Моделирование объекта управления

1. Моделирование объекта управления

1.1. Статические характеристики и модели объекта управления

 

Объекты управления, за исключением  самых примитивных, состоят из нескольких или многих элементов, взаимодействующих  между собой. При моделировании  объекта, для упрощения работы, целесообразно  выделить в его структуре элементы, взаимодействующие друг с другом однонаправлено, описать (промоделировать) их отдельно, а затем получить модель всего объекта объединением моделей  элементов.

При нормально отлаженном производственном процессе САР основную часть времени работает в установившемся режиме. При этом объект управления, прежде всего, проявляется своими статическими свойствами, тем как он ведет себя при постоянных или очень медленно меняющихся воздействиях. Инерционно-динамические свойства объекта в установившемся режиме работы САР проявляются сравнительно не сильно, в отличие от переходного  режима работы.

Поэтому очень важно  иметь статическую характеристику объекта управления, чтобы построить  полную модель объекта в статике. Особенность реальных объектов управления состоит в том, что они могут  иметь несколько входных воздействий (управляющих и возмущающих величин), а также несколько выходных, управляемых. То есть  управляемые величины объекта представляют собой функции нескольких переменных и эти функции, как правило, нелинейные. Традиционные аналитические методы описания и моделирования таких многомерных нелинейных объектов довольно трудоемки и не применялись широко в инженерной практике. Традиционно объект старались как можно быстрее линеаризовать, а потом исследовать и оптимизировать относительно его работы по приращениям воздействий в выбранной рабочей точке.

С появлением в арсенале инженера компьютерных программ объектно - ориентированного моделирования (ООМ), например VisSim, ПК «МВТУ», Simulink и др., появилась возможность моделирования многомерных нелинейных объектов в полном объеме при относительно малой трудоемкости этих работ.

Двумерную статическую  характеристику объекта управления можно задать графически в виде семейства  линий, таблицей или двумерной аналитической  функцией, а также представить  в трехмерном пространстве.

 Статические характеристики очень многих нелинейных объектов управления в довольно широкой окрестности рабочей точки являются монотонными. Поэтому можно выделить два основных типа статических характеристик: монотонно возрастающие и монотонно убывающие. Это обстоятельство является существенным при линеаризации моделей, когда дифференциальный коэффициент усиления (статический коэффициент линейной модели) соответствующей ветви модели объекта может быть не только положительным, но и отрицательным. При управлении объектом, имеющим отрицательный коэффициент усиления по каналу управления, это следует учитывать, изменяя на противоположный знак ошибки регулирования.

 

1. Построение статических характеристик устройства формирования высоты слоя окатышей (УФВСО)

 

В качестве объекта управления выбрана часть оборудования обжиговой печи, включающая в себя устройство формирования высоты слоя окатышей (УФВСО), распределяющее ровным слоем окатыши по ширине ленты конвейера, и его привод (ДПТ с редуктором) (рис. 1). Регулирующим органом в этом случае является управляемый выпрямитель, подающий напряжение на якорь ДПТ. Такой выбор, в общем-то, произволен и определяется удобством описания объекта: в качестве объекта управления могло бы быть выбрано просто УФВСО. Тогда его управляющей величиной была бы скорость движения ленты конвейера, а регулирующим органом - ДПТ.

 

Рис. 1. Детализированная функциональная схема объекта управления САР  ПВСО –

подсистемы подачи окатышей

 

Тем не менее, будем считать  для определенности, что объект управления это УФВСО плюс его привод. Привод (ДПТ с редуктором) и УФВСО в  объекте включены последовательно. Поэтому рассмотрим модель объекта управления по частям.

УФВСО это нелинейное безинерционное звено.

Особенностью рассматриваемого звена (УФВСО) является то, что его двумерную статическую характеристику можно получить аналитически.

В качестве исходных данных взяты технические характеристики обжиговой конвейерной машины ОК-108 (Таблица 1)[3]. Вычисления и построение графиков выполнены в пакете Mathcad и представлены на рис.3.2.

Получив аналитическое  выражение нелинейной двумерной  статической характеристики УФВСО  можно перейти к построению графиков статических характеристик устройства отдельно по каналам управления и  возмущения и их линеаризации.

Линеаризация статической  характеристики необходима для построения линейной модели САР. Эта модель позволит оптимизировать регулятор САР.

В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение  о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (x) изменяются так, что их отклонения от установившихся значений (x⁰) остаются во времени достаточно малыми (рис. 3.3). Данное условие для САУ обычно выполняется, так как этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы [9].

 

 

 

Рис. 3. 2. Вывод формулы нелинейной двумерной статической характеристики

               устройства формирования высоты слоя окатышей

 

Рис. 3.3. К вопросу линеаризации 

 

Суть линеаризации заключается  в том, что для выбранной рабочей  точки, часто соответствующей номинальному режиму работы объекта управления, строится модель, отражающая реакцию  объекта (изменение управляемой  величины) на малое и очень медленное  приращение воздействий. При наличие гладкой функции двух переменных H(P,V), описывающей статическую зависимость изменения высоты слоя окатышей  (H) от скорости подачи окатышей (P) и скорости движения конвейера (V) линеаризация основывается на вычислении дифференциала статической характеристики в рабочей точке при Pp и Vp, за счет использования первых членов разложения функции в ряд Тейлора [10]:

                       

                                                                 _(3.1)

где: и   - частные производные  от функции  H (P,V), вы-

                                             численные при P = Pp и V = Vр  (рабочая точка).

 

Анализ выражения показывает, что при таких приращениях  воздействий  (ΔP и ΔV) изменение управляемой величины (H) пропорционально изменению воздействия. В этом суть линеаризации: для малых приращений объект по каждому из воздействий превращается в отдельное пропорциональное звено, а общая реакция на совокупность изменений управляющей и возмущающей величин находится как сумма соответствующих им изменений управляемой величины.

Таким образом, статический  коэффициент усиления линейной модели элемента САР или объекта управления это дифференциальный коэффициент  усиления элемента по отдельному воздействию, определенный для некоторой рабочей  точки объекта. Для линейной модели нелинейного элемента с несколькими  входными величинами и одной выходной справедлив принцип суперпозиции реакций  объекта.

Возможно применение и графической интерпретации рассматриваемого метода линеаризации, используя полученные графики статических характеристик УФВСО (рис. 3.4). Для обжиговой печи выберем рабочую точку, соответствующую скорости загрузки 100 т/час и скорости ленты конвейера 1.4 м/мин, что дает высоту слоя H равную 360 мм (рис. 3.4).

Приращения высоты слоя окатышей, вызванные приращениями воздействий, определяют коэффициенты усиления устройства по соответствующим параметрам.

По верхнему семейству  характеристик (рис. 3.4) определяется статический  коэффициент усиления УФВСО в  рабочей точке по каналу управления (скорости конвейера):

k_ск = - 250 мм/(м/мин), а по нижнему семейству характеристик определяется статический коэффициент усиления устройства по каналу возмущения (подаче окатышей): k_ок = 3.5 мм/(т/час).

Особенность УФВСО в том, что его статические характеристики по каналу управления являются убывающими. Убывание это сравнительно плавное, с относительно малым изменением крутизны, что может позволить линеаризовать характеристики в рабочей точке с экстраполяцией на прилежащую область.

Наконец, MathCAD позволяет представить двумерную статическую характеристику в трехмерном пространстве (рис. 3.5).   Такое изображение 2D-статической характеристики позволяет показать как рабочую точку, так и линию оптимального управления (линия пересечения статической характеристики и плоскости Н = 360 мм), отображающую правильное соотношение между подачей окатышей и скоростью ленты, обеспечивающее требуемое значение высоты слоя окатышей.

 

Рис. 3. 4. Двумерные графики нелинейной статической характеристики

                устройства формирования высоты  слоя окатышей 

 

Рис. 3. 5. Пространственные графики двумерной нелинейной 2D - статической

                характеристики устройства формирования высоты слоя окатышей

                

3.1.1.2. Линейная  статическая модель устройства  формирования 

             высоты  слоя окатышей (УФВСО)

Учитывая полученные выше коэффициенты усиления по каналам управления и  возмущения, линейная статическая модель устройства формирования высоты слоя окатышей (УФВСО), при линеаризации в рабочей точке, примет вид (рис. 3.6):

Рис. 3.6. Линейная статическая модель устройства формирования высоты слоя  окатышей (УФВСО)

                 

Эта модель - поведенческая. Она показывает, как влияют в статике  управляющая величина и возмущение на управляемую величину, но не отражает внутреннюю структуру объекта, а значит и взаимодействие между этими элементами. И это вовсе не является недостатком модели, это ее свойство. Просто ее нужно применять там, где удобно, где и не требуется знание внутренних взаимодействий.

3.1.1.3. Нелинейная  статическая модель устройства  формирования

             высоты слоя окатышей (УФВСО)

 

Нелинейная модель значительно  более полно описывает реальный объект управления. Линейная модель адекватна в области рабочей точки, т.е. может характеризовать свойства САР и поведение объекта управления в переходном и установившемся режимах при относительно малых и медленных возмущениях, т.е. в процессе нормальной работы САР. Нелинейная модель может правильно показать, как поведет себя САР и объект далеко от рабочей точки (номинального режима), например при запуске технологического процесса с нуля.

 

3.1.1.4. Статическая  модель двигателя постоянного  тока 

 

Первым из двух элементов  объекта управления - подсистемы загрузки окатышей в обжиговую печь является привод: исполнительный электродвигатель с редуктором, преобразующим с точки зрения управления частоту вращения вала в скорость ленты конвейера (см. рис. 3.1). Обычно для приводов ленты конвейера обжиговых машин применяют двигатели постоянного тока (ДПТ) независимого или параллельного возбуждения в продуваемом исполнении [3].

ДПТ широко используются в  качестве как самостоятельных объектов управления в системах автоматизированного  электропривода, так и элементов  этих объектов, а также и как  исполнительные механизмы и регулирующие органы. Поэтому имеет смысл рассмотреть  модель ДПТ отдельно, а затем включить ее в модель объекта управления вместе с УФВСО.

3.1.1.5. Статическая  модель объекта управления САР высоты слоя окатышей

 

              Учитывая, что подсистема формирования слоя окатышей это, как было показано выше (рис. 3.1), совокупная модель ДПТ и УФВСО, включенных последовательно, можно сформировать нелинейную статическую модель объекта управления  САР (рис.3.21а, б).

 

 

Рис. 3.21а. Статическая модель подсистемы подачи окатышей (УФВСО с приводом)      

 

Рис. 3.21б. Статическая модель подсистемы подачи окатышей (УФВСО с приводом),       но заключенная в составной блок

 

Используя нелинейную статическую  модель подсистемы подачи окатышей выполним эксперимент для получения ее статических  характеристик по каналам  управления и возмущения (рис.3.22).

 

Рис. 3.22. Статические характеристики объекта управления САР стабилизации высоты слоя окатышей. Характеристики по управлению имеют отрицательный наклон и слабо выраженную нелинейность, что в принципе может позволить аппроксимировать их прямыми линиями

 

              Полученные характеристики позволяют  линеаризовать подсистему формирования  слоя окатышей и в статике  описать ее уравнениями: 

                   

                             (3.7.)

                          или для приращений в рабочей  точке

                         

3.1.2. Динамические  характеристики и модели объекта  управления 

               Динамическая модель УФВСО - та  же самая, что и статическая,  поскольку это устройство в  данном рассмотрении безинерционное. Поэтому динамические характеристики объекта управления будет в данном случае определять только входящий в него ДПТ.

3.1.2.1. Динамические  модели ДПТ

 

Динамическая  модель характеризует работу объекта не только в статике, го и при быстро изменяющихся воздействиях, поэтому такая модель более универсальна.

