, научного и прикладного назначения, создаваемым с помощью средств мультимедиа самого современного типа. Вот как работает интересующий нас проект, эта захватывающая система виртуальной реальности, использующая текст, музыку, натурные съемки при активном участии человека. Вам дается возможность путешествия внутрь собственного мозга. Судя по авторскому описанию проекта, это делается с помощью датчиков, перехватывающих информацию, связанную с теми самыми чувствительными отростками нервных клеток, которые в медицине тоже называют дендритами.

    На  первом этапе каждый человек из группы пользователей системы носит  специальный шлем с датчиками, подсоединенный к компьютеру. Данные об импульсах, передаваемых датчиками, трансформируются системой в цветную мультипликацию и каждый пользователь может "наблюдать" движение своих идей на мониторе в виде объемного красивого графика своих "интеллектуальных осцилляций". Построение каждого графика сопровождается личным музыкальным рядом, подаваемым в наушники каждому игроку. Пользователям даются некие задания для загрузки ума и психики: цель каждого игрока - контролировать стабильность своего графика и музыкального ряда. Средства контроля: сосредоточение, активная стабильная работа мозга, творческое состояние. Выигрывает игрок наиболее творческий, психически и интеллектуально стабильный и способный сосредоточиться.  
 
 
 

    Рис. 14 "Дендритовый лес"

    Второй  этап: игроки должны начать сотрудничать. Поощряется игра, совместное творчество, используются различные техники  групповой работы. Звук и изображение  на мониторе меняются в соответствии с творческим запалом, организованностью и психологической комфортностью всей группы. Графическое отображение деятельности группы пользователей на мониторе мультимедийная система дает в виде группы объемных графиков функций, изменяющихся на общей временной оси. Эта картина и представляет собой тот самый "Дендритовый лес": в интерпретации данной системы графического вывода это очень похоже по форме на кристаллические формы хрусталя (см. рис. 14).

    Итак, конечно, по техническому совершенству и эффективности воздействия  на зрителя дендрит, созданный ученической  программой на Turbo Pascal'е, намного уступает мультимедийному объемному изображению групповой мозговой атаки. Однако идея одна на оба проекта: развитие дендритов. На уровне владения техническими приспособлениями "ижевский" ученик проигрывает профессиональным авторам мультимедиа-установки со шлемами и датчиками, но на уровне знания о природе вещей - в данном случае дендритовых структур - они вполне могут оказаться на равных.

Заключение 

    В работе рассмотрен комплекс вопросов, касающихся механизма образования дендритов. На примере образования дендритов в металлах, нефти показано применение современных математических методов наглядного моделирования кристаллизации с учетом теории кластеров и фракталов, приведены примеры моделей и их структур. Физическая составляющая моделирования стремится в предметной области ответить на исследовательский вопрос, как происходит рост дендритов, образованных во время формирования модели, математическая составляющая дает возможность построить и изучить численную модель, дающую представление о механизмах и причинах роста кристаллов. С дидактической точки зрения для технологического использования важны аспекты адекватной интерпретации достигнутых результатов в терминах физической модели, некоторые полученные численные характеристики, а также предложенные направления исследований по доведению до опытного, а затем промышленного применения.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература 

1. Шаскольская М.П. Кристаллы. М.: Наука, 1978.
2. Шубников А.В., Первов В. Ф. Зарождение и рост кристаллов. М.: Наука, 1969.
3. Чалмерс Б. Теория затвердевания. М.: Металлургия, 1968.
4. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея — Бенара. Структуры и динамика.— М.:
5. Эдиториал УРСС, 1999.— 248 с.
6. Казакова Л.П. Твердые углеводороды нефти. — М.: Химия, 1986.— 176 с.
7. Сандер Л. Континуальная ДОА: случайный фрактальный рост, порождаемый

детерминистической  моделью / Фракталы в физике. Труды VI

международного  симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9 – 12 июля 1985). — М.: Мир, 1988.— С. 336 – 344.

8. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы.— М.: Институт

компьютерных  исследований, 2002.— 656 с.

9. Подготовка учителя математики: инновационные подходы: Учеб. пособие /

под ред. В.Д. Шадрикова.— М.: Гардарики, 2002.— 383 с.