Парная линейная регрессия

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Рубцовский  индустриальный институт (филиал) ГОУ  ВПО

Алтайский государственный технический университет  им. И.И. Ползунова

Гуманитарно-экономический  факультет

Кафедра «Финансы и кредит» 
 
 
 
 
 

курсовая  работа 

по дисциплине: эконометрика 

     Вариант №4 
 
 
 
 
 

                                                   Выполнила: студентка  группы

                                                   ФиК-61д Конькова М.В.

                                                   Проверил: Рассказова Н.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рубцовск 2008

Содержание

1. Задание №1: Парная линейная регрессия……………………………….3
2. Задание №2: Нелинейная регрессия……………………...…………….11
3. Задание №3: Множественная регрессия……………………...………..31

     Задание №1: Парная линейная регрессия

1. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида ỹ= a+bx). Вычисление коэффициентов выполнить методом наименьших квадратов, дать интерпретацию в терминах задачи.
2. Построить корреляционное поле и линию регрессии линейного типа.
3. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о его значимости.
4. Проверить значимость коэффициентов регрессии, построить для них 95%-е доверительные интервалы.
5. Используя построенное уравнение, спрогнозировать значение ỹ_р при х_р= (х₇+х₈)/2.
6. Построить доверительный интервал для зависимой переменной для х_р= (х₇+х₈)/2 с надежностью γ= 0,95.
7. Определить, есть или нет автокорреляция остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
8. Вычислить коэффициент детерминации и проверить его значимость.
9. Оценить прогнозные качества модели.
10. Сделать необходимые выводы по каждому пункту и общий вывод по качеству построенной модели.
11. Все расчеты подтвердить в пакете «Анализ данных» и программе Model.

      Исходные данные:

      Исследуется зависимость себестоимости 1т. литья Y (руб.) от выработки литья на одного работающего Х (т) по 11 литейным цехам заводов:

      Таблица №1

      1. График зависимости переменных X и Y строится в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладывается значения факторного признака Х, а по оси ординат – результативного признака Y.

      На  график наносятся точки, координаты которых соответствуют значениям  X и Y.

Рисунок 1

      Характер  расположения точек на графике показывает, что связь между переменными может выражаться линейным уравнением регрессии.

      2. Параметры уравнения регрессии находим методом наименьших квадратов.

      Для проведения всех расчетов строится вспомогательная таблица.

      Таблица №2

      В таблице все средние находятся  по формуле средней арифметической простой: Хср. = ∑х / N.

      Параметры уравнения регрессии находятся  по формуле:

b = = = 17, 257

a = y_ср – b*x_ср = 207, 4545-17, 257*4, 8 = 124, 6207

ỹ = 124, 6207 + 17, 257* x

      Коэффициент b = 17, 257 показывает, на какую величину измениться себестоимость 1т литья, если брак от литья возрастет на единицу.

      Коэффициент a = 124, 6207 говорит о том, что при нулевом браке от литья себестоимость 1т литья составит в среднем 124,6207 условные единицы.

      3. При линейной зависимости, степень тесноты связи между переменными X и Y определяется с помощью коэффициента корреляции:

r _xy = = =0,779418

      Так как значение коэффициента корреляции близко к единице, то между признаками связь сильная, прямая, близкая к линейной функциональной.

      Так как исходные данные являются выборочными, то необходимо оценить существенность или значимость величины коэффициента корреляции. Выдвигаем нулевую гипотезу: коэффициент корреляции в генеральной  совокупности равен нулю, и изучаемый фактор не влияет на результативный признак, Н₀: r=0, при Н₁: r≠0

      Для проверки нулевой гипотезы применим t-критерий Стьюдента. Найдем расчетное значение t-критерия:

t_расч = = =3,732224

      Теоретическое значение t находится по таблицам t-распределения Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν=9,

t_теор = t _{ά/2; N-2} = 2, 262157

      Сравниваем  t_расч с t_теор, т.к. t_расч> t_теор, то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля в генеральной совокупности. Значит, выработка литья на одного работающего оказывает статистически существенное влияние на себестоимость 1 т. литья, т.е. коэффициент корреляции статистически значим.

