Пакет символьной математики MathCAD в инженерных расчетах

Министерство  образования Республики Беларусь

УО «Мозырский государственный педагогический университет

имени И.П. Шамякина» 

 
 
Кафедра информатики и методики преподавания информатики 

Курсовая  работа

Пакет символьной математики MathCAD в                            инженерных расчетах 

Выполнил: 
студент 2 курса 2 группы 
инженерно-педагогического 
факультета 
Волынский Леонид

Станиславович 

Научный руководитель: 
старший преподаватель 
Голуб А.А. 
 
 
 
 
 

Оценка научного руководителя:  

      оценка, дата сдачи, подпись 
 

Оценка оформления и сроков 
представления курсовой работы:   

Оценка защиты работы:   

Итоговая оценка:    
 
 

Мозырь 2011

Содержание 

Введение………………………………………………………….…...……….…..3 

1. Работа с пакетом MathCad………………………….……………...….……….5 

2. Описание индивидуальных заданий с анализом их решения…..………….10 

3.Листинги выполнения задания…………………………………………..……13 

Выводы и предложения……………………………………….……...…………21 

Использованная литература…………………………….…….…………..…….22

       ВВЕДЕНИЕ 

       Мы все являемся свидетелями  того, как компьютеры на глазах изменяют нашу жизнь. Облегчение, которое компьютер и созданные для него программы принесли всем людям, работающим за письменным столом, настолько значительны, что прежние методы работы воспринимаются нынче как кошмарный сон. Вот, наконец, и ещё по одному направлению произошёл прорыв. Речь идёт о собственно инженерных расчётах.

     Само  по себе появление компьютеров не упрощало инженерные расчеты, а лишь позволяло резко повысить скорость их выполнения и сложность решаемых задач. Пользователям ПК, прежде чем начинать такие расчеты, нужно было изучать сами компьютеры, языки программирования и довольно сложные методы вычислений, применять и подстраивать под свои цели программы для решения расчетных задач на языках Бейсик или Паскаль. Поневоле ученому и инженеру, физику, химику и математику приходилось становиться программистом.

       Необходимость в этом отпала  лишь после появления интегрированных  математических программных систем  для научно-технических расчетов: Eureka, PC MatLAB, MathCAD, Maple, Mathematica и др. Большое число подобных разработок свидетельствует о значительном интересе к ним во всем мире и бурном развитии компьютерных математических систем.

     Широкую известность и заслуженную популярность еще в середине 80-х годов приобрели  интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса MathCAD, разработанные фирмой MathSoft (США). По сей день они остаются единственными математическими системами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений. Так что системы MathCAD вполне оправдывают аббревиатуру CAD (Computer Aided Design), говорящую о принадлежности к наиболее сложным и продвинутым системам автоматического проектирования — САПР. Можно сказать, что MathCAD — своего рода САПР в математике.

       С момента своего появления  системы класса MathCAD имели удобный  пользовательский интерфейс –  совокупность средств общения  с пользователем в виде масштабируемых  и перемещаемых окон, клавиш и иных элементов. У этой системы есть и эффективные средства типовой научной графики, они просты в применении и интуитивно понятны. Словом, системы MathCAD ориентированы на массового пользователя – от ученика начальных классов до академика.

     MathCAD – математически ориентированные универсальные системы. Помимо собственно вычислений они позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С их помощью можно не только качественно подготовить тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов, дипломных и курсовых проектов, они, кроме того, облегчают набор самых сложных математических формул и дают возможность представления результатов, в изысканном графическом виде.

       Последние версии системы MathCAD дают новые средства для подготовки сложных документов. В них предусмотрено красочное выделение отдельных формул, многовариантный вызов одних документов из других, возможность закрытия "на замок" отдельных частей документов, гипертекстовые и гипермедиа-переходы и т. д. Это позволяет создавать превосходные обучающие программы и целые книги по любым курсам, базирующимся на математическом аппарате. Здесь же реализуется удобное и наглядное объектно-ориентированное программирование сложнейших задач, при котором программа составляется автоматически по заданию пользователя, а само задание формулируется на естественном математическом языке общения с системой.

     Цель  данной курсовой работы: знакомство с  основными возможностями MathCad на примере своего варианта выполнения работы.

     1.Работа с пакетом MathCad 

     Основные  возможности

     Mathcad содержит сотни операторов и  встроенных функций для решения  различных технических задач.  Программа позволяет выполнять  численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

     Среди возможностей Mathcad можно выделить:

     -Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами;

     -Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.);

     -Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте;

     -Выполнение вычислений в символьном режиме;

     -Выполнение операций с векторами и матрицами;

     -Символьное решение систем уравнений;

     -Аппроксимация кривых;

     -Выполнение подпрограмм;

     -Поиск корней многочленов и функций;

     -Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей;

     -Поиск собственных чисел и векторов;

     -Вычисления с единицами измерения;

     -Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров;

     С помощью Mathcad инженеры могут документировать  все вычисления в процессе их проведения. 

