Оценка параметров производственной функции
Министерство образования и науки РФ
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра математической экономики
КУРСОВАЯ РАБОТА
«ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ»
Студентки 3 курса очного отделения 341 группы
механико-математического факультета
Перовой Валерии Сергеевны
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент
Зав. кафедрой
д.ф.-м.н., профессор
Саратов 2012 г.
Содержание
Введение 2
1.Теоретические
аспекты моделирования
1.1. Понятие ПФ 5
1.2. Свойства ПФ 7
1.3.Виды производственных функций 10
2. Прикладное
моделирование
2.1. Используемые средства аппроксимации 12
2.2. Оценка параметров ПФ Кобба-Дугласа и CES для предприятия «СпортЛайф» 14
2.3. Сравнительный
анализ результатов оценки
Заключение……………………………………………………
Список используемой литературы……………………………………………...
Приложения……………………………………………………
Для организации производственного
процесса необходимые факторы
Производственная функция
- это регрессивная модель, показывающая
связь между количеством
Производственная функция занимает важное место в экономической теории как модель, непосредственно относящаяся не к процессу обмена, а к процессу производства, который связан с потреблением различных ресурсов (сырье, энергия, труд, оборудование и т.д.).
Построение производственных функции, то есть выявление фактических технологических взаимосвязей в производстве, является одной из важнейших эконометрических задач. Экономический анализ производства исследует отношение между затратами и выпуском. Это отношение, и определяет максимальный объём выпуска при определенных комбинациях факторов производства.
Исследование производственной
функции применяется в
Оценки параметров производственных функций рассчитывают на основе статистической информации. Эта информация представляет собой результаты единовременного наблюдения за множеством однородных объектов или результаты наблюдения за одним и тем же объектом в разные периоды времени.
В данной работе будут рассмотрены данные по предприятию «СпортЛайф», а именно количество видов услуг (пилатес, йога, силовые тренировки и т.д.), объём тренировок (количество тренировок в неделю) и число обслуживаемых клиентов (в среднем ежедневно тренировавшихся). В качестве фактора L рассмотрим виды услуг, в качестве фактора K - объём тренировок.
Целью данной работы является построение производственных функций Кобба – Дугласа и CES для анализируемых данных, оценка параметров этих функций. В соответствии с целью, задача данной работы – выяснить, какая из двух вышеупомянутых функций является лучшей для аппроксимации.
Для построения производственных функций Кобба – Дугласа и CES будем использовать надстройки MS Excel «Поиск решения» и «Анализ данных».
1.Теоретические аспекты
1.1. Понятие ПФ
Рассмотрение понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае производственная функция – это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции
y=f(x).
В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел. В микроэкономической теории принято считать, что y – максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве x единиц. Более правильной является символика
y=f(x, а),
где а – вектор параметров ПФ.
ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=axb может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течении года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ).
Перейдем теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.
Производственная функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:
y=f(x)=f(x1,…,хn). (1.2)
В формуле (1.2) у (у 0) – скалярная, а х – векторная величина, x1,…,хn --координаты вектора х, то есть f(x1,…,хn) есть числовая функция нескольких переменных x1,…,хn. В связи с этим ПФ f(x1,…,хn) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x1,…,хn,а), где а – вектор параметров ПФ.
Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ f(x1,…,хn) может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).
ПФ y=f(x1,x2) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов:
x1(0), x1(1),…, x1(Т); x2(0), x2(1),…, x2(Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x1(t), x2(t)). Здесь t – номер года, t=0,1,…,Т;
t= 0 – базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.
ПФ называется динамической, если:
- время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины влияющего на объем выпускаемой продукции;
- параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.
При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП , где параметр р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:
Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу:
Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)).
Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.
1.2. Свойства ПФ
Для производства
конкретного продукта
Для определенности ограничимся
производственными функциями
- без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;
- при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;
- с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;
- с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;
- с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;
- при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;
- ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.
Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.
Из рисунка 2 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:
Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS).
Остановимся на некоторых
характеристиках
Эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Сумма + =Е называется эластичностью производства.
1.3.Виды производственных
В зависимости от характера производственного процесса, целей и средств моделирования в качестве ПФ могут использоваться неотрицательные функции весьма разнообразного вида, некоторые из которых приведены в таблице.