      4. Статистическая значимость коэффициентов регрессии также проводится с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого добавляются необходимые данные:

    Таблица №3

    Вспомогательные данные

Они рассчитываются по формуле:

S² = = = 1152,783

S²_b = = = 21,3795

S²_a = S²_b * (x²)_ср = 21,3795*27,9418 = 597,3821

    где S_a ,S_b – стандартные ошибки

Находится расчетное  значение критерия:

t_расч (b) = b/ S_b = 17,257 / 21,3795^0.5 = 3,732224

t_расч (a) = a/ S_a = 124,6207 / 597,3821^0.5 = 5,098755

t_теор = t _{ά/2; N-2} = 2,262159

Т.к. [t_расч b] > t_теор b, то коэффициент b статистически значим.

Т.к. [t_расч a] > t_теор a, то коэффициент a статистически значим.

      5. а) Определяем доверительный интервал для коэффициентов регрессии a и b.

Для b: (b- t_теор S_b; b+ t_теор S_b);

(17,257 - 2,262159*21,3795^0.5; 17,257 + 2,262159*21,3795^0.5) = (6,797291;27,7168)

т.о. коэффициент  b=17,25705 с вероятностью 0.95 находится в найденном интервале.

Для a: (a- t_теор S_a; a+ t_теор S_a);

(124,6207 - 2,262159*597,3821^0.5; 124,6207 - 2,262159*597,3821^0.5) =

= 69,33042;179,911)

т.о. коэффициент a=124,6207 с вероятностью 0.95 находится в найденном интервале

      б) Прогнозное значение результатирующего признака определятся путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного или возможного факторного признака (х_р).

x_p = = = 7,4

ỹ_p = 124,6207 + 17,257* 7,4 = 252,3229

      в) Построить доверительный интервал для зависимой переменной для

x_p = с надежностью γ = 0,95.

( ; ) =

= ( ; ) = (224,9452816;279,7005184)

ỹ_p=252,3229 с вероятностью 0.95 находится в интервале (224,9452816;279,7005184).

      Тогда прогнозное значение себестоимости 1т. литья составит ỹ_р=a+bх_р=252,32297. Значит, при выработке литья на одного работающего =7,4 возможная себестоимость 1т. литья составляет 252,3229.

      7. Определим автокорреляцию остатков

d = = = 1,438921

Для критерия d найдены критические границы, позволяющие принять и отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков

По таблице  распределения Дарбина-Уотсона при  заданном уравнении значимость «α»=0,05 в числе «N»=11 и количестве объясняющих переменных «m»=1 определяют критические границы: d₁ = 0,927, d₂ = 1,324, (4 - d₁) = 3, 073, (4 - d₂) = 2, 676

    Так как d попадает в интервал (d2; 4-d2), то означает, что автокорреляция остатков отсутствует. Отсутствие автокорреляции остатков является одним из подтверждений высокого качества модели.

      8. Вычислить коэффициент детерминации  и проверить его значимость.

Коэффициент детерминации рассчитывается, как R² =

R²= = 0, 607492; R=0,77942

      Коэффициент детерминации R=0,77942 показывает, что 77,94% различий в себестоимости 1т. литья объясняется вариацией выработки литья на одного работающего, а 22,06% другими неучтенными факторами.

      Статистическая  надежность уравнения регрессии  проверяется с использованием критерия F-Фишера.

      Расчетное значение F-критерия находится по формуле:

F_расч = = = 8,72688

      При уровни значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν₁=1; ν₂=9 по таблице находится теоретическое значение F-критерия, F_теор= F_(0,05;1;9)=5,117355. Так как F_расч> F_теор, то уравнение регрессии статистически значимое или надежное.

      9. Оценить прогнозные качества  модели.

    Таблица №4

     Вспомогательные данные

      σ = = = 14,43471 

      Т.к σ = 14,43471 больше 10%, то модель не приемлема для прогнозирования.