     Сравнительная характеристика 

     Назначение

     Mathcad относится к системам компьютерной алгебры, то есть средств автоматизации математических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто Mathcad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Mathematica, MATLAB, а также с их аналогами MuPAD, Scilab, Maxima и др. Впрочем, объективное сравнение осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования.

     Система Maple, например, предназначена главным  образом для выполнения аналитических (символьных) вычислений и имеет для этого один из самых мощных в своем классе арсенал специализированных процедур и функций (более 3000). Такая комплектация для большинства пользователей, которые сталкиваются с необходимостью выполнения математических расчетов среднего уровня сложности, является избыточным. Возможности Maple ориентированы на пользователей — профессиональных математиков; решения задач в среде Maple требует не только умения оперировать какой-либо функции, но и знания методов решения, в нее заложенных: во многих встроенных функциях Maple фигурирует аргумент, задающий метод решения.

     Тоже  самое можно сказать и о Mathematica. Это одна из самых мощных систем, имеет чрезвычайно большую функциональную наполненность (есть даже синтезирование звука). Mathematica обладает высокой скоростью вычислений, но требует изучения довольно необычного языка программирования.

     Разработчики Mathcad сделали ставку на расширение системы  в соответствии с потребностями  пользователя. Для этого назначены дополнительные библиотеки и пакеты расширения, которые можно приобрести отдельно и которые имеют дополнительные функции, встраиваемые в систему при установке, а также электронные книги с описанием методов решения специфических задач, с примерами действующих алгоритмов и документов, которые можно использовать непосредственно в собственных расчетах. Кроме того, в случае необходимости и при условии наличия навыков программирования в C, есть возможность создания собственных функций и их прикрепления к ядру системы через механизм DLL.

     Mathcad, в отличие от Maple, изначально создавался  для численного решения математических  задач, он ориентирован на решение  задач именно прикладной, а не  теоретической математики, когда  нужно получить результат без  углубления в математическую суть задачи. Впрочем, для тех, кому нужны символьные вычисления и предназначено интегрированное ядро Maple (с версии 14 — MuPAD). Особенно это полезно, когда речь идет о создании документов образовательного назначения, когда необходимо продемонстрировать построение математической модели, исходя из физической картины процесса или явления. Символьное ядро Mathcad, в отличие от оригинального Maple (MuPAD) искусственно ограничено (доступно около 300 функций), но этого в большинстве случаев вполне достаточно для решения задач инженерного характера.

     Более того, опытные пользователи Mathcad обнаружили, что в версиях до 13 включительно есть возможность не слишком сложным  способом задействовать почти весь функциональный арсенал ядра Maple (так  называемые «недокументированные возможности»), что приближает вычислительную мощность Mathcad к Maple. 

     Интерфейс

     Основное  отличие Mathcad от аналогичных программ — это графический, а не текстовый  режим ввода выражений. Для набора команд, функций, формул можно использовать как клавиатуру, так и кнопки на многочисленных специальных панелях инструментов. В любом случае — формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. То есть особой подготовки для набора формул не нужно. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде. Обычные формулы вычисляются слева направо и сверху вниз (подобно чтению текста). Любые переменные, формулы, параметры можно изменять, наблюдая воочию соответствующие изменения результата. Это дает возможность организации действительности интерактивных вычислительных документов.

     В других программах (Maple, MuPAD, Mathematica) вычисления осуществляются в режиме программного интерпретатора, который трансформирует в формулы введенные в виде текста команды. Maple своим интерфейсом ориентирован на тех пользователей, кто уже имеет навыки программирования в среде традиционных языков с введением сложных формул в текстовом режиме. Для пользования Mathcad можно вообще не быть знакомым с программированием в том или ином виде.

     Mathcad задумывался как средство программирования без программирования, но, если возникает такая потребность — Mathcad имеет довольно простые для усвоения инструменты программирования, позволяющие, впрочем, строить весьма сложные алгоритмы, к чему прибегают, когда встроенных средств решения задачи не хватает, а также когда необходимо выполнять серийные расчеты.

     Отдельно  следует отметить возможность использования  в расчетах Mathcad величин с размерностями, причем можно выбрать систему  единиц: СИ, СГС, МКС, английскую или  построить собственную. Результаты вычислений, разумеется, также получают соответствующую размерность. Польза от такой возможности трудно переоценить, поскольку значительно упрощается отслеживание ошибок в расчетах, особенно в физических и инженерных. 