Название ПФ |
Двухфакторная ПФ |
Использование |
1.Функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФ Леонтьева) |
Y = min (x1/a1, x2/a2) |
Предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции. Обычно используются для описания мелкомасштабных или полностью автоматизированных производственных объектов. |
2. ПФ Кобба- Дугласа |
Y=f(K, L)=AKaLb |
Используется для описания среднемасштабных объектов (от промышленного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием. |
3. Линейная ПФ |
Y = a1x1+ a2x2 |
Применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, н-х в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий. |
4. ПФ Аллена |
Y = a0x1x2 – a1x12 – a2x22 |
Предназначена для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное влияние на объем выпуска. Обычно используется для описания мелкомасштабных ПС с ограниченными возможностями переработки ресурсов. |
5. ПФ постоянной эластичности замены факторов (ПЭЗ или CES) |
Y=A(b*K-ρ + (1-b)*L-ρ)-γ/ρ. |
Применяется в случаях, когда отсутствует точная информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменяется при изменении объемов вовлекаемых ресурсов. Может быть использована (при наличии средств оценивания параметров) для моделирования систем любого уровня. |
6. ПФ с линейной эластичностью замены факторов (LES) |
Y = x1a0(a1x1 + a2x2)a3 |
Рекомендуется для описания
производственных процессов, у которых
возможность замещения |
7. Функция Солоу |
Может использоваться примерно в тех же ситуациях, что и ПФ ПЭЗ, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок ПЭЗ. Рекомендуется в тех случаях, когда предположение об однородности представляется неоправданным. Может моделировать системы любого масштаба. | |
8. Ограниченная функция ПЭЗ |
Y = min (x1/a1, x2/a2, (a3x1a5+ a4x2a5)a6 |
Предназначена для описания двухрежимного производственного процесса, в котором один из режимов характеризуется отсутствием заменяемости факторов, другой – ненулевой постоянной (но не известной заранее) величиной эластичности замены. Аналогично – ограниченные функции Л-Д, Солоу и др. |
9. Многорежимная функция |
Y = (a11x1a0 + a21x2a0)a1 … (a1kx1a0+ a2kx2a0)ak |
Используется при описании процессов, в которых уровень отдачи каждой новой единицы ресурса скачкообразно меняется в зависимости от соотношения факторов. Целесообразно применять при наличии априорной информации о числе режимов, а иногда и о ширине «переходной» области между режимами. |
10. ПФ ЛП |
Y = min (x1/a11, x2/a12) + … ..+ min (x1/ak1, x2/ak2) |
Имеет смысл использовать в тех случаях, когда выпуск продукции является результатом одновременного функционирования k фиксированных технологий, использующих одни и те же ресурсы. |
В таблице дан перечень наиболее известных классов функций. При этом для простоты приведены лишь их двухфакторные записи, т.е. только для n=2.
Функция CES (или функция с постоянной эластичностью замещения) является обобщением ПФ Кобба – Дугласа. Коэффициент эластичности в функции CES свидетельствует о степени взаимозаменяемости факторов. Для производителя этот коэффициент играет немаловажную роль.
2. Прикладное моделирование
2.1. Используемые средства
Кратко
остановимся на этапах
- спецификация функции f, т.е. выявление общего вида функции f от аргументов с неопределенными параметрами (коэффициентами и показателями степеней при и свободным членом);
- оценка параметров - определение конкретных числовых значений неизвестных параметров.
Картина "расположения" статистических
данных в пространстве затраты-
(2.1)
в случае производственной функции Кобба-Дугласа - в виде
мультипликативной функции
в случае производственной
функции CES - в виде степенного многочлена
и т.д. Здесь являются неизвестными параметрами, подлежащими определению (оценке).
Чаще остальных на практике применяется аппроксимация вида (2.1), называемая линейной регрессией. Для определения ее параметров используется (линейный) метод наименьших квадратов. В некоторых случаях к линейной аппроксимации удается свести и нелинейные относительно ресурсов производственные функции. Например, логарифмируя функцию (2.2) , получим:
Далее, вводя обозначения
приходим к линейной регрессии вида (2.1):
Применяя такой способ, Кобб и Дуглас, на основе изучения статистических данных по расходованию капитала (K), труда (L) и индекса производства (Y) в американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 гг. получили следующую оценку параметров для своей функции:
и, следовательно, их производственная функция выглядела так:
В отличие от функции Кобба-
2.2. Оценка параметров ПФ Кобба-Дугласа и CES для предприятия «СпортЛайф»
При построении производственной функции Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):
1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования
2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(yi), (i=1…N; N – количество наблюдений) и соответствующими оценками .