Идентифицировать объект управления, в частности, ДПТ, можно  двумя методами:

• теоретическим, путем построения его аналитической математической модели, опирающейся на физические законы, которым подчиняются взаимосвязанные и взаимодействующие элементы идентифицируемого объекта. Такую модель можно назвать структурно-динамической;

экспериментальным, когда  модель строится по результатам анализа  отклика идентифицируемого объекта  на некоторые пробные, в том числе  типовые, воздействия. Такую модель можно назвать поведенческой.

. Полная  динамическая нелинейная модель  ОУ САР высоты 

             слоя окатышей

 Используя полученные модели ДПТ и УФСО сформируем полную динамическую нелинейную модель объекта управления САР – системы формирования слоя окатышей (рис. 3.25).

В качестве значения момента инерции, приведенного к валу ДПТ, взята величина равная 8.75 кг*м², полученная из следующих соображений. Из [25] известно, что при использовании в обжиговой машине электродвигателя с n = 1500 об/мин и J = 1 кг*м² , при скорости перемещения ленты конвейера 1.4 м/мин  суммарный момент инерции, приведенный к валу ДПТ составляет  Jпр  ≈ 20 кг*м². Тогда с учетом выражения [26]:

      (3.9)         величина Jпр составит 8.75 кг*м².

Из анализа графиков  рис.3.26 видно, что уменьшение скорости подачи окатышей на 10 т/час приводит при неизменной скорости конвейера к немедленному уменьшению высоты слоя на 39 мм. Это уменьшение постепенно компенсируется ступенчатым уменьшением напряжения на 22 В.

                Таким образом, моделью объекта  управления можно управлять в  ручном режиме, исследуя его поведение. 

Рис. 3.25. Полная нелинейная модель системы  формирования слоя окатышей и  свертка  ее в составной блок

Рис. 3. 26. Динамика системы формирования слоя окатышей - объекта управления САРстабилизации высоты слоя

 

Примечание. При исследовании динамики СФСО учтено следующее.

В соответствии с правилами  эксплуатации печи [3]  подача сырых окатышей на обжиговую ленту осуществляется  при заблаговременно включенном приводе и при достижении в горне заданной температуры.  С учетом того, что разгон ленты завершается  в моделируемой системе примерно к исходу 1-й секунды  (рис. 3.26 – осциллограф “Скорость конвейера”), подача окатышей  и формирование нагрузки на ДПТ начинаются с задержкой в 1 секунду. Это, в частности, позволяет избежать чрезмерного перерегулирования по высоте слоя в начальный момент времени в случае одновременного пуска ДПТ и подачи окатышей (см. формулу двумерной статической характеристики H(P,V) = 5.055*P/V).

3.1.2.3. Линейная  динамическая модель ОУ

 

Линейная динамическая модель применяется при использовании  традиционных методов оптимизации регуляторов САР. Она строится аналогично схеме рис. 3.25 с тем отличием, что вместо нелинейной модели УФСО применяется линейная, полученная для рабочей точки.

Выводы

              Таким образом, построены несколько моделей объекта управления. Основные из них это статическая, механодинамическая и динамическая. Каждая из моделей выполнена в двух вариантах: структурно-физическом и поведенческом. Первый вариант позволяет взглянуть в процессе работы модели внутрь объекта, определить, например величины токов якоря, вращающий момент. Если этого не требуется, то достаточно воспользоваться поведенческой моделью, которая в САР будет вести себя точно так же, как и полная модель. Остается построить, оптимизировать и исследовать поведение САР.

3.2. САР поддержания высоты  слоя окатышей, подаваемых в обжиговую  печь

3.2.1. Схема САР  поддержания высоты слоя окатышей (ПВСО)

 

              Построим САР по классическому  принципу управления по отклонению. При этом в контур, наряду с  объектом управления войдут исполнительное  устройство, которым будет управляемый  тиристорный выпрямитель, а также регулятор, устройство сравнения и датчик высоты слоя окатышей.

Выбор и обоснование  типов, параметров и характеристик  звеньев осуществлены в процессе построения структурной модели САР рис. 3.27. Порядок рассмотрения элементов проведен от печи (объекта управления) по контуру во встречном направлении.

Объект управления САР – система формирования слоя (подсистема подачи) окатышей промоделирован ранее в предыдущем подразделе.