     Графика

     В среде Mathcad фактически нет графиков функций в математическом понимании термина, а есть визуализация данных, находящихся в векторах и матрицах (то есть осуществляется построение как линий так и поверхностей по точкам с интерполяцией), хотя пользователь может об этом и не знать, поскольку у него есть возможность использования непосредственно функций одной или двух переменных для построения графиков или поверхностей соответственно. Так или иначе, механизм визуализации Mathcad значительно уступает таковому у Maple, где достаточно иметь только вид функции, чтобы построить график или поверхность любого уровня сложности. По сравнению с Maple, графика Mathcad имеет еще такие недостатки, как: невозможность построения поверхностей, заданных параметрически, с непрямоугольной областью определения двух параметров; создание и форматирование графиков только через меню, что ограничивает возможности программного управления параметрами графики.

Однако  следует помнить об основной области  применения Mathcad — для задач инженерного  характера и создание учебных интерактивных документов, возможностей визуализации вполне достаточно. Опытные пользователи Mathcad демонстрируют возможность визуализации сложнейших математических конструкций, но объективно это уже выходит за рамки назначения пакета. 
 

     Расширение  функциональности 

     Возможно  дополнение Mathcad новыми возможностями  с помощью специализированных пакетов  расширений и библиотек, которые  пополняют систему дополнительными  функциями и константами для  решения специализированных задач:

     Пакет для анализа данных (англ. Data Analysis Extension Pack) — обеспечивает Mathcad необходимыми инструментами для анализа данных.

     Пакет для обработки сигналов (англ. Signal Processing Extension Pack) содержит более 70 встроенных функций для аналоговой и цифровой обработки сигналов, анализа и представления результатов в графическом виде.

     Пакет для обработки изображений (англ. Image Processing Extension Pack) — обеспечивает Mathcad необходимыми инструментами для  обработки изображений, анализа  и визуализации.

     Пакет для работы с функциями волнового преобразования (англ. Wavelets Extension Pack) — содержит большой набор дополнительных вейвлет-функций, которые можно добавить в библиотеку встроенных функций базового модуля Mathcad Professional. Пакет предоставляет возможность применить новый подход к анализу сигналов и изображений, статистической оценки сигналов, анализа сжатия данных, а также специальных численных методов. Функциональность включает одно- и двухмерные вейвлеты, дискретные вейвлет-преобразования, мультианализ разрешения и многое другое. Пакет объединяет более 60 функций ключевых вейвлетов. Включены ортогональные и биортогональные семейства вейвлетов, среди прочего — вейвлет Хаара, вейвлет Добеши, симлет, койфлет и B-сплайны. Пакет также содержит обширную диалоговую документацию по основным принципам вейвлетов, приложения, примеры и таблицы ссылок.

     Библиотека  строительства (англ. Civil Engineering Library) —  включает справочник англ. Roark's Formulas for Stress and Strain (Формулы Роарка для расчета  напряжений и деформаций), настраиваемые шаблоны для строительного проектирования и примеры тепловых расчётов.

     Электротехническая  библиотека (англ. Electrical Engineering Library ) содержит стандартные вычислительные процедуры, формулы и справочные таблицы, используемые в электротехнике. Текстовые пояснения и примеры облегчают работу с библиотекой — каждый заголовок имеет гиперссылку на оглавление и указатель, и его можно найти в системе поиска.

     Библиотека  машиностроения (англ. Mechanical Engineering Library) — включает справочник англ. Roark's Formulas for Stress and Strain (Формулы Роарка для расчета напряжений и деформаций), содержащий более пяти тысяч формул, вычислительные процедуры из справочника McGraw-Hill и метод конечных элементов. Текстовые пояснения, поисковая система и примеры облегчают работу. В состав библиотеки включена электронная книга Дэвида Пинтура «Введение в метод конечных элементов». 

     Взаимодействие  с другими программами 

     Mathcad интегрируется с программами  SmartSketch, VisSim/ Comm PE, Pro/ENGINEER.

     Приложение SmartSketch позволяет инженерам, дизайнерам, архитекторам, чертежникам, системным и сетевым администраторам работать с точными чертежами и графиками.

     VisSim/Comm PE — это Windows-приложение для  моделирования аналоговых, цифровых  или смешанных систем сообщения на сигнальном или физическом уровне.

     В документах-программах Mathcad есть возможность  вставки модулей (component) других приложений для расширения возможностей визуализации, анализа данных, выполнение специфических  вычислений.

     Для расширенной визуализации данных предназначен компонент Axum Graph. Для работы с табличными данными — Microsoft Excel.

     Компоненты Data Acquisition, ODBC Input позволяют пользоваться внешними базами данных.

     Предлагаются  также бесплатные модули (add-in) для  интеграции Mathcad с программами Excel, AutoCAD.