      10. Вывод: отсутствие автокорреляции, статистическая значимость коэффициентов корреляции и коэффициентов уравнения, а также значимость коэффициентов детерминации говорят о высоком общем качестве построенного уравнения регрессии.

      11. Все расчеты подтвердить в  пакете «Анализ данных».

    Таблица №5

ВЫВОД ИТОГОВ

Дисперсионный анализ

Задание №2: Нелинейная регрессия

      1) Построить следующие нелинейные зависимости:

• Гиперболическую;
• Логарифмическую;
• Степенную;
• Параболическую;

      2) Рассчитать все необходимые характеристики для проведения спецификации модели, включая линейную.

      3) Выбрать наиболее адекватную  модель. Обосновать свой выбор

1. Гиперболическая зависимость.

      1. Построить гиперболическую зависимость (регрессию вида Ŷ = a + b/x). Вычисление коэффициентов выполнить методом наименьших квадратов, дать интерпретацию в терминах задачи.

      Замена: ỹ= a+ bх*, где х*=1/х

      В таблице все средние находятся  по формуле средней арифметической простой: Хср. = ∑х / N.

    Таблица №6

    Вспомогательные данные

      b = = = -168, 28

      a = y_ср – b*x’_ср = 207, 4545 – (-168, 28)*0, 285035 = 255, 4204

      ỹ = 255,4204 – 168,28x*

      Коэффициент регрессии показывает, что при  увеличении выработки литья на одного работающего в среднем уменьшается себестоимость 1т. литья на 168,28.

      2. Статистическая значимость коэффициентов регрессии проводится с использованием t-критерия Стьюдента.

      Находится расчетное значение критерия:

      t_расч=b/S_b ; t_расч=a/S_a ,

      где S_a ,S_b – стандартные ошибки

    Таблица №7

    Вспомогательные данные

      S² = =  = 1573,794

      S²_b = = = 3632,621

      S²_a = S²_b * (x’²)_ср = 438,2052

      t_расч (b) = b/ S_b = (-168, 28)/ 3632,621^0.5 = -2,79205

      t_расч (a) = a/ S_a = 255, 4204/ 438,2052^0.5 = 12,2016

      t_теор = t _{ά/2; N-2} = 2,262159

      Т.к. [t_расч b] > t_теор b, то коэффициент b статистически значим.

      Т.к. [t_расч a] > t_теор a, то коэффициент a статистически значим.

      3. При нелинейной зависимости, степень тесноты связи между переменными X и Y определяется с помощью корреляционного отношения:

    η = = = 0,681281

      Т.к. η недостаточно близко к единице, то связь между X и Y слабая.

      4. Определим автокорреляцию остатков

      Для этого находим значения e_i и определяем значения критерия d, который находится по формуле: d = = = 2,257257

      Для критерия d найдены критические границы, позволяющие принять и отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

      По  таблице распределения Дарбина-Уотсона  при заданном уравнении значимость «α»=0,05 в числе «N»=11 и количестве объясняющих переменных «m»=1 определяют критические границы: d₁ = 0,927, d₂ = 1,324, (4 - d₁) = 3, 073, (4 - d₂) = 2, 676

      Так как d попадает в интервал (d2; 4-d2), то означает, что автокорреляция остатков отсутствует. Отсутствие автокорреляции остатков является одним из подтверждений высокого качества модели.

      5. Качество уравнения регрессии  оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации

      Таблица №8

      Вспомогательные данные

      σ = = = 18,48219

      Значит, фактическое значение себестоимости 1т. литья от расчетных по уравнению  регрессии в среднем различаются на σ=18,48219. Если ошибка аппроксимации не превышает 10%, полученное уравнение можно оценить как вполне хорошее, в нашем случае аппроксимация превышает 10%, значит модель не приемлема для прогнозирования.

      6. Все расчеты подтвердить в  пакете «Анализ данных».

Таблица №9

    ВЫВОД ИТОГОВ

    Дисперсионный анализ