Управляемый тиристорный выпрямитель (УТВ) - выбирается по каталогам исходя из мощности необходимой для питания выбранного ранее двигателя (20 кВт). С точки зрения статики УТВ представляет собой нелинейность типа усиление с ограничением, его выходное напряжение должно меняться линейно в пределах 200 - 240 В, что обеспечит скорость конвейера во всем диапазоне, от 1.3  до 1.5 м/мин. При этом выходное напряжение достигает максимального значения, равного в данном случае, для уже выбранных выпрямителя и ДПТ, 240 В, при уровне входного управляющего напряжения, равного 10 В.

С точки зрения динамики тиристорный выпрямитель рассматривается [26] как звено с запаздыванием или приблизительно как апериодическое звено с передаточной функцией

                                         .                                           (3.10)

Выберем значение постоянной времени T_тв = 0.01 с [26]. Тогда выпрямитель можно промоделировать двумя последовательно включенными блоками. Во первых, нелинейным блоком с нелинейностью типа усиление с ограничением. Уровни ограничения задаем в 240 и 200 В, с тем, чтобы иметь возможность пропорционально изменять скорость конвейера во всем диапазоне, от 1.3  до 1.5 м/мин. В Vissim'е выпрямитель смоделирован нелинейным блоком limit (Nonlinear), с помощью которого заданы границы диапазона изменения выходного напряжения. Второй блок transferFunction (Linear System) моделирует апериодическое звено с постоянной времени T_тв = 0.01с и коэффициентом усиления выпрямителя, как было показано выше, равным k_В = 240 В/ 10 В = 24.

 Регулятор. На этой стадии моделирования возьмем предварительно П-регулятор, с коэффициентом усиления, равным единице, а затем, при предварительном исследовании САР, когда модель будет готова, уточним и предварительное значение коэффициента усиления П-регулятора.

 Датчик высоты слоя окатышей и усилитель главной обратной связи.

 Для измерения высоты  слоя окатышей в обжиговых  машинах применяются бесконтактные  емкостные измерители [3] и датчики, выполненные в виде профилированного лекала, скользящего по слою окатышей и связанного с индикатором угла поворота оси лекала. Следует отметить, что последний тип датчика подвержен сильному износу от трения о контролируемый материал и обладают значительной погрешностью при появлении люфтов и заеданий в кинематических узлах.

Более предпочтительными  с точки зрения надежности при  достаточной точности (погрешность 3-4 %) являются емкостные измерители. Чувствительным элементом емкостного измерителя выступает конденсатор, обкладками которого служат металлическая  пластина, укрепленная над контролируемым слоем, и поверхность самого слоя. При изменении высоты слоя окатышей H емкость изменяется в соответствии с уравнением , где К- коэффициент, учитывающий размеры пластины датчика, h₀ – высота установки пластины. Схемотехнические решения обеспечивают линейность характеристик емкостного измерителя. С учетом скорости протекания технологического процесса емкостной измеритель можно считать безинерционным звеном.

 Для повышения наглядности модели САР в обратную связь последовательно с датчиком введем усилитель, с таким усилением, что общее усиление обратной связи станет равным единице. Это позволит задавать задание на входе САР непосредственно в миллиметрах.

Устройство сравнения традиционно моделируется алгебраическим сумматором. Его выходной сигнал – ошибка регулирования, выраженная в данном случае в мм, что понятно технологу и удобно при исследовании САР и настройке ее регулятора.

Особенностью проектируемой  САР является отрицательный наклон статических характеристик объекта  управления по напряжению на якоре  двигателя. Для учета этого обстоятельства, с тем чтобы обеспечить отрицательность  обратной связи, следует ввести инвертирование знака выходного сигнала устройства сравнения, т.е. ошибки регулирования.

              В результате модель САР примет вид, представленный на рис. 3.27 (см. ниже), где в качестве регулятора предварительно используется П- регулятор.