3) Введем векторы
; ;
;
и матрицу
Тогда критерий можно записать в виде
.
Дифференцируя SSD по вектору Х и приравнивая производную к нулю систему уравнений МНК
или
4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов
где cii – элементы главной диагонали матрицы .
s2 – дисперсия погрешности измерений.
Оценка s2 определяется по формуле
Рассчитывается значение t – параметра
Если полученное значение t больше, чем табличное ta при (N-3-1) степеней свободы, тогда Xi существенно отлично от нуля при уровне a.
Доверительные границы для определяются по формуле
Тогда вероятность того, что величина Xi действительно находится в этих пределах, составит 1–a.
5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:
где .
При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент множественной детерминации
Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.
Мы имеем данные по клубу «СпортЛайф» (таблица 1) относительно количества видов услуг (K) и количества часов в неделю(L). Экономическая спецификация эконометрической модели имеет вид:
,
Или в линейном виде:
Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем логарифмирования получим данные, записанные в таблицу 2 (см. приложение).
Анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа Microsoft Excel, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:
Регрессионная статистика | |
Множественный R |
0,9725408 |
R-квадрат |
0,945835607 |
Нормированный R-квадрат |
0,933799076 |
Стандартная ошибка |
0,037190718 |
Наблюдения |
12 |
Дисперсионный анализ |
||||||||||||||
df |
SS |
MS |
F | |||||||||||
|
2 |
0,217377 |
0,108688 |
78,58041 | ||||||||||
Остаток |
9 |
0,012448 |
0,001383 |
|||||||||||
Итого |
11 |
0,229825 |
||||||||||||
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
||||||||||||
Y-пересечение |
4,969568694 |
0,16523 |
30,07665086 |
|||||||||||
Переменная ln (K) |
0,202384451 |
0,041105 |
4,923627176 |
|||||||||||
Переменная ln (L) |
0,184000337 |
0,057453 |
3,2026375 |
|||||||||||
Данные показатели определяются следующим образом.
R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.
где
QR – сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;
Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней .
В нашем случае R-квадрат близок к 1, что говорит о высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.
Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p:
где
N – число наблюдений (12),
P – число объясняющих переменных (2).
Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:
для регрессии df=M–1=3–1=2,
для остатка df=N–M=12–3=9,
итоговый df=N–M=12–1=11,
где M – число оцениваемых параметров регрессии, N – число наблюдений.
Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.
Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS):
где – условная (групповая) средняя переменной y
Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS):
Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS):
Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием неучтенных случайных факторов ошибок:
F-критерий значимости уравнения регрессии определяется:
F= 78,5804 больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F0,05;2;9= 4.26, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными в регрессионную модель переменными ln(K) и ln(L).
Стандартная ошибка – это оценка стандартного отклонения распределения коэффициента регрессии вокруг его истинного значения.
t-статистика – оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку.
На основании полученных данных
можно вывести функцию Кобба-
На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-Дугласа:
При
построении производственной
Y=A(b*K-ρ + (1-b)*L-ρ)-γ/ρ,
где А > 0 - коэффициент шкалы, b > 0 - коэффициент распределения, - коэффициент замещения, - степень однородности.
На основании полученных данных можно вывести производственную функцию CES:
2.3. Сравнительный анализ
В предыдущей главе нами были построены и рассмотрены два вида производственных функций. Для построения прогноза количества обслуживаемых клиентов для следующего периода необходимо выбрать оптимальную модель производственной функции.
Критерий выбора следующий:
Таким образом, мы выбираем производственную функцию Кобба-Дугласа, которая выглядит следующим образом:
Полученная модель может
быть использована для прогнозирования
будущего количества клиентов на основе
известных или планируемых
В ходе выполнения данной курсовой работы были построены производственные функции Кобба – Дугласа и CES на основе данных, отражающих положение предприятия «СпортЛайф», с использованием стандартного набора факторов, позволяющие оценить и получить некоторое представление о взаимном влиянии объясняемой (Y) и объясняющих переменных (Х1, Х2). Также были оценены параметры этих производственных функций. Построение производственных функций помогло нам рассмотреть эффективность применения определённой комбинации ресурсов.
Для построения прогноза количества обслуживаемых клиентов для следующего периода необходимо было выбрать оптимальную модель производственной функции. Для этого были использованы такие прикладные средства как надстройки MS Excel «Поиск решения» и «Анализ данных» инструмент анализа "Регрессия".