     Для статистического анализа предназначен компонент Axum S-PLUS Script.

     Значительное  расширение возможностей пакета достигается  при интеграции со сверхмощным приложением MATLAB.

2. Описание индивидуальных  заданий с анализом  их решения 

Задание1. (ИДЗ 2.2-2.7) Вершины пирамиды находятся в точках А(-4,6,3);  В(3,-5,1);  С(2,6,-4); D(2,4,-5).

Вычислить : а)площадь  грани ACD; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра AD и вершины В и С; в) объём пирамиды ABCD.

 
Решение 

а) Известно, что SACD=

Находим координаты векторов АС=(6,0,-7) и AD=(6,-2-8)

                                                           i       j       k 

                                        AC×AD=  6       0     -7=-14i+6j-12k 

                                                          6       -2     -8 

Окончательно  имеем: SACD= =  

б) Пусть середина ребра АD находится в точке М(-1,5,-1)

Площадь сечения  МВС находится по формуле аналогичной  пункту а).

Вычисляя, получим, Scеч=  

в) Объём пирамиды находится как 1/6 модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD

      7   -11   -2

      6     0     -7=|-140|

      6    -7     -8 

V=23,(3) 
 

Задание 2.(ИДЗ 6.4- 2.2) Провести полное исследование функции  и построить её график. Дана функция: y=  

Решение 

1. Найдём область  определения, т.к. знаменатель  не должен быть равен нулю, то: (-∞;1) (1;+ ∞) 

2. Ордината точки  графика у>0 при х>0, y<0 при х<0 

3. Точки пересечения графика с осями координат:

с ОХ: у=0, =0, х=-1. Получаем точку (-1,0)

С ОY: х=0, y=1. Получили точку (0,1) 

4. Вертикальная  асимптота х=-1. Горизонтальная – y=0 (находим с помощью пределов) 

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум при помощи первой производной. 

6. Исследуем график функции на выпуклость/вогнутость и определим точки перегиба при помощи второй производной. 

7. Построим график  функции. 
 
 
 

Задание 3. (ИДЗ 8.1-4.1) Найти неопределённый интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием.

Решение

= =- (сos(2-3x)) 

Проверка: (- (cos(2-3x))’=sin(2-3x)  
 
 

Задание4. (ИДЗ 9.2-2.1) Вычислить (с точностью до 2х знаков после запятой) длину дуги данной линии.

х=2* t;        y=2* t

Решение

Для нахождения длины дуги воспользуемся следующей  формулой: 

L=

Для этого:

1.найдём производные  функции, заданной параметрически  по t.

x’(t)=-6*sin(t)*

y’(t)=6* *cos(t)

2.Вычислим подынтегральное  выражение

3. Вычислим определённый  интеграл (взяв пределы интегрирования от 0 до 2π)

Ответ: длина  дуги данной линии равна 12 
 
 

Задание5. (ИДЗ 10.1-3.10) Вычислить значения частных производных для данной функции f(x,y,z)= *sin(y/x) в точке М0=(2,0,4) 

Решение

Найдём частные  производные данной функции по х, по у, по z. В полученные выражения подставим значения координат точки М0. 
 
 

Задание 6. (ИДЗ 11.1-4.1) Найти частное решение дифференциального уравнения ( +1)*y’+4xy=3 при начальном условии у(0)=0 

Решение

Данное уравнение  является неоднородным линейным ДУ первого порядка, т.к. его можно привести к виду: y’+4xy/( +1)=3/( +1)

Здесь Р(х)= 4xy/( +1);    Q(x)= 3/( +1)

Общее решение  находится по формуле:

у= )

Из полученного  общего выделяем частное решение, соответствующее  начальному условию у(0)=0

3.Листинги  выполнения задания

Выводы  и предложения 

       В данной курсовой работе мы ознакомились с возможностями математического пакета Mathcad, применили полученные знания на практике, решая индивидуальные задания из курса высшей математики.

       Работая над этим проектом, я   тем самым углубил свои теоретические и прикладные знания, полученные ранее при изучении дисциплины «высшая математика», укрепил навыки самостоятельной научно-исследовательской, учебно-методической и практической деятельности.

     Трудность вызвало незнание некоторого материала  из области высшей математики.

               В дальнейшей своей учебной и рабочей деятельности обязательно буду применять данный математический пакет с его богатыми возможностями.

Использованная  литература 

1.В.Очков. Советы пользователям Mathcad 2001. Издательство МЭИ. 2001.  

2.Д.Кирьянов. Самоучитель Mathcad 2001. BHV-Петербург. 2001.  

3.Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука.- 1973.-832 с.  

4.Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы. Минск: Вышэйшая школа.-1988.- 270 с.