 

3.2.2. Оптимизация  структуры и параметров регулятора  САР 

3.2.2.1. Оптимизация П-регулятора

Классическая методика оптимизации  коэффициента усиления П-регулятора САР состоит в следующем:

• Линеаризовать элементы САР;
• Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутого контура линеаризованной САР;

• Задать хорошие запасы устойчивости по фазе и амплитуде изменением коэффициента усиления контура.

               Отсюда определяется приближенное  значение усиления П-регулятора, которое затем можно уточнить методом целенаправленного подбора усиления для получения требуемого перерегулирования.

Имея в распоряжении программу ООМ (объектно-ориентированного моделирования) Vissim, проектировщик САР может вместо достаточно громоздких аналитических способов оптимизации регуляторов, в относительно простых случаях воспользоваться методом направленного поиска (проб и ошибок) при определении оптимального значения параметра регулятора.

Зададим номинальные значения задания и возмущения в нелинейной модели САР с тем, чтобы объект находился в рабочей точке  линеаризации. А затем подадим  сравнительно малые приращения задания  и возмущения (на +10 мм и -3 т/час соответственно), определенные методом проб, что позволит САР работать по этим приращениям в линейном режиме. Для того чтобы различать реакцию САР на эти приращения воздействий, подадим их в разное время, со смещением по времени друг относительно друга.

Примечание. Определение величин приращений требует определенной интуиции, с тем, чтобы обеспечить линейность по ним САР. Пределы допустимых значений таких приращений можно определить экспериментально, начиная с очень малых значений и последовательно увеличивая их до тех пор, пока не проявится нелинейность. Последнее можно определить по качественному изменению характера переходных процессов.

Остается, во-первых, варьируя значение коэффициента усиления П - регулятора и запуская моделирование, вывести САР на границу устойчивости, о чем будет свидетельствовать наличие колебаний в выходном сигнале очень медленно затухающих или возрастающих в течение нескольких периодов: (рис.3.27):

               Во-вторых, для обеспечения запаса устойчивости по амплитуде следует уменьшить коэффициент усиления П- регулятора в 2 - 10 раз.

             Запуская моделирование, можно  непосредственно убедиться, что  уменьшение коэффициента усиления  П- регулятора ниже 0.34 выводит систему за границу линейности. Поэтому ограничимся уменьшением коэффициента усиления в два с половиной раза (что тоже самое на 8 дБ = 20lg(2.5)) с 0.85 - критического, до 0.34 (0.85/2.5=0.34).

Рис. 3.27. САР стабилизации высоты слоя окатышей с П-регулятором на границе устойчивости. Критический коэффициент усиления П-регулятора оказался равным 0.85. Колебания в контуре, вызванные ступенчатыми изменениями задания и возмущения, в течение многих периодов затухают очень слабо. Знак минус коэффициента усиления П- регулятора учитывает отрицательный наклон статической характеристики объекта управления (подсистемы формирования слоя окатышей) по управляющей величине - напряжению на якоре ДПТ

 

Для исследования динамики САР со скорректированным коэффициентом  усиления П – регулятора сформирована модель  в приложении Simulink (рис.3.28).

 

Рис. 3.28. САР стабилизации высоты слоя окатышей с “оптимальным” П- регулятором

 

Анализ результатов показывает, что качество стабилизации очень  низкое: ошибка установившегося режима составляет 7% задания, что свидетельствует о недостаточной величине статического коэффициента усиления контура. Но увеличение последнего невозможно, т.к. это приводит к уменьшению запаса устойчивости по амплитуде менее критического значения 8 дБ. Т. е. используя П- регулятор выполнить требования по хорошему качеству регулирования не возможно. Поэтому придется проверить, справится ли с задачей стабилизации ПИ-регулятор, более совершенный, чем П-регулятор.

3.2.2.2. Введение и  оптимизация ПИ-регулятора

            

Выходной сигнал ПИ-регулятора пропорционален взвешенной сумме входного сигнала и интеграла от него. В  соответствии с этим алгоритмом строится так называемая параллельная модель ПИ-регулятора (рис.3.29). Часто используется и альтернативная эквивалентная  модель, представляющая собой последовательное соединение интегратора и форсирующего звена.