Переходные процессы. 5

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Магнитогорский государственный  технический университет

им. Г.И. Носова»

Кафедра электротехники и электротехнических систем

Курсовая работа

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

на тему: «Расчет и анализ переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами»

Вариант №6

Выполнил: студент гр. АП-08

Афанасьев С.С.

Проверил: доцент каф. ЭиЭС

Петухова  О.И.

Магнитогорск 2010 г.

Оглавление

Цели работы 3

Введение 3

1. В цепи осуществляется коммутация выключателем , действует источник постоянной ЭДС . 4

1.1. Определение законов изменения во времени всех токов и напряжений на емкости и индуктивности после коммутации двумя методами. 4

1.1.1. Классический метод. 4

1.1.2. Операторный метод. 8

1.2. Расчет и построение графиков кривых всех токов и напряжений на емкости и индуктивности в интервале времени от до . 14

2. В цепи осуществляется коммутация выключателем , действует источник синусоидальной ЭДС амплитудой , частотой и начальной фазой . 17

2.1. Определение законов изменения во времени всех токов и напряжений на емкости и индуктивности после коммутации. 17

2.1.1. Классическим методом. 17

2.2. Расчет и построение графиков кривых всех токов и напряжений на емкости и индуктивности в интервале времени от до . 22

3. Цепь подключается к источнику, ЭДС которого изменяется по заданному закону в течение времени . 25

3.1. Определение закона изменения во времени тока источника с помощью интеграла Дюамеля. 25

3.2. Расчет и построение кривых ЭДС и тока источника в интервале времени от до . 30

Выводы 31

Список литературы 32

 

Цели работы

  1. Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях с

сосредоточенными  параметрами при воздействии постоянной, синусоидальной

и ЭДС произвольной формы.

  1. Освоение следующих методов расчета переходных процессов: классический,

операторный, а  также с помощью интеграла Дюамеля.

  1. Приобретение навыков анализа характера переходных процессов при различных

коммутациях, понимания физического смысла полученных результатов.

Введение

Переходные процессы возникают  в результате различных коммутаций, приводящих к изменению схемы  или параметров цепи: подключение  и отключение источников питания  и нагрузок, короткие замыкания и  т.п.

Если  в цепи имеются катушки индуктивности  и (или) конденсаторы, то переход от одного установившегося режима (до коммутации) к другому (после коммутации) не может совершаться мгновенно даже при мгновенной коммутации, поскольку не может мгновенно измениться энергия электрического и магнитного полей, связанных с индуктивностями и емкостями.

Для мгновенного или скачкообразного  изменения энергии полей необходима бесконечно большая мощность источников энергии, реальные же источники питания  обладают конечной мощностью.

Таким образом, переход от одного установившегося режима к другому осуществляется в течение некоторого промежутка времени. Практически длительность переходного процесса измеряется долями секунды.

Задача  анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти полные решения дифференциальных уравнений цепи.

  1. В цепи осуществляется коммутация выключателем , действует источник постоянной ЭДС .
    1. Определение законов изменения во времени всех токов и напряжений на емкости и индуктивности после коммутации двумя методами.
      1. Классический метод.

При расчете переходного процесса этим методом полное решение дифференциального  уравнения равно сумме принужденного  и свободного решений, а определение  постоянных интегрирования, входящих в выражения для основного  тока (или напряжения), производят путем  решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям  корней характеристического уравнения  и известным значениям свободной  составляющей тока (напряжения).

Данные: номер рисунка – 8,

 

 

 

Рисунок 1 – Заданная схема

 

 

  1. Составление характеристического  уравнения и определение его  корней.

Входное сопротивление цепи после коммутации равно:

 

 

 

Характеристическое  уравнение имеет следующий вид:

 

 

 

 

Корни характеристического  уравнения:

Согласно законам  коммутации напряжение на емкости и  ток через индуктивность не могут измениться скачком, поэтому расчет проще начать с переходных функций и .

  1. Свободные составляющие переходных функций полностью определяются

параметрами пассивных  элементов, а также структурой цепи после коммутации.

 

 

  1. Принужденные составляющие переходных функций определяются значением

исследуемой переменной в установившемся режиме после коммутации:

 

 

 

 

  1. Переходные функции в общем  виде:

 

 

  1. Независимые начальные условия находим на основании

законов коммутации:

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени :

 

 

 

 

Итак, начальные  условия:

 

 

 

 

 

  1. Определение постоянных интегрирования с помощью начальных условий.

Сначала найдем и :

 

 

 

 

 

Теперь  найдем и :

 

 

 

 

 

  1. Переходные функции имеют  вид

 

 

 

 

 

 

 

Ток равен току по первому закону Кирхгофа для узлов b и c :

 

      1. Операторный метод.

Идея этого метода заключается  в том, что с помощью преобразования Лапласа решение из области функций  действительного переменного переносится  в область функций комплексного переменного p, где операции принимают более простой вид, а именно: дифференцирование и интегрирование заменяются на умножение и деление. Вместо исходных дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения; затем полученный решением алгебраических уравнений результат «интерпретируется», т.е. осуществляется обратный переход от изображения функции к ее оригиналу с помощью обратного преобразования Лапласа.

Преимуществом этого метода является то, что заданные начальные условия включаются в исходные уравнения при прямом преобразовании Лапласа и для нахождения исходных функций не требуется дополнительно определять постоянные интегрирования. Это облегчает решение Д.У.

  1. Определение независимых Н.У. – см. действие 5 в классическом методе.

 

 

  1. Составление операторной  схемы.

Поскольку ток  через индуктивность и напряжение на емкости в нулевой момент времени  отличны от нуля, то в операторную  схему будут введены  две добавочные ЭДС: и .

 

Рисунок 2 – Операторная схема

  1. Определим операторное изображение напряжения :

 

 

 

 

 

 

 

                           

 

 

Корни и совпадают с корнями характеристического уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем оригинал изображения с помощью теоремы  разложения:

 

 

Теперь  найдем операторное изображение  тока :

 

 

   — как и при нахождении

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходим от изображения  к оригиналу:

 

 

Найдем изображение тока через индуктивность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем от изображения к оригиналу функции времени:

 

 

Найдем  :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оригинал функции:

 

 

Найдем изображение  тока через емкость:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Итак, переходные функции  имеют вид:

 

 

 

 

 

Очевидно, что  результаты расчетов классическим и  операторным методами совпадают.

 

    1. Расчет  и построение графиков кривых всех токов и напряжений на емкости  и индуктивности в интервале  времени от до .

Найдем  время протекания переходного процесса:

 

Построим кривые зависимостей напряжений на индуктивности  и емкости от времени:



Рисунок 3 – Построение зависимостей

 

Построим кривые зависимостей токов от времени:



Рисунок 4 – Построение зависимостей



Рисунок 5 - Построение зависимостей

Проанализируем полученные графики.

Из  графиков видно, что в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости и ток через индуктивность равны соответствующим величинам до переключения выключателя вследствие 2-го закона коммутации. Ток также не может измениться скачкообразно из-за того, что .

При размыкании ветви, содержащей ток  ток становится равным нулю, увеличивается ток через индуктивность (), который изменяется от 0,446 А до 1,852 А.

При росте тока увеличивается падение напряжения на резисторе равное напряжению В течение переходного процесса ток через емкость сначала нарастает, а затем спадает до нуля, потому что при постоянном токе сопротивление емкости бесконечно велико.

Напряжение  на индуктивности изменяется скачком  в нулевой момент времени (момент коммутации), а затем уменьшается  до нуля, т.к. при постоянном токе сопротивление  катушки индуктивности равно  нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. В цепи осуществляется коммутация выключателем , действует источник синусоидальной ЭДС амплитудой , частотой и начальной фазой .
    1. Определение законов изменения во времени всех токов и напряжений на емкости и индуктивности после коммутации.
      1. Классическим методом.

Данные: номер рисунка – 8,

 

 

Рисунок 6 – Заданная схема

  1. Входное сопротивление цепи, характеристическое уравнение и его корни не

изменятся:

 

 

Найдем параметры  :

 

 

 

 

 

 

  1. Определение свободных составляющих переходных функций:

 

 

  1. Для определения принужденных составляющих переходных функций

воспользуемся символическим методом.

Сначала найдем входное сопротивление цепи после коммутации:

 

 

 

 

 

Теперь  рассчитываем принужденные составляющие:

 

 

 

 

 

 

 

  1. Переходные функции в общем  виде:

 

 

  1. Нахождение независимых  начальных условий .

Сначала определим  входное сопротивление цепи до коммутации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 по 2му закону комм.

 

 

 

 по 2му закону коммутации.

 

 

Для определения зависимых начальных  условий составим систему уравнений

для мгновенных значений токов и напряжений для момента времени :

 

 

 

 

Итак, начальные условия:

 

 

 

 

 

  1. Определение постоянных интегрирования. Сначала найдем и :

 

 

 

 

 

 

Теперь  найдем и :

 

 

 

 

 

 

  1. Переходные функции имеют  вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    1. Расчет  и построение графиков кривых всех токов и напряжений на емкости  и индуктивности в интервале  времени от до .

 

Построим  графики зависимостей напряжений на индуктивности и емкости от времени:



Рисунок 7 - Построение зависимостей



Рисунок 8 – Построение зависимостей в увеличенном масштабе

Построим кривые зависимостей токов всех ветвей от времени:



Рисунок 9 – Построение зависимостей



Рисунок 10 – Построение зависимостей



Рисунок 11 – Построение зависимостей в увеличенном масштабе

Проанализируем графики.

Сдвиг фаз между токами и напряжениями обусловлен наличием в цепи реактивных элементов.

Ток через индуктивность отстает  от напряжения на ней, а ток через  емкость опережает напряжение на ней.

Амплитуда колебаний напряжения на индуктивности  во много раз больше напряжения на емкости, потому что омическое сопротивление катушки больше сопротивления конденсатора.

 

 

 

 

 

  1. Цепь  подключается к источнику, ЭДС которого изменяется по заданному закону в  течение времени .
    1. Определение закона изменения во времени тока источника с помощью интеграла Дюамеля.

Данные: номер графика – 7,

e(t)



 

    

   

 

 

 

 

 

 

Рисунок 12 – График изменения источника ЭДС

 

Рисунок 13 – Заданная схема

  1. Сначала операторным методом определим переходную проводимость при

 

Нахождение независимых  начальных условий:

 

 

Составление операторной  схемы:

Рисунок 14 – Операторная схема для  определения переходной проводимости

 

 

 

 

 

 

 

 

                           

 

 

Корни и совпадают с корнями характеристического уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем оригинал функции тока через индуктивность:

 

 

Переходная проводимость равна:

 

 

  1. Вычисление производных  подынтегральной функции :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Записываем интеграл Дюамеля  с момента времени  до .

Участок 1                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Участок 2                   

 

 

 

 

 

Участок 3                   

 

 

(расчеты проведены в программе MathCAD).

Получили функцию :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    1. Расчет  и построение кривых ЭДС и тока источника в интервале времени от до .

 

Построим графики ЭДС и тока источника:

e(t)




Рисунок 15 – Графики зависимостей и

Проанализируем графики.

В момент коммутации, т.е. при подключении источника  ЭДС к цепи, его напряжение равно  нулю, а затем скачком возрастает до 50 В. В течение времени напряжение источника линейно возрастает, ток источника в это же время также линейно растет примерно до 0.5 А.

На участке времени напряжение источника питания плавно изменяется до нуля. При ток достигает своего максимального значения, а далее наблюдается уменьшение до нуля (свободная составляющая тока отсутствует), причем оно происходит не скачкообразно, а по экспоненте, т.к. в цепи источника включена индуктивность, которая постепенно разряжается.

При   переходный процесс завершается.

 

Выводы

Данные, полученные различными методами расчета, совпали, что говорит о  правильности решения.

И классический, и операторный методы расчета можно применять для  решения задач любой сложности. Однако классический метод более физически прозрачен, чем операторный, в котором решение дифференциальных уравнений весьма сильно «механизировано».

Решение уравнений первого и второго  порядка целесообразно проводить  классическим методом, а решение  уравнений третьего и более высоких  порядков – операторным. Это объясняется  тем, что чем выше порядок характеристического  уравнения, тем более трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирования в классическом методе.

Основной  областью применения интеграла Дюамеля  являются случаи, когда напряжение источника изменяется по сложному закону во времени, например, при наличии  скачков напряжения или когда  переходная проводимость и (или) воздействующее на схему напряжение изменяются графически.

Изучение  переходных процессов весьма важно,  т.к. во время их протекания значения токов и напряжений на отдельных участках цепи могут существенно отличаться от соответствующих значений в установившемся режиме, что может привести к нарушениям нормальной работы электрических устройств и даже к авариям; также без их знания невозможно понять принципы работы некоторых электрических цепей, в которых переходные процессы представляют собой нормальные режимы работы, например, системы автоматического регулирования и радиопередающие устройства.

 

Список  литературы

  1. «Основы теории линейных цепей». Под ред. профессора Ионкина П.А. В 2-х

томах. Том 1, изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: «Высшая школа», 1976 г.

  1. Бессонов Л.А. «Теоретические основы электротехники». В 3-х частях. Часть 1, изд.

6-е, перераб. и доп. - М.: «Высшая школа», 1973 г.

  1. Корнилов Г.П., Павлов А.А. «Выполнение расчетно-графических работ по ТОЭ в

среде MathCAD и Electronic Workbench». Методическое пособие МГТУ. Магнитогорск, 2004 г.

  1. Атабеков Г.И. «Теоретические основы электротехники. Линейные электрические

цепи». В 3-х частях. Часть 1, изд. 5-е, исправл. – М.: «Энергия», 1978 г.

 


Переходные процессы. 5