Параллелепипед. Тетраэдр. Угол между прямой и плоскостью: примеры задач и их решение
Многопрофильный колледж НовГУ
«Медицинский колледж»
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО ГЕОМТРИИ
Выполнила студентка
Группы 22 мс
Баранова Е.И.
Великий Новгород
2012
Параллелепипед
Параллелепи́пед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.
Различается несколько типов
- Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;
- Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;
- Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основания
- Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.
Основные элементы
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.
Свойства
- Параллелепипед симметричен отн
осительно середины его диагонали. - Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
- Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Задача № 1
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
Решение.
Обозначим известные ребра за
и
, а неизвестное за
. Площадь поверхности параллелепипеда
выражается как
.
Выразим : , откуда неизвестное ребро
Ответ: 5.
Задача № 2
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
Решение.
Обозначим известные ребра за
и
, а неизвестное за
. Площадь поверхности параллелепипеда
выражается как
. Выразим
:
откуда неизвестное ребро
Диагональ параллелепипеда находится как
Ответ: 3.
Задача № 3
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда
равен
, где
– площадь грани, а
— высота перпендикулярного к ней ребра.
Имеем
Ответ: 48.
Задача № 4
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
Решение.
Длина диагонали параллелепипеда равна
Длина третьего ребра тогда .
Получим, что объем параллелепипеда
Ответ: 32.
Тетраэдр
Тетра́эдр — четырёхгранник — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Основные элементы
- Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра
с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. - Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
- Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.
Свойства тетраэдра
- Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра пара
ллелепипед. - Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
- Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.
Типы тетраэдров
Выделяют следующие специальные виды тетраэдров.
- Равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.
- Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
- Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
- Правильный тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.
- Каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:
- существует сфера, касающаяся всех ребер,
- суммы длин скрещивающихся ребер равны,
- суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
- окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
- все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
- перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
- Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.
- Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Задача № 1
В тетраэдре медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .
Решение.
отрезок
высотой треугольной пирамиды
, ее объем выражается формулой
Таким образом,
Ответ: 9.
Задача № 2
В тетраэдре точка – середина ребра , – вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .
Решение.
Найдем площадь грани
:
Отрезок
является медианой правильного треугольника
, а значит, его высотой.
Тогда
Ответ: 10.
Задача № 3
В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра , — вершина. Известно, что , а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
Отрезок
является медианой правильного треугольника
, а значит, и его высотой. Тогда
Ответ: 45.
Задача № 4
В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра
Решение.
Найдем площадь грани
:
Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда
Ответ: 9.
Угол между прямой и плоскостью
Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.
При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна к этой плоскости.
Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Проекцией точки на плоскость называется либо сама точка , если точка лежит в плоскости, либо точка пересечения плоскости и прямой, перпендикулярной к плоскости и проходящей через точку, если точка не лежит в плоскости.
Проекцией прямой на плоскость называют множество проекций всех точек прямой на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.
Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным 90о, а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным 0о.
Поэтапно-вычислительный метод
Угол между прямой и плоскостью можно вычислить, если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов.
Задача № 1
В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
Решение.
Пусть D – середина , тогда – перпендикуляр к плоскости , а D – проекция точки на эту плоскость (см. рис. 38).
Если – искомый угол, то , где , , и поэтому . Отсюда .
Ответ: .
Векторно-координатный метод
Угол между прямой l и плоскостью можно вычислить по формуле
или в координатной форме
,
где – вектор нормали плоскости , – направляющий вектор прямой l;
· прямая l и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда
.
Задача № 2
В единичном кубе найти угол между прямой и плоскостью , проходящей через точки , Е и F, где точка Е – середина ребра , а точка F лежит на ребре , так, что .
Решение.
Введем прямоугольную систему координат.
Тогда , , , , , , , . Пусть – вектор, перпендикулярный плоскости , – искомый угол. Тогда
Вектор найдем из условий перпендикулярности этого вектора векторам и , т.е. из условий
или
Пусть , тогда , и , . Так как и
то
Отсюда .
Ответ: .
Векторный метод
Задача № 3
В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой DE, где E – середина апофемы SF грани ASB, и плоскостью ASC.
Решение. Так как прямая ОD перпендикулярна плоскости ASC, то вектор является вектором нормали плоскости ASC.
Пусть , , , где , , . Тогда
,
,
,
,
.
Подставляя полученные значения в формулу , имеем
.
Отсюда , где искомый угол.
Ответ: .
Метод опорных задач
Угол между прямой l и плоскостью можно вычислить по формуле
,
где ,
Задача № 4
В единичном кубе найти угол между прямой и плоскостью .
Решение.
Так как и точки и лежат на прямой , параллельной плоскости , то последовательно получаем
.
Отсюда .
Ответ: .
Задача № 5
Отрезок АВ пересекает плоскость. Найти расстояние от середины отрезка до плоскости, если расстояния от точек А и В до плоскости 6 см и 10 см.
Решение.
Пусть отрезок пересекает плоскость в точке D, середину отрезка обозначим как M. Перпендикуляр отрезка, опущенный на плоскость (и определяющий расстояние от середины отрезка до плоскости) пусть касается плоскости в точке M1. Точки A и B проецируются на плоскость соответственно в точках A1 и B1.
Достроим отрезок AB до треугольника ABK, где точка К лежит на плоскости, параллельной исходной.
Найдем длину отрезка MM1, который и будет расстоянием от середины отрезка AB до плоскости.
Учтем что MM1 = MC - M1C
Для треугольника ВАВ1 по теореме Фалеса, МС будет средней линией треугольника. То есть
МС = ВВ1 / 2.
Для треугольника АА1В1 отрезок М1С также является средней линией.
Откуда
М1С = АА1/2
Так как ММ1 = МС – М1С
MM1 = ( BB1 − AA1 ) / 2
Если AA1 ≥ BB1, путем аналогичных рассуждений получим
MM1 = ( AA1 − BB1 ) / 2
То есть для общего случая
MM1 = | BB1 − AA1 | / 2
Подставим значения:
MM1 = | 10 − 6 | / 2 = 2
Ответ: 2 см.
Задача № 6
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Решение.
Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле . Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол — искомый.
где O — центр основания, значит, — средняя линия треугольника ASO потому — AO.
Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:
Из прямоугольного треугольника находим:
Значит, искомый угол равен
Ответ: