Переходные процессы. 3

                                                 ЗАДАНИЕ

 

           1. Используя данные табл.1 и рис.1, необходимо:

           1.1. Определить классическим методом переходное значение тока через R₃ на этапах последовательного срабатывания коммутаторов К₁ и К₂;

          1.2. Определить операторным методом переходное значение той же, что и в пункте 1.1 электрической величины на первом интервале (сработал только коммутатор К₁);

          1.3. Сравнить результаты расчётов по пунктам 1.1 и 1.2 и оценить погрешности расчётов;

          1.4. Построить график зависимости найденного в пункте 1.1 значения тока в функции от времени;

          2. Используя исходные данные (табл.2), определить, в какой момент времени ток через обмотку электромагнита с параметрами L и R, включаемую на синусоидальное напряжение U_msin(314t+ψ), достигает максимального значения. Найти при этом его амплитуду и построить кривую этого переходного тока.

Расчётный параметр	E, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	L, мГн	C, мкФ
iR3	75	0,01	55	9	100	600

Таблица 1

Исходные данные к первой части курсовой работы

 

ψ, градус	Um, В	L, мГн	R, Ом
-45	127	120	8

Таблица 2

Исходные данные ко второй части курсовой работы

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Расчётная схема постоянного тока

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………...………….. 24

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК  …………………………………..……. 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ          ПОСТОЯННОГО ТОКА

1. Определение классическим методом переходного значения тока    через резистор R₃ при срабатывании коммутатора К₁

 

Считая, что в цепи (рис.1) сработал только коммутатор К₁ , рассчитаем переходное значение тока через резистор R₃ . При расчёте классическим методом функция тока от времени i_R3(t) записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих

 

i_R3(t) = i_R3пр(t) + i_R3св(t),                                                                             (1.1)

 

где  i_R3пр(t)- принужденная составляющая тока, соответствующая установившемуся режиму работы схемы после коммутации;

i_R3св(t)- свободная составляющая тока, обусловленная наличием в схеме реактивных элементов.

Принужденную составляющую i_R3пр(t) находим по схеме замещения цепи ( рис. 1.1) для установившегося режима ( t = ∞)

 

i_R3пр(t)= E/(R₂ + R₃) = 75/(55 + 9) = 1,172 А.                                          (1.2)

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.1. Схема замещения цепи для установившегося

режима ( t = ∞) на первом этапе

Для определения свободной  составляющей тока i_R3св(t) составим схему цепи после срабатывания коммутатора К₁ (рис.1.2). По этой схеме определим входное сопротивление Z(p), приравняем его к нулю и решим полученное характеристическое уравнение Z(p) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.2. Расчётная схема для составления характеристического

уравнения на первом этапе

 

Z(p) =R₁ + 1/Cp + R₂(R₃ + Lp)/(R₂ + R₃ + Lp) = 0;

CL(R₁ + R₂) p² + [C(R₁R₂ + R₁R₃ + R₂R₃) + L] p + R₂ +R₃ = 0;

600^.10^-6∙100^.10^-3∙(0,01 + 55)p² +[600^.10^-6 ∙(0,01∙55 + 0,01∙9 +55∙9)+       100^.10^-3]p + 55 + 9 = 0;

0,0033p² + 0,397p + 64 = 0;

p₁ = -60,152 + j125,606 с^-1,

p₂ = -60,152 - j125,606 с^-1.

 

Характеристическое уравнение имеет два комплексно–сопряжённых корня p₁ и p₂, поэтому свободная составляющая тока будет иметь вид затухающих синусоидальных колебаний:

 

i_R3св(t) = Ae^-αt sin(ω₀t + φ),                                                                        (1.3)

 

где α = 60,152 c^-1 – показатель затухания;

ω₀ = 125,606 рад/с – угловая частота свободных колебаний.

Подставим найденные значения принужденной (1.2) и свободной (1.3) составляющих в (1.1), получим

 

i_R3(t)= 1,172 + Ae^{-60,152 t} sin(125,606 t + φ).                                              (1.4)

 

Неизвестные значения постоянных интегрирования A и φ определим по значению тока i_R3(t) и его первой производной при t = 0, решая систему двух уравнений

 

i_R3(t)= 1,172 + Ae^{-60,152 t} sin(125,606 t + φ);         (1.5)

 

Так как  , а i_L(t) = i_R3(t) - как ток одной ветви, то   

 

.

 

i_R3(0) и u_L(0) находятся из схемы t = 0₊.

С учётом этого систему (1.5) при t = 0 запишем следующим образом

 

i_R3(0) = 1,172 + A sin φ;            (1.6)

.

 

Определим начальные условия. При разомкнутом коммутаторе К₁ в цепи (рис.1) тока нет, то есть i_R3(0_-) = i_L(0_-) = 0. С учётом первого закона коммутации i_L(0_-) = i_L(0₊) значение тока через резистор R₃ непосредственно после коммутации i_R3(0₊) = 0.

Значение u_L(0₊) является зависимым начальным условием, для нахождения его составим схему замещения для t = 0₊, заменяя L и C источниками тока J_KL = i_L(0_-) и ЭДС E_C = u_C(0_-) соответственно (рис.1.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Рис. 1.3. Расчётная схема цепи для определения u_L(0₊)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.4. Расчётная схема  цепи для t = 0_-

Так как (рис. 1.4.) i_L(0_-) = 0 и u_C(0_-) = 0, то J_KL = 0 и E_C = 0. Из схемы замещения (рис.1.3) находим: u_L(0₊) = E = 75 В, подставим найденные начальные условия в систему (1.6)

 

0=1,172 + A sin φ ,

.

 

Решая эту систему уравнений, из первого уравнения . Подставляя это значение А во второе уравнение, получим

 

750 = -60,152∙(-1,172) ∙ + 125,606∙(-1,172)∙ ;

ctg φ = -4,616, φ = -0,213 рад;

= =5,535.

 

Подставляя найденные  значения постоянных интегрирования в (1.4), окончательно имеем искомое переходное значение тока через сопротивление R₃ после срабатывания коммутатора К₁

 

i_R3(t) = 1,172 + 5,535e^{-60,152 t} sin(125,606 t – 0,213) .                                (1.7) 

2. Определение классическим методом переходного значения тока    через резистор R₃ при срабатывании коммутатора К₂

 

Согласно указаниям [1] время, через которое срабатывает коммутатор К₂

t₁ = 1,5:α = 1,5: 60,152 = 0,02493683 с,

где α = 60,152 с^-1 – показатель затухания переходного процесса на первом интервале.

Закон изменения переходного тока в общем случае после срабатывания коммутатора К₂ записывается в виде (1.1). При этом время t отсчитывается от момента срабатывания ключа К₂.

 Принужденную составляющую на втором этапе определим из схемы замещения для установившегося режима (t = ∞), представленной на рис.1.5

i_R3пр(t) = = =8,333 А.           (1.8)

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.5. Схема замещения цепи для установившегося

режима ( t = ∞) на втором этапе

 

 

Для определения свободной  составляющей тока на втором этапе  найдём входное сопротивление Z(p) расчётной схемы, представленной на рис.1.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.6. Расчётная схема для составления характеристического уравнения на втором этапе

 

Z(p) = R₃ + Lp.

Решаем характеристическое уравнение Z(p) = 0

R₃ + Lp = 0,

p = - = - = - 90 c^-1_. 

 

Так как характеристическое уравнение имеет единственный корень, то свободная составляющая i_R3св(t) на втором этапе изменяется по апериодическому закону с коэффициентом затухания p = - 90 c^-1

 

i_R3св(t) = De^-90t,            (1.9)

 

где D – постоянная интегрирования.

Подставим найденное  значение принужденной (1.8) и свободной (1.9) составляющих переходного тока в (1.1), получим

 

 i_R3(t) = 8,333 + De^-90t .                                                                            (1.10)

 

Постоянную интегрирования D найдём из начальных условий. В начальный для второго интервала момент времени t=0

 

i_R3(0) = 8,333 + D,         (1.11)

 

где начальное значение тока для второго этапа i_R3(0) = i_L(0_-) = i_L(0₊) = i_R3(t₁) (рис.1.7).

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.7. Расчётная схема цепи для режима t=0₊

                на втором этапе 

 

Начальным моментом времени  для второго этапа будет являться время t₁ = 0,02493683 с. Подставим это значение t в (1.7), получим

 

i_R1(0) = 1,172 + 5,535e^{-60,152∙0,02493683} sin(125,606∙0,02493683 – 0,213) = 1,445 А.

 

Подставляя значение i_R1(0) = 1,445 А в (1.11), получим

 

1,445 = 8,333 + D,

D = -6,888.

 

Подставим это значение постояной интегрирования в (1.10).Закон изменения тока через резистор R₃ после срабатывания коммутатора К₂ имеет вид:

i_R3(t) = 8,333 – 6,888e^-90t А.

 

Полное выражение для искомого тока после последовательного срабатывания коммутаторов К₁ и К₂ записывается следующим образом:

 

i_R3(t) = 1(t)[1,172 + 5,535e^{-60,152 t} sin(125,606 t – 0,213)] –

-1(t - 0,02493683) [1,172 + 5,535e^{-60,152 t} sin(125,606 t – 0,213)] +

+1(t - 0,02493683)[ 8,333 – 6,888e^{-90(t - 0,02493683)}] ,

где 1(t) – единичная функция Хевисайда.

 

График зависимости  переходного тока через резистор R₃ в функции от времени представлен на рис.1.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Определение операторным методом переходного значения тока    через резистор R₃ при срабатывании коммутатора К₁

 

 

После срабатывания коммутатора К₁ i_L(0) = 0 и u_C(0) = 0, т.е. начальные условия цепи – нулевые, поэтому при составлении операторной схемы замещения индуктивность L замещаем только пассивным элементом Lp, а ёмкость C – пассивным элементом . Таким образом, для исходной цепи (рис.1) операторная схема замещения после срабатывания коммутатора К₁ будет выглядеть следующим образом (рис.1.9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.9. Операторная схема замещения цепи на первом этапе

 

По закону Ома в  операторной форме

 I_R3(p) = = ,

где Z(p) – операторное входное сопротивление между точками a и  b.

По схеме (рис.1.9)  Z(p) = R₃ + Lp + .

Таким образом изображение тока через резистор R₃:

I_R3(p) = = = =

= 750 .

 

Для перехода от изображения  к оригиналу тока преобразуем выражение I_R3(p) к табличному виду F(p) = :          

I_R3(p) = 750 = 750∙F(p) .                            (1.12)

По таблице 8.4 –2 преобразований Лапласа для рациональных изображений [2] соответствующий оригинал функции будет иметь вид:

 

f(t) = Ae^at sin(ω₁t + α) + K,                  (1.13)

 

где ω₁= = 125,601;

 K = = = 0,00156; a=-60,152; d=30,303;

A = = = 0,00738;

α =arctg -arctg =arctg -arctg = -0,213 рад.

 

Подставим значения найденных коэффициентов в (1.13):

 

f(t) = 0,00738e^-60,152t sin(125,601t – 0,213) + 0,00156.

 

 Переходя от изображения к оригиналу функции из(1.12), находим значение переходного тока через резистор R₃ после срабатывания  К₁:

i_R3(t) = 750∙f (t) = 750∙[0,00738e^-60б152t sin(125,601t – 0,213) + 0,00156] = 1,17 + 5,535e^-60,152t sin(125601t – 0,213).

 

                                                                                             

4. Сравнение результатов расчётов переходного значения i_R3(t)       классическим и операторным методами

 

Результаты выполненных  расчётов в разделах 1.1 и 1.3 сводим в     табл. 1.1. Погрешность расчётов оцениваем по формуле

 δ = ,

где F_кл, F_оп – параметры тока, при расчётах классическим и операторным методами.

Таблица 1.1

Параметры переходного значения тока i_R3(t)

Метод расчёта Параметр	Классический	Операторный	Погрешность, %
Принужденная составляющая iR3 пр , А	1,172	1,170	0,2
Амплитуда, А	5,535	5,535	0
Показатель затухания, с-1	-60,152	-60,152	0
Собственная частота, с-1	125,606	125,601	0,003
Начальная фаза, радиан	0,213	0,213	0

 

Так как погрешность  произведённых расчётов не превышают 5%, то расчёт выполнен верно.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ          СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

 

Схема замещения цепи электромагнита приведена на рис.2.1.

 

 

 

 

 

 

Рис.2.1. Схема замещения цепи электромагнита

 

При включении обмотки  электромагнита на синусоидальное напряжение (сработал коммутатор К₁) переходный ток через обмотку электромагнита

при расчёте классическим методом определяется по следующей  формуле:

 

i(t) = i_пр(t) + i_св(t).             (2.1)

 

Принужденную составляющую тока определяем по схеме (рис.2.2) для установившегося режима (t = ∞).

 

 

 

 

 

 

Рис.2.2. Схема замещения цепи электромагнита

для установившегося  режима (t = ∞)

 

По закону Ома в  комплексной форме I_mпр = = = e^{(ψ - arctg )t} . Переходим к мгновенному значению тока

 

i_пр(t) = I_msin(ωt + φ),

где I_m = = - амплитуда тока;

U_m – амплитуда заданного синусоидального напряжения;

φ = ψ – arctg - начальная фаза тока.

Таким образом принужденная составляющая тока в общем виде

 

i_пр(t)  = sin(ωt + ψ – arctg ) .        (2.2)

 

Для нахождения выражения  свободной составляющей тока i_св(t) составим и решим характеристическое уравнение, используя расчётную схему (рис.2.3).

 

 

 

 

 

Рис.2.3. Расчётная схема  для составления характеристического

 уравнения для цепи  электромагнита

 

 

Входное характеристическое сопротивление цепи Z(p) = Lp + R

Решаем характеристическое уравнение Z(p) = 0

R + Lp = 0,       p = - .

 

Так как корень характеристического  уравнения один, то свободная составляющая тока запишется в виде

 

i_св(t) = Ae^pt = Ae^{- t}.            (2.3)

 

Найдём постоянную интегрирования A. Подставляя выражение (2.2) и (2.3) в (2.1), получим

 

i(t) = sin(ωt + ψ – arctg ) + Ae^{- t}        (2.4)

 

В момент времени t = 0 выражение (2.4) примет вид

 

i(0) = sin(ψ – arctg ) + A.         (2.5)

 

Поскольку ток через индуктивность, согласно первому закону коммутации, скачком изменяться не может, т.е. i(0) = i(0_-) = i(0₊), а до коммутации ток в цепи не протекал, то i(0) = 0. Подставляем это значение в (2.5), находим A

0 = sin(ψ – arctg ) + A,

A= - sin(ψ – arctg ).

Подставляя в (2.4) найденную постоянную интегрирования А, получим выражение для переходного тока через обмотку электромагнита в общем виде

i(t) = sin(ωt + ψ – arctg )- sin(ψ – arctg )e^{- t}

 

Подставим заданные параметры  цепи из табл.2

 

i(t) = sin(314t - – arctg )- sin(- – arctg )e^{- t} =

=3,297sin(314t – 2,146) + 2,766 e^-66,667t А.          (2.6)

 

Переходный ток через обмотку электромагнита достигает максимального значения, когда sin(ωt + ψ – arctg ) = 1;

ωt + ψ – arctg = ;

t = ( - ψ + arctg )/ω = ( + + arctg )/314 = 0,01184007 с.

Амплитуда переходного  тока из (2.6) при t = 0,01184007 с

I_max = 3,297sin(314∙0,01184007 – 2,146) + 2,766 e^{-66,667∙0,01184007} = 4,553 А.

 

Таким образом, максимальное значение тока при переходном процессе превышает амплитудное значение установившегося режима в = 1,38 раза.

Определим постоянную времени электрической цепи электромагнита:

 с.

 

Построим график зависимости переходного тока через обмотку электромагнита (рис.2.4). Согласно указаниям [1] график построили на интервале 3∙t₃ = 0,045 c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В работе проведен анализ переходных процессов в электрических  цепях постоянного тока и переменного синусоидального тока. Определены законы изменения постоянного тока через резистор R₃ в заданной схеме классическим и операторным методами, а также закон изменения синусоидального тока через обмотку электромагнита.

Установлено, что в  цепи постоянного тока после срабатывания первого коммутатора К₁ переходный процесс носит колебательный характер. На втором этапе после срабатывания коммутатора К₂ наблюдается апериодический процесс.Выражение переходного тока на первом этапе, полученного классическим методом:

i_R3(t) = 1,172 + 5,535e^{-60,152 t} sin(125,606 t – 0,213) А.

Выражение переходного  тока на первом этапе, полученного операторным методом:

i_R3(t) = 1,17 + 5,535e^-60,152t sin(125,601 – 0,213) А.

Уравнения получены одинаковые, погрешности в вычислениях не превышали 5%, следовательно расчеты проведены верно.

При анализе цепи переменного тока найдена функция изменения тока через обмотку электромагнита при его включении на синусоидальное напряжение. Определён момент времени, при котором ток через обмотку электромагнита достигает максимально значения, найдена при этом его амплитуда. Установлено, что максимальное значение тока при переходном процессе превышает амплитудное значение установившегося режима в 1,38 раза.

Построенные графики показывают зависимости  переходных токов в функции от времени.

 

 

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Методические указания и контрольные задания к курсовой работе №2 по теоретическим основам электротехники / Сост. В.И. Бойчевский , А.Н. Шпиганович, Липецк: ЛГТУ, 1997. – 16 с.
2. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968. - 720 с.
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высш. школа, 1973.-752 с.
4. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке и др.– М.: Энергоатомиздат, 1989. -528 с.
5. Методические указания к оформлению учебно-технической документации / Сост. А.Н. Шпиганович, В.И. Бойчевский, Липецк:  ЛГТУ, 1997. - 32 с.